오일러의 연분수 공식

틀:위키데이터 속성 추적 오일러의 연분수 공식(-連分數公式, Euler's continued fraction formula)은 스위스의 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 해석학의 공식이다. 기본적으로 어떠한 급수를 연분수로 전개하는 방법을 정리한 것이다. 이 공식을 이용하여 멱급수로 전개 가능한 함수를 연분수 꼴로 표현하는 것도 가능하다.

공식화

유한 복소수항 급수에 대해 오일러의 연분수 공식은 다음과 같다. 이 형태는 오일러가 입안한 초기의 형태이다.

a_{0} + a_{0} a_{1} + a_{0} a_{1} a_{2} + \dots + a_{0} a_{1} a_{2} \dots a_{n} = \frac{a_{0}}{1 - \frac{a_{1}}{1 + a_{1} - \frac{a_{2}}{1 + a_{2} - \frac{⋱}{⋱ \frac{a_{n - 1}}{1 + a_{n - 1} - \frac{a_{n}}{1 + a_{n}}}}}}}

이것은 단순히 자연수에 대한 수학적 귀납법으로 증명할 수 있는 항등식이다. 이러한 공식은 무한 항까지 자연스럽게 확장될 수 있는데, 만약 좌변이 수렴하는 무한급수라면 우변도 역시 수렴하는 무한 연분수가 된다.

만약

x = \frac{1}{1 + \frac{a_{2}}{b_{2} + \frac{a_{3}}{b_{3} + \frac{a_{4}}{b_{4} + ⋱}}}}

이 복소 연분수이고 어느 b_i 도 0이 아니라면^[1], 그 비의 열 {r_i}은 다음과 같이 정의할 수 있다.

r_{i} = - \frac{a_{i + 1} b_{i - 1}}{b_{i + 1}} .

그러면 다음 두 등식은 귀납법에 의해 증명할 수 있다.

x = \frac{1}{1 + \frac{a_{2}}{b_{2} + \frac{a_{3}}{b_{3} + \frac{a_{4}}{b_{4} + ⋱}}}} = \frac{1}{1 - \frac{r_{1}}{1 + r_{1} - \frac{r_{2}}{1 + r_{2} - \frac{r_{3}}{1 + r_{3} - ⋱}}}}

x = 1 + \sum_{i = 1}^{\infty} r_{1} r_{2} \dots r_{i} = 1 + \sum_{i = 1}^{\infty} (\prod_{j = 1}^{i} r_{j})

복소 지수 함수는 전해석 함수이고, 테일러 급수로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

e^{z} = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} (\prod_{j = 1}^{n} \frac{z}{j})

그러므로 다음과 같이 즉시 오일러의 연분수 공식을 적용할 수 있다.

e^{z} = \frac{1}{1 - \frac{z}{1 + z - \frac{\frac{1}{2} z}{1 + \frac{1}{2} z - \frac{\frac{1}{3} z}{1 + \frac{1}{3} z - \frac{\frac{1}{4} z}{1 + \frac{1}{4} z - ⋱}}}}} .

또는 이를 조금 보기 좋게 쓰면 다음과 같다.

e^{z} = \frac{1}{1 - \frac{z}{1 + z - \frac{z}{2 + z - \frac{2 z}{3 + z - \frac{3 z}{4 + z - ⋱}}}}}

오일러의 연분수 공식을 응용하여 유명한 초월수인 상수 π를 연분수 꼴로 쓸 수 있다. 먼저 |z|<1에 대하여 테일러 급수를 이용하면 다음 식을 얻는다.

\log \frac{1 + z}{1 - z} = 2 (z + \frac{z^{3}}{3} + \frac{z^{5}}{5} + \dots) = 2 z [1 + \frac{z^{2}}{3} + (\frac{z^{2}}{3}) \frac{z^{2}}{5 / 3} + (\frac{z^{2}}{3}) (\frac{z^{2}}{5 / 3}) \frac{z^{2}}{7 / 5} + \dots] .

그러므로 오일러의 연분수 공식을 적용하면 이 함수의 연분수 표현은 이렇게 된다.

\log \frac{1 + z}{1 - z} = \frac{2 z}{1 - \frac{\frac{1}{3} z^{2}}{1 + \frac{1}{3} z^{2} - \frac{\frac{3}{5} z^{2}}{1 + \frac{3}{5} z^{2} - \frac{\frac{5}{7} z^{2}}{1 + \frac{5}{7} z^{2} - \frac{\frac{7}{9} z^{2}}{1 + \frac{7}{9} z^{2} - ⋱}}}}} = \frac{2 z}{1 - \frac{z^{2}}{z^{2} + 3 - \frac{(3 z)^{2}}{3 z^{2} + 5 - \frac{(5 z)^{2}}{5 z^{2} + 7 - \frac{(7 z)^{2}}{7 z^{2} + 9 - ⋱}}}}} .

그런데 이 함수는 z = i에서 값이 존재하고, 실제로 이렇게 된다.

\frac{1 + i}{1 - i} = i \Rightarrow \log \frac{1 + i}{1 - i} = \frac{i π}{2} .

또 여기서 급수 표현이 수렴하므로 아벨 극한 정리에 의해 급수 표현과 이 값은 같고, π를 남기고 연분수로 표현하여 이항하면 바로 π의 연분수 표현을 얻는다.

π = \frac{4}{1 + \frac{1^{2}}{2 + \frac{3^{2}}{2 + \frac{5^{2}}{2 + \frac{7^{2}}{2 + ⋱}}}}} .

H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company 틀:ISBN.