프로인드-루빈 콤팩트화

틀:위키데이터 속성 추적 이론물리학에서 프로인드-루빈 콤팩트화(Freund-Rubin compact化, 틀:Llang)는 미분 형식 전기역학을 물질로 갖는 일반 상대성 이론의 시공간이 자연스럽게 갖는, 초구와 반 더 시터르 공간의 곱공간의 꼴의 해이다.

전개

$D$차원 시공간 위에, 일반 상대성 이론과 $p$차 형식 게이지 장이 존재한다고 하자. 즉, 장 방정식은 다음과 같다.

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }$

${\mathrm{\nabla }}_{{\mu }_1}{F}^{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_p}=0$

$T_{{\mu }_p}{}^{{\nu }_p}=F_{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_p}{F}^{{\nu }_1{\nu }_2\cdots {\nu }_p}-\frac{1}{2p}{F}_{{\rho }_1{\rho }_1\cdots {\rho }_p}{F}^{{\sigma }_1{\sigma }_2\cdots {\sigma }_p}{\delta }_{{\mu }_p}^{{\nu }_p}$

이 경우, 공간

${𝕊}^p\times {\mathrm{AdS}}_{D-p}$

위에 다음과 같은 장론의 해를 정의할 수 있다. (여기서 ${𝕊}^p$는 $p$차원 초구이며, ${\mathrm{AdS}}_{D-p}$는 $D-p$차원 반 더 시터르 공간이다.)

$R_{D-p}=-8\pi G\frac{(s-1)(d-s)}{(d-2)}$

$R_p=8\pi G\frac{(d-s-1)}{(d-2)}$

$F^{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_p}\propto {ϵ}_{{𝕊}^p}^{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_s}$

여기서 ${ϵ}_{{𝕊}^p}^{{\mu }_1{\mu }_2\cdots {\mu }_s}$는 초구 ${𝕊}^p$의 레비치비타 기호이며, $R_p$는 초구 ${𝕊}^p$의 스칼라 곡률, $R_{D-p}$는 ${\mathrm{AdS}}_{D-p}$의 스칼라 곡률이다. 이를 프로인드-루빈 콤팩트화라고 한다.

S-이중성에 의하여, $p$차 장세기를 $D-p$차 장세기 $\tilde{F}=*F$로 쌍대화할 수 있으며, 이에 대한 프로인드-루빈 콤팩트화는 반대로 ${𝕊}^{D-p}\times {\mathrm{AdS}}_p$가 된다.

예

11차원 초중력은 3차 형식 퍼텐셜 $A_{\mu \nu \rho }$ (즉, 4차 형식 장세기 $F_{\mu \nu \rho \sigma }$)을 가지며, 따라서 이 이론은 자연스럽게 ${𝕊}^4\times {\mathrm{AdS}}_7$ 또는 ${𝕊}^7\times {\mathrm{AdS}}_4$로 콤팩트화된다.

마찬가지로, 10차원 IIB 초중력은 자연스럽게 ${𝕊}^5\times {\mathrm{AdS}}_5$로 콤팩트화된다.

이 세 콤팩트화들은 AdS/CFT 대응성에 핵심적으로 등장하며, 각각 M5-막 · M2-막 · D3-막에 대응한다.

역사

루마니아 태생의 물리학자 피터 조지 올리버 프로인드(틀:Llang, 틀:Llang, 1936~)와 미국의 마크 루빈(틀:Llang)이 1980년에 도입하였다.