일반화 다각형

결합 구조 이론에서, 일반화 다각형(一般化多角形, 틀:Llang)은 특정 크기 이하의 다각형을 갖지 않는 결합 구조이다. 사영 평면과 다각형의 공통적인 일반화이다.

정의

임의의 $n \geq 3$ 에 대하여, 일반화 $n$ 각형(틀:Llang)은 다음 조건들을 모두 만족시키는 결합 구조 $(X, L, ⊲)$ 이다.

준선형 공간이다. 즉,
- 임의의 서로 다른 두 점에 대하여 이와 결합하는 직선이 존재하며,
- 모든 직선은 두 개 이상의 점과 결합한다.
$2 \leq m < n$ 에 대하여, $m$ 각형을 부분 구조로 갖지 않는다.
적어도 하나 이상의 n각형을 부분 구조로 갖는다. 또한, 다음이 성립한다.
- 임의의 두 점 $x, y \in X$ 에 대하여, $x$ 와 $y$ 를 꼭짓점으로 갖는 $n$ 각형이 존재한다.
- 임의의 두 직선 $l, m \in L$ 에 대하여, $l$ 과 $m$ 을 변으로 갖는 $n$ 각형이 존재한다.
- 임의의 점 $x \in X$ 과 직선 $l \in L$ 에 대하여, $x$ 를 꼭짓점으로, $l$ 을 변으로 갖는 $n$ 각형이 존재한다.

일반화 $n$ 각형의 쌍대 결합 구조 역시 일반화 $n$ 각형이다.

특히, 위 정의의 특수한 경우로, 일반화 이각형(一般化二角形, 틀:Llang)은 다음 조건을 만족시키는 인접 구조이다.

일반화 삼각형(一般化三角形, 틀:Llang)은 (비퇴화) 사영 평면과 동치인 개념이다.

다각형, 즉 어떤 순환 그래프를 구성하는 결합 구조는 일반화 다각형을 이룬다.

일반화 다각형의 개념은 자크 티츠가 반단순 리 군을 연구하기 위하여 1959년에 도입하였다.