이항방정식

이항방정식

이항방정식(二項方程式,a binomial equation)은 이항연산을 대수적 구조로 갖는 방정식을 보여준다.

이항방정식은 n을 양의 정수, A를 양이나 음, 또는 허수라 할 때, $X^n-A=0$의 형식으로 바뀌는 방정식이다.

$x^n=a,$ 변수항=상수항 또는

$x^n=y^n,$ 변수항= 변수항의 형태로,

좌변과 우변에 각각 한개의 항을 가진 2항의 방정식 꼴이다.

$x^n=y^n$는

$a^2=b^2$

$a^2-b^2=0,$일때

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$의 곱셈공식과인수분해와 관계가 있고,

원에 내접하는 정삼각형의 교점(equilateral triangle&circle)

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$x^n=a$ 는

$x^n=1$,

$x^n-1=0$처럼 n차방정식(3≤n)인 고차방정식의 특수형태이기도 하기에 중요하게 다루어지기도 한다.

복소근

드무아브르의 공식을 통해서, n차방정식의 n개의 근(대수학의 기본 정리)의 계수 ω등에서 주요한 역할을 한다.

$z^n=a$을 예약하고,

$z^3=1$일때,

$z=\alpha (cosx+isinx),x=\theta ,\alpha =roots$ (근의 계수 들${\omega }^n$)

$z^3=(\alpha (cosx+isinx){)}^3=1(cosx+isinx)$

${\alpha }^3(cosx+isinx{)}^3=1(cos360^{\circ }+isin360^{\circ })$

${\alpha }^3(cos3x+isin3x)=1(cos360^{\circ }+isin360^{\circ })$

${\alpha }^3=1$에서 $3x=360^{\circ }+360^{\circ }$

$x=120^{\circ }{k}_n+120^{\circ }{k}_n$ $,k=\{n-1,n-2,...,n-n\}=2,1,0$

$x=120^{\circ },240^{\circ },0^{\circ }$

$\therefore z=cos120^{\circ }+isin120^{\circ },cos240^{\circ }+isin240^{\circ },cos{0}^{\circ }+isin{0}^{\circ }$

$z^3=1,roots=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2},1={\omega }^1,{\omega }^2,{\omega }^3$

허수

이항방정식의 특수한 경우

$x^2=-1$

$x=\sqrt{-1},$ 이것은 허수이다.

$x=i$

같이 보기

• 3차 방정식
• 복소수
• 1의 거듭제곱근