피어츠 항등식

틀:위키데이터 속성 추적 피어츠 항등식(틀:Lang)이란 두 스피너 쌍선형 형식의 곱을 다른 스피너 쌍선형 형식 곱의 선형 결합으로 나타내는 항등식이다. 스위스의 물리학자 마르쿠스 에두아르트 피어츠(틀:Lang)가 도입하였다. 양자장론에서 스피너로 나타내어지는 페르미온을 다룰 때 쓴다.

디랙 스피너

디랙 스피너의 피어츠 항등식은 다음 표에 의하여 주어진다. 여기서 S, V, T, A, P는 각각 스칼라, 벡터, 텐서, 축벡터, 유사스칼라를 나타낸다.

	S	V	T	A	P
S × S =	¼	¼	−¼	−¼	¼
V × V =	1	−½	0	−½	−1
T × T =	−1½	0	−½	0	−1½
A × A =	-1	−½	0	−½	1
P × P =	¼	−¼	−¼	¼	¼

예를 들어 벡터×벡터 곱의 피어츠 항등식은 다음과 같다.

$\left(\overline{\chi }{\gamma }^{\mu }\psi \right)\left(\overline{\psi }{\gamma }_{\mu }\chi \right)=\left(\overline{\chi }\chi \right)\left(\overline{\psi }\psi \right)-\frac{1}{2}\left(\overline{\chi }{\gamma }^{\mu }\chi \right)\left(\overline{\psi }{\gamma }_{\mu }\psi \right)-\frac{1}{2}\left(\overline{\chi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }_5\chi \right)\left(\overline{\psi }{\gamma }_{\mu }{\gamma }_5\psi \right)-\left(\overline{\chi }{\gamma }^5\chi \right)\left(\overline{\psi }{\gamma }_5\psi \right).$

바일 스피너

반가환 바일 스피너는 다음의 피어츠 항등식을 만족한다.

$\xi (\overline{\eta }\zeta )+\eta (\overline{\zeta }\xi )+\zeta (\overline{\xi }\eta )=0.$

$(\psi {\sigma }^{\mu \nu }\chi )({\psi }^{\prime }{\sigma }_{\mu \nu }{\chi }^{\prime })=-2(\psi {\chi }^{\prime })(\chi {\psi }^{\prime })-(\psi \chi )({\psi }^{\prime }{\chi }^{\prime })$

$(\overline{\psi }{\overline{\sigma }}^{\mu \nu }\overline{\chi })({\overline{\psi }}^{\prime }{\overline{\sigma }}_{\mu \nu }{\overline{\chi }}^{\prime })=-2(\overline{\psi }{\overline{\chi }}^{\prime })(\overline{\chi }{\overline{\psi }}^{\prime })-(\overline{\psi }\overline{\chi })({\overline{\psi }}^{\prime }{\overline{\chi }}^{\prime })$

$(\psi {\sigma }^{\mu \nu }\chi )({\overline{\psi }}^{\prime }{\overline{\sigma }}_{\mu \nu }{\overline{\chi }}^{\prime })=0$.

참고 문헌

• 틀:저널 인용
• LB Okun Leptons and Quarks §29.3.4. 틀:ISBN