실효값

교류 전압의 개형이 위와 같을 때 ①은 진폭, ③은 실효 전압이다.

실효값(實效-, 틀:Llang)은 제곱평균제곱근으로 표현한 물리량을 말하며, 전기공학·음향학 등에서 쓰인다. 영어권의 용어를 따라 흔히 RMS(틀:Llang)라고도 한다.

예

시간에 따라 변하는 순간 전류 $I(t)$와 저항 $R$을 이용해 다음과 같이 순간 전력 $P(t)$를 구할 수 있다.

$P(t)=I^2(t)R\min (\min (\max (\mathrm{arcsec},y),y),y)$다면, 시간에 따른 평균 전력 $P_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}$에 대해 다음 등식이 성립한다. (단, $⟨\dots ⟩$는 함수의 평균값.)

$\begin{array}{cc}{P}_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}& =⟨P(t)⟩\\ & =⟨I^2(t)R⟩\\ & =R⟨I^2(t)⟩\\ & ={\left(I_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}}\right)}^{2}R\end{array}$

이로써 전류의 실효값(RMS)으로 평균 전력을 계산할 수 있다는 것을 알 수 있다. 마찬가지로 $P_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}={\left(V_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}}\right)}^2/R$이므로, 다음이 성립한다.

$P_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}=V_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}}{I}_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}}$

다시 말해, 시간에 따라 전압과 전류가 변하는 경우에도 각각의 실효값을 마치 시간 불변의 물리량인 것처럼 적용해서 평균 전력을 구할 수 있다는 것이다.

삼각함수로 표현된 전류(왼쪽)
전류의 제곱값과 제곱값의 평균(오른쪽)

만약 교류인 경우를 가정하여 $I(t)=I_p\sin (\omega t)$라고 하면, $I^2(t)$도 주기함수이므로 평균값은 주기 $T=2\pi /\omega$만큼의 적분값을 T로 나눈 것이 되므로, 전류의 실효값 $I_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}}$는 다음과 같다.

$\begin{array}{cc}{I}_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}}& =\sqrt{\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{I}^2(t)dt}\\ & =\sqrt{\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{I}_p^2{\sin }^2(\omega t)dt}\\ & =I_p\sqrt{\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\frac{1-\cos (2\omega t)}{2}dt}\\ & =I_p\sqrt{\frac{1}{T}{[\frac{t}{2}-\frac{\sin (2\omega t)}{4\omega }]}_0^T}\\ & =I_p\sqrt{\frac{1}{T}\frac{T}{2}}=\frac{I_p}{\sqrt{2}}\end{array}$

마찬가지로 전압의 실효값을 계산하면 $V_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}}=V_p/\sqrt{2}$이 된다. 틀:토막글