수직축 정리

틀:위키데이터 속성 추적 고전역학에서 수직축 정리(perpendicular-axis-theorem)란 임의의 평면판의 관성 모멘트는 그 수직축과 평면판의 교점을 지나고 평면판에서 서로 수직인 임의의 두 축에 대한 관성 모멘트의 합과 같음을 나타내는 정리이다.

원점 O에서 만나는 수직인 세 회전축 $x,y,z$를 정의하고, $z$축에 수직인 $xy$평면 위의 평면판을 정의하자. 이때, $I_x,I_y,I_z$를 각각 $x,y,z$축을 회전축으로 하는 관성 모멘트라고 하면, 수직축 정리는 다음을 나타낸다:

$I_z=I_x+I_y$

이 정리는 평행축 정리와 더불어 관성 모멘트를 구하는데에 유용하게 쓰인다.

수직축 정리의 증명

회전축이 $z$축인 $xy$평면 위의 평면판을 생각하자.

이때, 관성 모멘트 $I_z$$=\sum (x_i^2+y_i^2)m_i$이고,

$\sum (x_i^2+y_i^2)m_i=\sum x_i^2{m}_i+\sum y_i^2{m}_i$이다.

이때, 평면이 $x$축과 $y$축을 회전축으로 회전운동할 때의 관성 모멘트 $I_x$, $I_y$를 구하면

평면 위의 임의의 점 $(x_i,y_i)$에서 $x$축까지의 거리는 $|y_i|$, $y$축까지의 거리는 $|x_i|$ 이므로

$I_x=\sum y_i^2{m}_i$ , $I_y=\sum x_i^2{m}_i$ 가 된다.

그러므로 $I_z$$=I_x+I_y$ 임을 알 수 있다.

수직축 정리의 활용

원판에서의 활용

밀도가 균일한 원판의 관성 모멘트는 $I=\frac{1}{2}M{R}^2$로 알려져 있다.

원판의 중심을 지나는 원판 위의 회전축에 의한 원판의 관성 모멘트를 $I_c$ 라 하면

회전축을 어떠한 방향으로 잡든 $I_c$의 값이 항상 같다.

이때, 수직축 정리에 의해 $\frac{1}{2}M{R}^2=2I_c$가 성립하므로 $I_c=\frac{1}{4}M{R}^2$를 얻는다.

같이 보기

• 평행축 정리