미카엘리스-멘텐 반응속도론

효소 반응시 기질의 농도에 따른 초기 반응속도

미카엘리스-멘텐 반응속도론(틀:Llang) 또는 미하엘리스-멘텐 반응속도론은 생화학에서 가장 잘 알려진 효소 반응속도론에 관한 모델 중 하나이다. 기질 농도에 따른 효소의 초기 반응속도의 그래프를 대수적으로 나타내는 방법이다. 방정식의 이름은 독일의 생화학자 리어노어 미하엘리스와 캐나다의 의사 모드 멘텐에서 따온 것이다.

$v=\frac{d[P]}{dt}=\frac{V_{\max }[S]}{K_{\mathrm{M}}+[S]}.$

이 식을 미카엘리스-멘텐 식(틀:Llang)이라고 부른다.

$[S]$ : 기질(반응물, Substrate) S의 농도,

$[E]$ : 효소(Enzyme) E의 농도,

$[ES]$ : 효소-기질 복합체의 농도(Enzyme-Substrate complex),

$[P]$ : 생성물(Product)의 농도,

$V_{max}$ : 최대 반응속도,

$K_{\mathrm{M}}$ : 미하엘리스 상수.

유도

효소-기질의 반응을 통해 생성되는 물질에 대해서 화학 반응식으로 표현하면,

$E+S\stackrel{k_f}{\rightleftharpoons k_r}ES\stackrel{k_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}}}{⟶}E+P$

이라고 쓸 수 있고, 이 경우 위의 반응식을 시간에 따른 변화량으로 표현하기 위해, 상미분방정식을 이용하면,

$\begin{array}{cc}\frac{d[E]}{dt}& =-k_f[E][S]+k_r[ES]+k_{cat}[ES]\\ \frac{d[S]}{dt}& =-k_f[E][S]+k_r[ES]\\ \frac{d[ES]}{dt}& =k_f[E][S]-k_r[ES]-k_{cat}[ES]\\ \frac{d[P]}{dt}& =k_{cat}[ES].\end{array}$

이라고 쓸 수 있다. 이때, "효소의 양은 반응 전후에 일정"하기 때문에, $[E]+[ES]=[E{]}_0$라는 조건을 유도할 수 있다.

평형점사(Equilibrium approximation)

화학 반응에서 화학 평형점에 도달 할 경우, "생성물이 만들어지는 반응속도와 이 물질이 다시 분해되는 속도는 같다"는 정보를 이용할 수 있다. 즉 위의 반응이 충분한 시간이 흘러 반응이 평형점(Equilibrium point)에 있다고 가정하면,

$k_f[E][S]-k_r[ES]-k_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}}[ES]=0$

가 성립하며, "효소의 양은 반응 전후에 일정하다"라는 조건을 통해서

$[E]=[E{]}_0-[ES].$

라는 식을 얻을 수 있다. 이 두 식을 연립하면,

$k_f([E{]}_0-[ES])[S]-k_r[ES]-k_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}}[ES]=0$

그리고 $[ES]$에 대해서 식을 정리하면,

$[ES]=\frac{[E{]}_0[S]}{\frac{k_r+k_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}}}{k_f}+[S]}$

라는 식을 얻을 수 있다. 이때, :$K_{\mathrm{M}}=\frac{k_r+k_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}}}{k_f}$ 이라 정의하고, 이를 미카엘리스 상수라고 한다.

따라서 최종 생성물의 반응속도는,

$v=\frac{d[P]}{dt}=\frac{V_{\max }[S]}{K_{\mathrm{M}}+[S]}.$

이라고 표현 할 수 있고, 이때 $V_{\max }=k_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}}[E{]}_0$이다. 이 식을 미카엘리스-멘텐 식이라고 한다.

결론

소량일 때 효소의 농도에 비례하며, 기질의 농도가 과량일 때 일정한 한계 속도에 접근한다. 기질의 농도가 $K_m$일 때 초기 반응속도는 포화 속도의 절반인 $0.5V_{max}$이다.

라인위버-버크 방정식

틀:본문 라인위버-버크 방정식(Lineweaver-Burk equation) 또는 이중-역수 플룻(Double-reciprocal plot)은 미하엘리스-멘텐 식으로부터 유도된다.

$\frac{1}{V_0}$ $=$ $\frac{K_M}{V_{max}[S]}$ $+$ $\frac{1}{V_{max}}$

이디-호프스티 다이어그램

틀:본문 이디-호프스티 다이어그램(Eadie-Hofstee diagram)도 미하엘레스-멘텐 식으로부터 유도된다.

같이 보기

• 반응 진행 속도론 분석
• 효소 저해제 (enzyme inhibitor)