심플렉틱 용량

틀:위키데이터 속성 추적 심플렉틱 기하학에서 심플렉틱 용량(symplectic容量, 틀:Llang)은 심플렉틱 다양체의 2차원 "넓이"를 측정하는 방법이다. 그로모프 조임 불가능성 정리(Громов조임不可能性定理, 틀:Llang)에 따라, 심플렉틱 용량이 존재한다.

정의

$2 n$ 차원의 심플렉틱 다양체들의 집합을 ${Sympl}_{n}$ 이라고 쓰자. 심플렉틱 용량은 다음 조건들을 만족시키는 함수

c : {Sympl}_{n} \to [0, \infty]

이다.

(단조성) 만약 심플렉틱 매장 $ι : U \to V$ 가 존재한다면, $c (U) \leq c (V)$
(동차성) 임의의 양의 실수 $λ \in ℝ^{+}$ 및 심플렉틱 다양체 $(U, ω)$ 에 대하여, $c (U, λ ω) = λ^{2} c (U, ω)$
(규격화) $c (𝔹^{2 n} (r)) = c (𝔹^{2} (r) \times ℝ^{2 n - 2}) = π r^{2}$

여기서 $𝔹^{2 n} (r)$ 는 $2 r$ 차원의, 반지름이 $r$ 인 공 $𝔹^{2 n} (r) \subset ℝ^{2 n}$ 에 표준적인 심플렉틱 구조를 부여한 것이다.

다음과 같은 두 함수를 정의하자.

c_{\min} (M) = \sup {r : \exists ι : 𝔹^{2 n} (r) ↪ M}

c_{\max} (M) = \inf {r : \exists ι : M ↪ 𝔹^{2} (r) \times ℝ^{2 n - 2}}

그로모프 조임 불가능성 정리에 따르면, $c_{\min}$ 과 $c_{\max}$ 는 심플렉틱 용량을 이룬다. 특히, 만약 심플렉틱 매장

𝔹^{2 n} (r) ↪ 𝔹^{2} (R) \times ℝ^{2 n - 2}

이 존재하는 필요충분조건은 $r \leq R$ 이다. 또한, 모든 심플렉틱 용량 $c$ 에 대하여,

c_{\min} (M) \leq c (M) \leq c_{\max} (M)

이 성립한다.

미하일 그로모프가 1985년에 유사 정칙 곡선을 사용하여 그로모프 조임 불가능성 정리를 증명하였다.^[1]