한-바나흐 정리

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 한-바나흐 정리(Hahn-Banach定理, 틀:Llang)는 열선형 함수에 대하여 지배당하는, 부분적으로 정의된 선형함수를 공간 전체로 확장시킬 수 있다는 정리다.

정의

실수 벡터 공간 $V$ 위의 열선형 함수(劣線型函數, 틀:Llang)는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $f:V\to ℝ$이다.

• (동차성) 임의의 $\gamma \in {ℝ}^{+}$와 $v\in V$에 대하여, $f(\gamma v)=\gamma f(v)$
• (준가법성) 임의의 $u,v\in V$에 대하여, $f(u+v)\le f(u)+f(v)$

예를 들어, $V$의 모든 반노름이나 노름은 열선형 함수이다.

실수 벡터 공간 $V$의 부분 벡터 공간 $U\subset V$ 위에 정의된 선형함수 $\varphi :U\to ℝ$가 열선형 함수 $f:V\to ℝ$에 대하여 지배당한다고 하자. 즉,

$\varphi (u)\le f(u)\mathrm{\forall }u\in U$

라고 하자. 그렇다면, 한-바나흐 정리에 따라, $\varphi$를 같은 열선형 함수에 지배당하는, $V$ 전체에 정의된 선형함수 $\tilde{\varphi }$로 확장시킬 수 있다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 선형함수 $\tilde{\varphi }:V\to ℝ$가 존재한다.

• $\varphi (u)=\tilde{\varphi }(u)\mathrm{\forall }u\in U$
• $\tilde{\varphi }(v)\le f(v)\mathrm{\forall }v\in V$

다만, 이러한 확장은 일반적으로 유일하지 않다.

역사

1920년대 말에 이 정리를 독립적으로 증명한 오스트리아의 수학자 한스 한(Hans Hahn)과 폴란드의 수학자 스테판 바나흐(Stefan Banach)의 이름이 붙어 있다. 역사적으로, 1912년에 오스트리아의 에두아르트 헬리가 정리의 특수한 경우를 증명하였고, 헝가리 수학자 리스 머르첼이 1923년 한-바나흐 정리를 유도할 수 있는 일반적인 리스 확장정리를 증명하였다.

각주

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (2nd ed.). McGraw-Hill Science/Engineering/Math. 틀:ISBN
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드

같이 보기

• 리스 확장정리
• 초평면 분리정리