다중극 전개

틀:위키데이터 속성 추적 다중극 전개(多重極展開, 틀:Lang)는 수학과 물리학에서 어떤 물체의 퍼텐셜이나 장을 그 세기에 따라 홀극, 쌍극, 사중극, 팔중극 따위로 전개한 것이다. 전자기학이나 일반 상대성 이론 등에서 쓰인다.

정의

어떤 부피 $S\subset {ℝ}^3$가 생성하는 퍼텐셜 $\varphi$가 다음과 같이 거리에 반비례한다고 하자.

$\varphi (𝐱)=\underset{S}{\int }\frac{\rho (𝐲)}{\Vert 𝐱-𝐲\Vert }{d}^3𝐲$

그렇다면 $S$ 안에 임의의 "중심" ${𝐲}_0$을 잡아, $\varphi$를 다음과 같이 전개하는 것을 생각할 수 있다.

$\varphi (𝐱)=\frac{{\varphi }_0}{\Vert 𝐱-{𝐲}_0\Vert }+\frac{{\varphi }_1}{\Vert 𝐱-{𝐲}_0{\Vert }^2}+\frac{{\varphi }_2}{\Vert 𝐱-{𝐲}_0{\Vert }^3}+\cdots +\frac{{\varphi }_n}{\Vert 𝐱-{𝐲}_0{\Vert }^{n+1}}+\cdots$.

여기서 ${\varphi }_0$ 항을 홀극(-極, 틀:Lang), ${\varphi }_1$ 항을 쌍극(雙極, 틀:Lang), ${\varphi }_2$ 항을 사중극(四重極, 틀:Lang), ${\varphi }_3$ 항을 팔중극(八重極, 틀:Lang), 일반적으로 ${\varphi }_n$ 항을 $2^n$중극이라고 부른다. 이렇게 전개하는 것을 다중극 전개라고 한다.

다중극 전개의 항은 다음과 같이 계산할 수 있다. 거리의 역수는 다음과 같이 르장드르 다항식 $P_n(x)$의 생성 함수이다.

$\frac{1}{\Vert 𝐱-𝐲\Vert }=\frac{1}{\Vert 𝐱-{𝐲}_0\Vert }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_n(\cos \theta ){\left(\frac{𝐲-{𝐲}_0}{𝐱-{𝐲}_0}\right)}^n$.

여기서

$\theta =\arccos \frac{(𝐱-{𝐲}_0)\cdot (𝐲-{𝐲}_0)}{\Vert 𝐱-{𝐲}_0\Vert \Vert 𝐲-{𝐲}_0\Vert }$

는 $𝐱-{𝐲}_0$와 $𝐲-{𝐲}_0$ 사이의 각이다. 따라서 각 다중극 항은 다음과 같다.

${\varphi }_n=\int \Vert 𝐲-{𝐲}_0{\Vert }^n{P}_n(\cos \theta )\rho (𝐲)d^3𝐲$.

일반적으로 $P_n(\cos \theta )$는 다음과 같이 $n$차 텐서로 쓸 수 있다.

$P_n(\cos \theta )=\sum _{i_1=1}^3\sum _{i_2=1}^3\cdots \sum _{i_n=1}^3{\left(\frac{𝐱-{𝐲}_0}{\Vert 𝐱-{𝐲}_0\Vert }\right)}_{i_1}{\left(\frac{𝐱-{𝐲}_0}{\Vert 𝐱-{𝐲}_0\Vert }\right)}_{i_2}\cdots {\left(\frac{𝐱-{𝐲}_0}{\Vert 𝐱-{𝐲}_0\Vert }\right)}_{i_n}{C}_{i_1{i}_2{i}_3\cdots i_n}^{(n)}(𝐲-{𝐲}_0)$.

즉, 편의상

$\Vert 𝐱-{𝐲}_0\Vert =r$

$(𝐱-{𝐲}_0)/r=\widehat{𝐫}$

로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같다.

$\varphi =\frac{C^{(0)}}{r}+\frac{{\hat{r}}^i{C}_i^{(1)}}{r^2}+\frac{{\hat{r}}^i{\hat{r}}^j{C}_{ij}^{(1)}}{r^2}+\cdots$.

여기서 $n$차 텐서 $C^{(n)}$을 $\varphi$의 $2^n$중극자 모멘트라고 부른다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

같이 보기

• 르장드르 다항식