펠 수

영국의 수학자 존 펠(John Pell)의 이름에서 명명되는 펠 수열 또는 펠 시퀸스(Pell Sequece)는 펠 방정식 또는 $\sqrt{2}$의 근사 값을 구하는 과정에서 출현하는 수학 상수 펠 수를 분모로 갖는 분수의 순서있는 나열이다.

펠 수열(Pell Sequence)은 펠 방정식

$x^2-2y^2=\pm 1$

을 만족하는 해의 순서있는 나열이다.

따라서, 펠 방정식의 보다 더 큰 해의 정보는 $\sqrt{2}$의 값에 보다 접근하게 된다.

펠 수열 생성 수식

펠 수열(Pell sequence)은 펠 방정식의 해들의 순서있는 나열이며 다음과 같다,

펠 방정식 $x^2-2y^2=\pm 1$에서 $\frac{x}{y}$이다.

$\frac{1}{1},\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\cdots ,\frac{577}{408},\cdots ,\frac{665857}{470832},\cdots ,\frac{886731088897}{627013566048},\cdots$

또한

$x_n=\frac{{(1+\sqrt{2})}^n+{(1-\sqrt{2})}^n}{2}$

$y_n=\frac{{(1+\sqrt{2})}^n-{(1-\sqrt{2})}^n}{2\sqrt{2}}$

또한

$x_n=\frac{{(1+\sqrt{2})}^n+{(1-\sqrt{2})}^n}{2}=\frac{{(1+\sqrt{2})}^n}{2}+\frac{{(1-\sqrt{2})}^n}{2}={\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{n}}}\right)}^n+{\left(\frac{1-\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{n}}}\right)}^n$

$\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{n}}}\right)=\alpha$를 예약하면,

$={\alpha }^n+(-\alpha {)}^{-n}={\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{n}}}\right)}^n+{\left(\frac{1-\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{n}}}\right)}^n$

${\alpha }^n+(1-\alpha {)}^n=L_n$

이렇게 루카스 시퀸스(루카스 수열)와 연관된다.

펠 수

펠 수는 펠 방정식의 해 $\frac{x}{y}$에서, 분모인 $y$이다.

$1,2,5,12,29,70,\dots$

약한 펠 수열 생성함수

펠 수열은 $\sqrt{2}$의 근사 값을 구하는 과정에서 빠르게 나타나는 수열이기도 하다. 이것은 근삿값을 구하는 방법인 바빌로니아 법으로부터 찾아져지는 분수들이다. 따라서 바빌로니아 법 같은 근삿값을 구하는 함수는 $\sqrt{2}$에 대해서 펠 수열을 구하는 생성함수가 될 수 있다.

다음은 근삿값을 구하는 바빌로니아 법

$\sqrt{2}$ 는

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\sqrt{a}$에서,

$a=2$ 이고,

$x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})$에 대입하여 ,

위의 과정을 반복해보면,

아래는 위의 방법에 따라 $\sqrt{2}$의 근삿값을 구한 것으로 펠 수열의 일부가 된다.

$\begin{array}{cccc}{x}_0& =& 1& \\ x_1& =& 3& /2\\ x_2& =& 17& /12\\ x_3& =& 577& /408\\ x_4& =& 665857& /470832\\ x_5& =& 886731088897& /627013566048\\ ⋮& & ⋮& \\ \end{array}$

따라서

$\frac{1}{1},\frac{3}{2},\frac{17}{12},\frac{577}{408},\frac{665857}{470832},\frac{886731088897}{627013566048},\cdots$

같이 보기

• 백은비
• 펠 방정식
• 디오판토스 방정식

참고

• 매스월드
• OEIS