홀수와 짝수

수론에서 짝수(-數, 틀:Llang)는 2로 나누어 떨어지는 정수이다. 홀수(-數, 틀:Llang)는 2로 나누어 떨어지지 않는 정수이다. 즉, 짝수는 2, 4, 6, 8, 10, ...과 같이 둘씩 세었을 때 남는 수가 없으며, 홀수는 1, 3, 5, 7, 9, ...와 같이 둘씩 세었을 때 1이 남는다,

정의

위에서 말했듯, 홀수는 2의 배수가 아닌 정수이다. 다음 정의들은 각각 이와 뜻하는 바가 같다.

• 홀수는 $n=2k+1$인 $k\in \mathbb{Z}$가 존재하는 $n\in \mathbb{Z}$이다.
• 홀수는 $n\equiv 1(\mathrm{mod}2)$를 만족시키는 $n\in \mathbb{Z}$이다.
• 홀수는 $2\mathbb{Z}+1$의 원소이다.

마찬가지로, 짝수는 2의 배수인 정수이다. 다음 정의들은 각각 이와 뜻하는 바가 같다.

• 짝수는 $n=2k$인 $k\in \mathbb{Z}$가 존재하는 $n\in \mathbb{Z}$이다.
• 짝수는 $n\equiv 0(\mathrm{mod}2)$를 만족시키는 $n\in \mathbb{Z}$이다.
• 짝수는 $2\mathbb{Z}$의 원소이다.

정수가 홀수인지 짝수인지에 대한 성질을 홀짝성(-性, 틀:Llang)이라고 한다.

예

49는 홀수이다. 49 = 2 × 24 + 1이기 때문이다. 128은 짝수이다. 128 = 2 × 64이기 때문이다. 비슷하게, 음수인 -49는 홀수이며, -128은 짝수이다. 0은 짝수이다.

양의 홀수 전체의 수열은 다음과 같다.

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, ... 틀:OEIS

음이 아닌 짝수 전체의 수열은 다음과 같다.

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ... 틀:OEIS

홀수의 집합은 다음과 같다.

$2\mathbb{Z}+1=\{2n+1:n\in \mathbb{Z}\}$

양의 홀수의 집합은 다음과 같다.

$2{\mathbb{Z}}_{\ge 0}+1=\{2n+1:n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}\}=2{\mathbb{Z}}_{>0}-1=\{2n-1:n\in {\mathbb{Z}}_{>0}\}$

짝수의 집합은 다음과 같다.

$2\mathbb{Z}=\{2n:n\in \mathbb{Z}\}$

음이 아닌 짝수의 집합은 다음과 같다.

$2{\mathbb{Z}}_{\ge 0}=\{2n:n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}\}$

성질

두 홀수나 두 짝수의 합은 항상 짝수이며, 홀수와 짝수의 합 및 짝수와 홀수의 합은 항상 홀수이다. 즉,

• 홀수 + 홀수 = 짝수
• 홀수 + 짝수 = 홀수
• 짝수 + 홀수 = 홀수
• 짝수 + 짝수 = 짝수

틀:증명쉽게 해주겠다.

틀:Math이 정수일 때,

1. 두 홀수 틀:Math에 대하여

틀:Math 역시 정수이므로 틀:Math은 짝수이다.

∴ 홀수 + 홀수 = 짝수

2. 홀수 틀:Math, 짝수 틀:Math에 대하여

틀:Math 역시 정수이므로 틀:Math은 홀수이다.

∴ 홀수 + 짝수 = 홀수

→ 덧셈은 교환법칙이 성립되므로 '짝수 + 홀수'역시 홀수이다.

3. 두 짝수 틀:Math에 대하여

틀:Math 역시 정수이므로 틀:Math은 짝수이다.

∴ 짝수 + 짝수 = 짝수 틀:증명 끝 두 홀수의 곱은 홀수, 두 짝수의 곱은 짝수, 홀수와 짝수의 곱 및 짝수와 홀수의 곱은 짝수이다. 즉,

• 홀수 × 홀수 = 홀수
• 홀수 × 짝수 = 짝수
• 짝수 × 홀수 = 짝수
• 짝수 × 짝수 = 짝수

틀:증명 (증명) 틀:Math이 정수일 때,

1. 두 홀수 틀:Math에 대하여

틀:Math 역시 정수이므로 틀:Math은 홀수이다.

∴ 홀수 × 홀수 = 홀수

2. 홀수 틀:Math, 짝수 틀:Math에 대하여

틀:Math 역시 정수이므로 틀:Math은 짝수이다.

∴ 홀수 × 짝수 = 짝수

→ 곱셈은 교환법칙이 성립되므로 '짝수×홀수'역시 짝수이다.

3. 두 짝수 틀:Math에 대하여

틀:Math 역시 정수이므로 틀:Math은 짝수이다.

∴ 짝수 × 짝수 = 짝수 틀:증명 끝

특히, 다음과 같은 성질들이 성립한다.

• 연속된 두 정수는 항상 하나는 짝수, 하나는 홀수이다.
• 연속된 두 정수의 합은 홀수이다.
• 연속된 두 정수의 곱은 짝수이다.
• 짝수는 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀있다. 또한, 짝수는 정수의 유사환 아이디얼을 이루며, 그에 대한 몫환은 크기가 2인 체를 이룬다.

어떤 정수가 홀수인지 짝수인지 다음과 같이 판정할 수 있다.

• 어떤 정수의 십진법 전개의 일의 자리 수가 짝수(0, 2, 4, 6, 8)라면, 그 정수는 짝수이다.
• 어떤 정수의 십진법 전개의 일의 자리 수가 홀수(1, 3, 5, 7, 9)라면, 그 정수는 홀수이다.
• 홀수의 약수는 항상 홀수이다.
• 짝수의 배수는 항상 짝수이다.
• 2를 제외한 소수는 항상 홀수이다.

응용

숫자들의 묶음을 통신수단을 통해 전송할 때, 가장 원시적인 확인 방법은 수의 합이 홀수인지 짝수인지를 구별하는 것이다.

같이 보기

• 홀함수와 짝함수
• 홀치환과 짝치환
• 0의 홀짝성