더시터르 공간

틀:위키데이터 속성 추적 일반 상대성 이론과 미분기하학에서 더시터르 공간(de Sitter空間, 틀:Llang)은 로런츠 다양체의 하나다. 양의 우주 상수를 가지는 아인슈타인 방정식의 진공 해이며, 암흑 에너지밖에 없는 진공을 나타낸다. n차원 더시터르 공간의 기호는 dS_n.

우리가 살고 있는 우주는 현재 대부분(69%) 암흑 에너지로 차 있다 (ΛCDM 모형). 따라서, 우리 우주는 더시터르 공간으로 근사할 수 있다.

최근에는, 본래 특수 상대성 이론의 골자로서 민코프스키 공간이 이용된 것을, 이 더시터르 공간을 새로이 이용해서 더시터르 상대성이라는 형식을 세우는 것이 일각에서 고려되고 있다.

역사

1917년에 빌럼 더시터르와 툴리오 레비치비타 가 독자적으로 발견하였다.

정의

n차원 더시터르 공간은 n+1차원 민코프스키 공간의 부분공간으로 정의할 수 있다. n+1차원 민코프스키 공간 ${ℝ}^{1,n}$의 다음과 같은 직교좌표계를 생각하자.

$d{s}^2=-d{x}_0^2+\sum _{i=1}^{n}d{x}_i^2.$

더시터르 공간은 다음 식을 만족하는 쌍곡면으로 표현되는 부분다양체이다.

$-x_0^2+\sum _{i=1}^n{x}_i^2={\alpha }^2$

여기서 $\alpha$는 길이의 차원을 가지는 양의 상수이며, 더시터르 반지름(틀:Llang)이라고 한다. 더시터르 공간의 계량 텐서는 고차원 민코프스키 공간에서 유도되는 계량 텐서(틀:Lang)이며, 이 계량이 로런츠 계량 부호수를 가지고 있다는 사실을 보일 수 있다. (만약 위의 정의에서 ${\alpha }^2$ 을 $-{\alpha }^2$으로 대치하면 두 장의 쌍곡면을 얻는다. 이 경우 유도 계량은 양의 정부호이며, 각각의 쌍곡면들은 n차원 쌍곡면 공간을 이룬다.)

성질

기하학적 성질

더시터르 공간은 동차공간

${\mathrm{dS}}_n=O(1,n)/O(1,n-1)$

으로 나타낼 수 있다. 여기서 O(p,q)는 임의의 계량 부호수에 대한 직교군이다.

더시터르 공간의 등거리변환군은 O(1,n) 로런츠 군이다. 그러므로 계랑은 n(n+1)/2 개의 독립적인 킬링 벡터를 가지며, 최대대칭공간(틀:Llang)이다. 모든 최대 대칭 공간은 일정한 곡률을 갖는다. 더시터르 공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.

$R_{\rho \sigma \mu \nu }=\frac{1}{{\alpha }^2}(g_{\rho \mu }{g}_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }{g}_{\sigma \mu })$

리치 곡률이 계량에 비례하므로, 더시터르 공간은 아인슈타인 다양체이다.

$R_{\mu \nu }=\frac{n-1}{{\alpha }^2}{g}_{\mu \nu }$

따라서, 더시터르 공간은 다음과 같은 우주 상수 $\mathrm{\Lambda }$를 갖는, 아인슈타인 방정식의 진공해이다.

$\mathrm{\Lambda }=\frac{(n-1)(n-2)}{2{\alpha }^2}.$

더시터르 공간의 스칼라 곡률은 다음과 같다.

$R=\frac{n(n-1)}{{\alpha }^2}=\frac{2n}{n-2}\mathrm{\Lambda }.$

4차원 더시터르 공간의 경우 $\mathrm{\Lambda }=3/{\alpha }^2$, $R=4\mathrm{\Lambda }=12/{\alpha }^2$이다.

위상수학적 성질

n차원 더시터르 공간은 $S^{n-1}\times ℝ$과 위상동형이다. 따라서 2차원이 아닌 더시터르 공간은 단일 연결 공간이다. (2차원 더시터르 공간은 물론 기본군 $\mathbb{Z}$를 가진다.)

펜로즈 그림

더시터르 공간의 펜로즈 그림. 좌변은 공간의 북극, 우변은 공간의 남극을 나타낸다. 윗변은 무한 미래, 아랫변은 무한 과거를 나타낸다.

더시터르 공간의 펜로즈 그림은 정사각형이다. 더시터르 공간의 경우 위상학적으로 $S^{n-1}\times ℝ$이므로, 정사각형 내부의 각 점은 $S^{n-2}$에 대응한다. 정사각형의 좌변과 우변은 $S^{n-1}$의 남극과 북극을 나타내므로, 좌변과 우변에서의 각 점은 실제 하나의 점에 대응한다. 정사각형의 윗변과 아랫변은 더시터르 공간의 각각 무한한 미래와 과거를 나타내고, 더시터르 공간의 실재하는 점에 대응하지 않는다.

좌표계

더시터르 공간에는 다양한 좌표계들이 존재한다. 그 중 흔히 쓰이는 것들은 다음과 같다.

정적 좌표계

정적 좌표계(靜的座標系, 틀:Llang)로서 $(t,r,\dots )$ 을 다음과 같이 놓을 수 있다.

$x_0=\sqrt{{\alpha }^2-r^2}\sinh (t/\alpha )$

$x_1=\sqrt{{\alpha }^2-r^2}\cosh (t/\alpha )$

$x_i=r{z}_{i}2\le i\le n.$

여기서 $z_i$은 Rⁿ⁻¹ 안에서의 표준 매장으로서의 (n−2)차원 구면을 나타낸다. 이들 좌표를 가지고, 더시터르 계랑을 다음과 같이 기술할 수 있다.

$d{s}^2=-(1-\frac{r^2}{{\alpha }^2})d{t}^2+{(1-\frac{r^2}{{\alpha }^2})}^{-1}d{r}^2+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}_{n-2}^2.$

여기서 $r=\alpha$에 사건 지평선이 존재한다. 이를 우주론적 지평선(宇宙論的地平線, 틀:Llang)이라고 하며, 지평선 안을 관측 가능한 우주(틀:Llang)라고 한다.

FLRW 좌표계

더시터르 공간은 FLRW 해의 한 종류이며, 공간의 곡률이 +1, 0, 또는 −1인 엽층을 줄 수 있다.

n차원 FLRW 계량은

$d{s}^2=-d{t}^2+a(t{)}^{2}d{\mathrm{\Sigma }}^2$

이며, 여기서

$d{\mathrm{\Sigma }}^2=d{\mathrm{\Omega }}_{n-1}^2$ (n−1차원 초구 계량, $k=+1$인 경우)

$d{\mathrm{\Sigma }}^2=d{r}^2+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}_{n-2}^2$ (n−1차원 유클리드 공간 계량, $k=0$인 경우)

$d{\mathrm{\Sigma }}^2=d{r}^2+({\sinh }^{2}r)d{\mathrm{\Omega }}_{n-2}^2$ (n−1차원 쌍곡공간 계량, $k=-1$인 경우)

이다. 척도인자 $a(t)$는 다음과 같다.

$a(t)=\alpha \cosh (t/\alpha )$ ($k=+1$)

$a(t)=\exp (t/\alpha )$ ($k=0$)

$a(t)=\alpha \sinh (t/\alpha )$ ($k=-1$)

열역학

더시터르 공간은 (반 더시터르 공간과 달리) 우주론적 지평선(cosmological horizon)을 가진다. 이에 따라, 더시터르 공간은 블랙홀과 마찬가지로 유한한 온도와 엔트로피를 가지게 된다.

더시터르 공간에서의 진공 상태는 번치-데이비스 진공(틀:Llang)이라고 불리는 상태이며, 그 온도는

$T=\frac{\hslash }{k_{B}2\pi \alpha }$

이다. 또한, 더시터르 공간의 지평선의 넓이

$A=\mathrm{vol}(S^{n-2}){\alpha }^{n-2}$

는 유한하다. (여기서 $\mathrm{vol}(S^{n-2})$는 반지름이 1인 $n-2$차원 초구의 넓이다.) 따라서 블랙홀 열역학과 유사하게 엔트로피

$S=\frac{k_B{c}^{3}A}{4\hslash G}=\frac{k_B{c}^3\mathrm{vol}(S^{n-2}){\alpha }^{n-2}}{4\hslash G}$

를 계산할 수 있다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:웹 인용

같이 보기

• 반 더시터르 공간
• dS/CFT 대응성
• 더시터르-슈바르트실트 우주
• 쌍곡면