콕서터 길이 함수

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서, 콕서터 길이 함수(Coxeter길이函數, 틀:Llang)는 콕서터 군 위에 정의된 자연수 값의 함수이며, 해당 군 원소를 나타내기 위한 단순 반사의 수이다.

정의

표시가 주어진 콕서터 군

$G=⟨r_1,\dots ,r_n|(r_i{r}_j{)}^{m_{ij}}=1⟩$

에서, $r_1,\dots ,r_n$을 $G$의 단순 반사(單純反射, 틀:Llang)라고 하자.

$G$위에서, 다음과 같은 자연수 값의 함수를 정의하자.

$\ell :G\to \mathbb{N}$

$\ell (g)=\min \{k\in \mathbb{N}:\mathrm{\exists }f:\{1,\dots ,k\}\to \{1,\dots ,n\}:r_{f(1)}{r}_{f(2)}\cdots r_{f(n)}=g\}$

즉, $\ell (g)$는 $g$를 나타내기 위하여 필요한 반사의 수의 최솟값이며, 이를 콕서터 군의 원소 $g$의 길이(틀:Llang)라고 한다.

$g$를 표현하는, 최소 길이의 반사들로 구성된 문자열

$g=r_{f(1)}{r}_{f(2)}\cdots r_{f(\ell (g))}$

을 $g$ 의 축소 단어(縮小單語, 틀:Llang)라고 한다. 이는 일반적으로 유일하지 않을 수 있다.

브뤼아 순서

$G$ 위에는 다음과 같은 세 부분 순서를 정의할 수 있다. 우선, 임의의 두 원소

$g,g^{\prime }\in G$

의 (임의의) 축소 단어

$g=r_{f(1)}\cdots r_{f(\ell (g))}$

$g^{\prime }=r_{f^{\prime }(1)}\cdots r_{f^{\prime }(\ell (g^{\prime }))}$

가 주어졌다고 하자.

부분 순서의 이름	$g\le g^{\prime }$일 필요 충분 조건
브뤼아 순서(틀:Llang)	$f=f^{\prime }\circ j$이게 하는 단사 증가 함수 $j:\{1,\dots ,\ell (g)\}\to \{1,\dots ,\ell (g^{\prime })\}$가 존재함
오른쪽 약한 순서(틀:Llang)	$\ell (g)\le \ell (g^{\prime })$, $f(i)=f^{\prime }(i)\mathrm{\forall }i\le \ell (g)$
왼쪽 약한 순서(틀:Llang)	$\ell (g)\le \ell (g^{\prime })$, $f(i)=f^{\prime }(i+\ell (g^{\prime })-\ell (g))\mathrm{\forall }i\le \ell (g)$

여기서, 정의들은 항상

“$g\le g^{\prime }$일 필요 충분 조건은 다음 조건을 만족시키는 $g$와 $g^{\prime }$의 축소 단어 $f$, $f^{\prime }$가 적어도 하나 이상 존재하는 것이다”

의 꼴이다. (즉, 모든 가능한 축소 단어가 위 조건을 충족시키지는 않아도 된다.)

성질

콕서터 군 $G$에서, 다음이 성립한다.

$\ell (g)=\ell (g^{-1})\mathrm{\forall }g\in G$

$\ell (g)=0⟺g=1$

$\ell (gh)\le \ell (g)+\ell (h)\mathrm{\forall }g,h\in G$

즉, $G$ 위에 다음과 같은 거리 함수를 줄 수 있다.

$d(g,h)=\ell (g^{-1}h)(g,h\in G)$

최장 원소

유한 콕서터 군 $G$ 위에서, 길이가 가장 긴 원소가 항상 유일하게 존재한다. 이를 $G$의 최장 원소(最長元素, 틀:Llang)라고 한다. (그러나 최장 원소의 축소 단어는 일반적으로 유일하지 않다.) $G$의 최장 원소가 $w\in G$일 때, 이는 다음 성질을 갖는다.

• $w^2=1$

증명:

축소 단어

$w=r_{f(1)}{r}_{f(2)}\cdots r_{f(\ell (w))}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$w^{-1}=r_{f(\ell (w)}\cdots r_{f(1)}$

역시 축소 단어이며, 최장 원소가 유일하므로 $w=w^{-1}$이다.

• $\mathrm{\forall }g\in G:\ell (wg)=\ell (gw)=\ell (w)-\ell (g)$
• $\ell (w)$는 $G$의 근계의 양근의 수이다.
• $w$의 임의의 축소 단어에는 $G$의 모든 단순 반사가 한 번 이상 등장한다. (특히, $\ell (w)\ge n$이다.)

예

유한 콕서터 군의 최장 원소는 다음과 같다.

• $A_n$ ($n\ge 2$), $D_{2k+1}$, $E_6$, $I_2(2k+1)$의 경우, 콕서터 도표는 반사 대칭을 가지며, 이 경우 최장 원소는 중심 원소 $-1$ × 콕서터 도표의 반사 대칭이다.
• 나머지 모든 경우, 최장 원소는 중심 원소 $-1$이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용