양자 맥놀이

틀:위키데이터 속성 추적 물리학에서 양자 맥놀이(quantum beats) 현상은 준고전이론으로는 설명되지 않지만 양자적 계산, 특히 QED에 의해서 설명되는 간단한 예이다. 준고전이론에 따르면 V형과 $\mathrm{\Lambda }$형 원자에서 모두 간섭 혹은 맥놀이가 나타난다. 그러나 QED 계산에서는 V형 원자에는 맥놀이가 있지만 $\mathrm{\Lambda }$형 원자에는 없다. 이것은 QED의 좋은 증거이기도 하다.

V형 원자와 $\mathrm{\Lambda }$형 원자

Quantum Optics에 있는 그림[1]이 정확하게 두가지 원자에 대해서 설명한다.

간단히 말하면, V형 원자는 $|a⟩$, $|b⟩$ 그리고 $|c⟩$의 세가지 상태를 갖는다. $|a⟩$와 $|b⟩$의 에너지가 $|c⟩$의 에너지보다 크다. 전자들은 $|a⟩$와 $|b⟩$에 있다가 $|c⟩$로 붕괴하며, 두가지 방출이 일어난다.

$\mathrm{\Lambda }$형 원자에도 $|a⟩$, $|b⟩$ 그리고 $|c⟩$의 세가지 상태가 있다. 하지만 이 경우에는 $|a⟩$의 에너지가 가장 크며, 여기에 있던 두 전자가 각각 $|b⟩$와 $|c⟩$로 붕괴한다. 그 때에는 역시 두가지 방출이 일어난다.

아래의 모든 유도 과정은 Quantum Optics[2]의 내용을 따랐다.

준고전이론의 계산

준고전적인 관점에서, 전자의 상태 벡터는 아래와 같다.

$|\psi (t)⟩=c_{a}exp(-i{\omega }_{a}t)|a⟩+c_{b}exp(-i{\omega }_{b}t)|b⟩+c_{c}exp(-i{\omega }_{c}t)|c⟩$

만약 사라지지 않는 쌍극자 행렬의 원소가 다음과 같이 나타나진다면,

${𝒫}_{ac}=e⟨a|r|c⟩,{𝒫}_{bc}=e⟨b|r|c⟩$ (V형 원자)

${𝒫}_{ab}=e⟨a|r|b⟩,{𝒫}_{ac}=e⟨a|r|c⟩$ ($\mathrm{\Lambda }$형 원자)

각 원자들은 두개의 미시적인 진동 쌍극자를 갖는다.

$P(t)={𝒫}_{ac}(c_a^{*}{c}_c)exp(i{\nu }_{1}t)+{𝒫}_{bc}(c_b^{*}{c}_c)exp(i{\nu }_{w}t)+c.c.$ for V-type, when ${\nu }_1={\omega }_a-{\omega }_c,{\nu }_2={\omega }_b-{\omega }_c$,

$P(t)={𝒫}_{ab}(c_a^{*}{c}_b)exp(i{\nu }_{1}t)+{𝒫}_{ac}(c_a^{*}{c}_c)exp(i{\nu }_{w}t)+c.c.$ for $\mathrm{\Lambda }$-type, when ${\nu }_1={\omega }_a-{\omega }_b,{\nu }_2={\omega }_a-{\omega }_c$.

준고전적인 관점에서, 방출되는 전기마당은 두 항의 합이 되므로,

$E^{(+)}={ℰ}_{1}exp(-i{\nu }_{1}t)+{ℰ}_{2}exp(-i{\nu }_{2}t)$,

간섭 혹은 맥놀이에 해당하는 항이 존재하는 것을 알 수 있다.

$|E^{(+)}{|}^2=|{ℰ}_1{|}^2+|{ℰ}_2{|}^2+\{{ℰ}_1^{*}{ℰ}_{2}exp[i({\nu }_1-{\nu }_2)t]+c.c.\}$.

QED의 계산

QED 계산을 위해서 우리는 양자 역학 2차 양자화의 생성 연산자와 소멸 연산자를 도입해야만 한다.

$E_n^{(+)}=a_{n}exp(-i{\nu }_{n}t)$를 생성 연산자로,

$E_n^{(-)}=a_n^{†}exp(i{\nu }_{n}t)$을 소멸 연산자로 생각하자.

이 때 맥놀이 부분은 아래와 같다.

$⟨{\psi }_V(t)|E_1^{(-)}(t)E_2^{(+)}(t)|{\psi }_V(t)⟩$ (V형)

$⟨{\psi }_{\mathrm{\Lambda }}(t)|E_1^{(-)}(t)E_2^{(+)}(t)|{\psi }_{\mathrm{\Lambda }}(t)⟩$ ($\mathrm{\Lambda }$형)

또한 각각의 상태 벡터는 아래와 같다.

$|{\psi }_V(t)⟩=\sum _{i=a,b,c}{c}_i|i,0⟩+c_1|c,1_{{\nu }_1}⟩+c_2|c,1_{{\nu }_2}⟩$

$|{\psi }_{\mathrm{\Lambda }}(t)⟩=\sum _{i=a,b,c}{c_i}^{\prime }|i,0⟩+{c_1}^{\prime }|b,1_{{\nu }_1}⟩+{c_2}^{\prime }|c,1_{{\nu }_2}⟩$

그렇다면 결국 맥놀이에 관한 항은 아래와 같이 정리된다.

$⟨{\psi }_V(t)|E_1^{(-)}(t)E_2^{(+)}(t)|{\psi }_V(t)⟩=\kappa ⟨1_{{\nu }_1}{0}_{{\nu }_2}|a_1^{†}{a}_2|0_{{\nu }_1}{1}_{{\nu }_2}⟩exp[i({\nu }_1-{\nu }_2)t]⟨c|c⟩=\kappa exp[i({\nu }_1-{\nu }_2)t]⟨c|c⟩$ (V형)

$⟨{\psi }_{\mathrm{\Lambda }}(t)|E_1^{(-)}(t)E_2^{(+)}(t)|{\psi }_{\mathrm{\Lambda }}(t)⟩={\kappa }^{\prime }⟨1_{{\nu }_1}{0}_{{\nu }_2}|a_1^{†}{a}_2|0_{{\nu }_1}{1}_{{\nu }_2}⟩exp[i({\nu }_1-{\nu }_2)t]⟨b|c⟩={\kappa }^{\prime }exp[i({\nu }_1-{\nu }_2)t]⟨b|c⟩$ ($\mathrm{\Lambda }$형)

그러나 고유함수의 직교성에 따라 $⟨c|c⟩=1$와 $⟨b|c⟩=o$이 된다.

따라서 V형 원자에는 맥놀이 항이 있지만, $\mathrm{\Lambda }$형 원자에는 없다.

결론

결론적으로, V형 원자에는 양자 맥놀이가 있지만 $\mathrm{\Lambda }$형 원자에는 없다. 이러한 차이는 양자 역학적인 불확정성에 기인한다. V형 원자는 두가지 떨기수를 통해 붕괴하는데, 그 두가지 전이가 같은 상태를 향해 이루어짐으로써 우리는 어떤 것이 어떤 길을 따라 왔는지 정할 수 없다. 그러나 $\mathrm{\Lambda }$형 원자는 역시 두가지 떨기수를 통해 붕괴하지만 서로 다른 상태로 붕괴하기 때문에 어떤 길을 따라 왔는지 알 수 있다.

자연에서는 양자 역학의 가장 기본적인 원리인 불확정성의 원리를 포함한 QED의 계산이 맞는다. 양자 맥놀이 현상은 준고전적인 이론이 설명하지 못하면서 QED로는 설명되는 좋은 예이다.

같이 보기

• 양자 전기역학
• 이중슬릿 실험