번스타인 상수

이진수	0.01000111101110010011000000110011…
십진수	0.280169499…
십육진수	0.47B930338AAD…
연(속)분수	$\frac{1}{3+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{9+\ddots }}}}}$

번스타인 상수(틀:Llang)는 1914년 번스타인이 자신의 논문에서 언급한 상수이다. 일반적으로 그리스 문자 베타 ($\beta$)로 표시되며 대략 $0.2801694990....$와 같다.

정의

$E_{2n}(|x|)$는 $|x|$에 대한 최상의 평균 근사의 오차를 나타낸다.

1914년에 유명한 러시아의 수학자 번스타인은 $\beta =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }2n{E}_{2n}(|x|)$에 대한 양의 상수$\beta$의 존재를 확립했다. 번스타인은 또한 $\beta$에대한 상한 및 하한을 $0.278$과 $0.286$에서 결정했다.

• $0.278<\beta =\frac{1}{2\sqrt{\pi }}<0.286$

$E_n(f)$는 차수$n$이하의 실수 다항식에 의해 구간 $[-1,1]$에서 실제 함수 $f(x)$에 대한 최적의 균등 근사 오차라고하자.

$f(x)=|x|$에서 번스타인은 한계값,

$\beta =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }2n{E}_{2n}(f)$

번스타인 상수 ( Bernstein 's constant )가 존재하며 $0.278$과 $0.286$ 사이에 존재한다고 추측했다.

번스타인이 제안한 한계값은 다음과 같다.

$\frac{1}{2\sqrt{\pi }}=0.28209\dots$

$\frac{(0.278....+0.286....)}{2}=0.282....$

1984년 바르가와 카펜터에 의해 반증되었는데, 수정된 번스타인 상수의 한계값은 다음과 같다.

보다 엄격한 상한선과 하한선을 결정하면,

$l_{18}<l_{19}<l_{20}=0.2801685460....\le \beta \le 0.2801733791....=2{\mu }_{100}<2{\mu }_{99}<2{\mu }_{98}$

$\beta =0.280169499023\dots$

계수

상한계수

번스타인 상수의 상한계수는 다음과 같다.

$k{\mu }_k$

$00.25$

$10.1549083241....$

$20.1448223214....$

$30.1422928116....$

$40.1413408222....$

$50.1408899963....$

${\mu }_k={\Vert \begin{array}{c}cos(\pi t)\left\{\begin{array}{c}F(t)-({\hat{a}}_0(k)+\sum _{n=1}^k\frac{(2n-1){\hat{a}}_n(k)}{t^2-{\left(\frac{2n-1}{2}\right)}^2})\end{array}\right\}\end{array}\Vert }_{L_{(\mathrm{\infty })}[0,+\mathrm{\infty })}$

$F(t)=\frac{t}{2}\left\{\begin{array}{c}\psi (\frac{t}{2}+\frac{3}{4})-\psi (\frac{t}{2}+\frac{1}{4})\end{array}\right\}(t\ge 0)$

폴리감마 함수$\psi \hat{a}$추정량 $,\Vert \begin{array}{}\end{array}\Vert$노름 $,[0,1)$구간

하한계수

번스타인 상수의 하한계수는 다음과 같다.

$k{l}_k$

$10.2719823590....$

$20.2789309228....$

$30.2798110004....$

$40.2800243339....$

$50.2800977913....$

$l_k:=sup\{B_k({\lambda }_1,{\lambda }_2,....,{\lambda }_k):\{{\lambda }_j{\}}_{j-1}^k,(j-1<{\lambda }_j<j,j\ge 1)\}$

$B_k({\lambda }_1,{\lambda }_2,....,{\lambda }_k):=\frac{\sum _{i=1}^k\frac{{\phi }_k({\lambda }_i)}{{\psi }_k^{\text{'}}({\lambda }_i)}(1-\left(\frac{2{\lambda }_i}{{\lambda }_i+\frac{1}{2}}\right)F({\lambda }_i+\frac{1}{2}))}{\sum _{i=1}^k\frac{{\phi }_k({\lambda }_i)}{{\psi }_k^{\text{'}}({\lambda }_i)}(\frac{2}{\pi {\lambda }_i}+tan(\frac{\pi }{2}({\lambda }_i-i+1)))}$

$\frac{{\phi }_k({\lambda }_i)}{{\psi }_k^{\text{'}}({\lambda }_i)}=\frac{\prod _{j=1}^{i-1}({\lambda }_i^2-j^2)\cdot \prod _{j=i}^{k-1}(j^2-{\lambda }_i^2)}{2{\lambda }_i\prod _{j=1}^{i-1}({\lambda }_i^2-{\lambda }_j^2)\cdot \prod _{j=i+1}^k({\lambda }_j^2-{\lambda }_i^2)},(1\le i\le k),sup\{....\}$ 상한

같이 보기

• 수학 상수
• 폴리감마 함수
• 가우스-쿠즈민-비어징 상수
• 상한과 하한