각체바 정리

각체바 정리란, 체바 정리를 각에 대하여 표현한 정리이다. 그러므로 체바 정리의 삼각함수 형태라고 할 수 있다.

즉, AD, BE, CF가 한 점에서 만나면 다음 등식을 만족한다는 정리이다.

$\frac{\sin \mathrm{\angle }BAD}{\sin \mathrm{\angle }CAD}*\frac{\sin \mathrm{\angle }CBE}{\sin \mathrm{\angle }ABE}*\frac{\sin \mathrm{\angle }ACF}{\sin \mathrm{\angle }BCF}=1$

각체바 정리의 역 역시 성립한다.

증명

두 삼각형 ABD와 ACD의 비는

$\frac{BD}{CD}=\frac{\mathrm{△}ABD}{\mathrm{△}ACD}=\frac{AB\sin \mathrm{\angle }BAD}{AC\sin \mathrm{\angle }CAD}$

마찬가지로

$\frac{CE}{AE}=\frac{BC\sin \mathrm{\angle }CBE}{BA\sin \mathrm{\angle }ABE}$

$\frac{AF}{BF}=\frac{CA\sin \mathrm{\angle }ACF}{CB\sin \mathrm{\angle }BCF}$

이 성립한다.

위의 세 식을 모두 곱하면,

$\frac{BD}{DC}*\frac{CE}{EA}*\frac{AF}{FB}=\frac{\sin \mathrm{\angle }BAD}{\sin \mathrm{\angle }CAD}*\frac{\sin \mathrm{\angle }CBE}{\sin \mathrm{\angle }ABE}*\frac{\sin \mathrm{\angle }ACF}{\sin \mathrm{\angle }BCF}$

체바 정리에 의하여 AD, BE, CF가 한 점에서 만남은 위의 식의 값이 1임과 동치이므로,

각 체바 정리를 얻을 수 있다.