완화 시간

틀:위키데이터 속성 추적 물리계가 비평형 상태에서 평형 상태로 변화하는 것을 완화(緩和, relaxation)이라고 부른다. 이 때, 완화에 걸리는 시간을 완화 시간(緩和時間, relaxation time)이라고 부른다.

볼츠만 운송 방정식

전자의 파동 벡터가 $\overrightarrow{k}$일 때, 외부에서 field $\overrightarrow{F}$를 걸어주면 전자는 다음과 같은 식을 만족하며 변한다.

$\hslash \frac{d\overrightarrow{k}}{dt}=\overrightarrow{F}$

t초일 때 위치가 $\overrightarrow{r}$, 파동 벡터가 $\overrightarrow{k}$인 전자의 확률밀도함수를 $f(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r},t)$로 나타내고 이를 전자의 분포함수라고 부른다.

우선 전자의 상태가 산란되지 않고 외부에서 가해준 힘에 의해서만 변한다고 가정하면 전자는 dt 이후에 위치는 $r+\dot{r}dt$, 파동 벡터는 $k+\dot{k}dt$인 상태가 되므로 역으로 $r-\dot{r}dt$, $k-\dot{k}dt$ 인 상태가 dt초 후에 $f(\overrightarrow{k},\overrightarrow{r},t)$인 상태로 변한다고 볼 수 있다.

따라서 분포함수의 변화율은 다음과 같다.

$(\frac{df}{dt}{)}_{drift}=[f(k-\dot{k}dt,r-\dot{r}dt,t-dt)-f(k,r,t)]/dt$

이는 연속적인 전자의 흐름과 관계되므로 표류기간이라고 부른다.

$f(k-\dot{k}dt,r-\dot{r}dt,t-dt)$을 다음과 같이 테일러 전개하여

$f(k-\dot{k}dt,r-\dot{r}dt,t-dt)=f(k,r,t)-[\dot{k}\cdot \frac{\partial f}{\partial k}+\dot{r}\cdot \frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial t}]dt\cdot \cdot \cdot$

이를 대입하면 표류기간은 다음과 같다.

$(\frac{df}{dt}{)}_{drift}=-[\dot{k}\cdot {\mathrm{\nabla }}_{k}f+v\cdot {\mathrm{\nabla }}_{r}f+\frac{\partial f}{\partial t}]=-[\frac{1}{\hslash }(F\cdot {\mathrm{\nabla }}_{k}f)+v\cdot {\mathrm{\nabla }}_{r}f+\frac{\partial f}{\partial t}]$

한편, 전자는 충돌(collision)에 의한 분포함수의 변화율까지 고려해서 평형상태를 유지해야 하므로 표류에 의한 분포함수 변화율과 충돌에 의한 분포함수 변화율의 합은 0이어야 한다.

$(\frac{df}{dt}{)}_{drift}+(\frac{df}{dt}{)}_{coll}=0$

따라서 충돌에 의한 분포함수 변화율 식은 다음과 같다.

$(\frac{df}{dt}{)}_{coll}=\frac{1}{\hslash }(F\cdot {\mathrm{\nabla }}_{k}f)+v\cdot {\mathrm{\nabla }}_{r}f+\frac{\partial f}{\partial t}$

이를 볼츠만의 운송 방정식이라 한다.

완화 시간

크리스탈이 uniform 하고 분포함수이 위치에 따라 무관하다고 가정하자.

이때 분포함수 f(k)는 k' 상태에서 k 상태로의 전이로 인해 증가하고, k 상태에서 k'상태로의 전이로 인해 감소한다.

이에 해당하는 단위 시간당 전이 확률을 각각 P(k',k), P(k,k')라 한다면 충돌 항은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$(\frac{df}{dt}{)}_{coll}=\sum _{k^{\prime }}P(k^{\prime },k)f(k^{\prime })[1-f(k)]-P(k,k^{\prime })f(k)[1-f(k^{\prime })]$

여기서 $f(k^{\prime })[1-f(k)]$ term 은 전자가 k'상태에 존재하고 k 상태에 존재하지 않을 확률을 나타낸다.

Fermi level 이 conduction band의 bottom 에 놓여 있는 간단한 상황을 생각해보면 f(k)와 f(k')이 매우 작다고 할 수 있다.

이때 열적 평형에서의 distribution function을 $f_0(k)$ 로 정의하면 collision에 의한 distribution function 변화율은 0이어야 하므로 다음의 관계식을 얻는다.

$P(k^{\prime },k)f_0(k^{\prime })=P(k,k^{\prime })f_0(k)$

이를 이용하면 collision에 의한 distribution function 변화율은 다음과 같다.

$(\frac{df}{dt}{)}_{coll}=-\sum _{k^{\prime }}P(k,k^{\prime })[f(k)-f(k^{\prime })\frac{f_0(k)}{f_0(k^{\prime })}]=-\frac{V}{(2\pi {)}^3}\int d^3{k}^{\prime }P(k,k^{\prime })[f(k)-f(k^{\prime })\frac{f_0(k)}{f_0(k^{\prime })}]$

여기서 V는 크리스탈의 부피이다.

외부 field 가 매우 작고 distribution function이 열적평형에 가까우며 scattering에 의한 에너지 변화가 매우 작은 탄성 충돌이라고 가정하면 다음의 식이 성립한다.

$f(k)=f_0(k)+f_1(k)$

$f_1(k)<<f_0(k)$

$f_0(k)\cong f_0(k^{\prime })$

이를 통해 다음과 같은 식이 만족하므로

$(\frac{df}{dt}{)}_{coll}=-f_1(k)\frac{V}{(2\pi {)}^3}\int d^3{k}^{\prime }P(k,k^{\prime })[1-\frac{f_1(k^{\prime })}{f_1(k)}]\equiv -\frac{f_1(k)}{\tau (k)}\equiv -\frac{f(k)-f_0(k)}{\tau (k)}$

collision의 relaxation time을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\frac{1}{\tau (k)}=\frac{V}{(2\pi {)}^3}\int d^3{k}^{\prime }P(k,k^{\prime })[1-\frac{f_1(k^{\prime })}{f_1(k)}]$

한편, relaxation time approximation 을 이용하여 Boltzmann transport equation 은 다음과 같이 relaxation time으로 표현할 수 있고

$\frac{1}{\hslash }(F\cdot {\mathrm{\nabla }}_{k}f)+v\cdot {\mathrm{\nabla }}_{r}f+\frac{\partial f}{\partial t}=-\frac{f-f_0}{\tau }$

공간적으로 uniform 하고 steady state 일 때 위 식은 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다.

$\frac{1}{\hslash }(F\cdot {\mathrm{\nabla }}_{k}f)=-\frac{f_1}{\tau }$

만약 외부에서 걸어주는 field 가 x 방향이라면

$f_1=-\frac{\tau }{\hslash }{F}_x\frac{\partial f}{\partial k_x}=-\frac{\tau }{\hslash }{F}_x\frac{\partial f}{\partial E}\frac{\partial E}{\partial k_x}=-\tau v_x{F}_x\frac{\partial f}{\partial E}$

위 식이 만족하고, 여기서 $v_x=\frac{\hslash k_x}{m*}$ 이고 m*는 전자의 effective mass이다.

$f=f_0+f_1$과 $f_0>>f_1$을 이용하면

$f_1=-\tau v_x{F}_x\frac{\partial f_0}{\partial E}$

로 근사할 수 있고 이 식을 relaxation time 식에 대입하면 다음과 같은 식을 얻게 된다.

$\frac{1}{\tau (k)}=\frac{V}{(2\pi {)}^3}\int d^3{k}^{\prime }P(k,k^{\prime })[1-\frac{k{\text{'}}_x}{k_x}]=\frac{V}{(2\pi {)}^3}\int d^3{k}^{\prime }P(k,k^{\prime })[1-cos\theta ]$

여기서 $\theta$는 k와 k'사이 각을 의미한다.

같이 보기

• 시간 상수

참고 문헌

• C. Hamaguchi, Basic Semiconductor Physics,Springer,pages 196-252