복소 곱셈

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 복소 곱셈(틀:Llang)이란 대수적 수체 위에 정의된 특별한 타원 곡선들이 정수의 환보다 더 큰 자기준동형환을 갖는 현상이다.

전개

타원 곡선 $E$의 자기준동형환 $\mathrm{End}(E)$는 원점(군 구조의 항등원)을 보존하는 정칙 함수(regular map)들의 집합이다. 이는 덧셈과 합성에 따라 환을 이룬다.

타원 곡선의 자기준동형환은 항상 정수의 환 $\mathbb{Z}$와 동형인 부분환 $i:\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathrm{End}(E)$를 가진다. 이는 다음과 같다.

$i(n):p\in E\mapsto np$

여기서 $np$는 타원곡선의 군 구조에 따른 것이다.

만약 $\mathrm{End}(E)$가 어떤 허수 이차 수체 $\mathbb{Q}[\sqrt{-d}]$의 순서(order)와 동형이라면, $E$가 $\mathbb{Q}[\sqrt{-d}]$에 대한 복소 곱셈을 갖는다고 한다.

예

복소 곱셈을 갖는 타원 곡선의 예로 다음과 같은 복소 타원 곡선을 들 수 있다.

$ℂ/\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]\theta$

여기서 $\theta$는 0이 아닌 임의의 복소수고, $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$는 가우스 정수들의 환이다. 이 타원곡선의 자기준동형환은 가우스 정수환 $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$와 동형이다.

보다 일반적으로, 복소수체에 대한 복소 곱셈을 갖는 타원 곡선은 다음과 같이 정의할 수 있다. 허수 이차 수체 $\mathbb{Q}[\sqrt{-d}]$의 순서 $O\subset \mathbb{Q}[\sqrt{-d}]$를 고르면, 타원곡선

$ℂ/O$

는 $O$에 대한 복소 곱셈을 갖게 된다.

특이 모듈러스

복소 타원곡선의 경우, 모듈라이 공간을 상반평면의 원소 $\tau \in ℍ$로 적을 수 있다. 그렇다면 모듈라이 공간의 점 $\tau$에서 복소 곱셈이 존재할 조건은 $\tau$가 허수 이차 수체의 원소라는 조건과 동치이다. 이러한 점에서 j-불변량의 값 $j(\tau )$을 특이 모듈러스(틀:Llang)라고 한다. 특이 모듈러스 $j(\tau )$는 항상 대수적 수이다.

j-불변량 $j(\tau )$가 대수적 수일 조건은 $\tau$가 허수 이차 수체의 원소일 조건과 동치이다.틀:Rp

크로네커의 청춘의 꿈

K가 허수 이차 수체이고, 그 유체(class field)가 $H$라고 하자. $E$가 $K$에 대한 복소 곱셈을 갖는 타원 곡선이라고 하자. 그렇다면 K의 최대 아벨 확대는 $E/H$의 유한 차수 점들의 (바이어슈트라스 모형(Weierstrass model)에서의) 좌표들로 생성된다. 이는 레오폴트 크로네커가 발견하였고, 크로네커의 청춘의 꿈(틀:Llang)이라고 한다. 이에 대하여 크로네커는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2 크로네커의 청춘의 꿈을 허수 이차 수체 말고도 다른 수체로 확장시키는 것이 힐베르트의 12번째 문제이다.

외부 링크

• Complex multiplication 틀:웹아카이브 from PlanetMath.org
• Examples of elliptic curves with complex multiplication 틀:웹아카이브 from PlanetMath.org

같이 보기

• 헤그너 수
• 크로네커-베버 정리
• 힐베르트의 열두 번째 문제