맥스웰-볼츠만 통계

통계역학에서 맥스웰-볼츠만 통계(틀:Lang)는 양자 효과를 감안하기에는 미미할 정도로 온도가 높고 밀도가 낮은 경우에 한해 열적 평형 상태에서 다양한 입자의 통계적 분포를 설명한다.

개념

각 상태에 있는 모든 알갱이 수에 대하여 합하여야만 한다. 즉 각 r에 대해서 $n_r=0,1,2,3,\dots$ 인데 고정된 총 알갱이 수에 대해 다음의 제한식을 따라야만 한다.

$\sum _i{N}_i=N$

그런데 알갱이는 구별할 수 있는 것으로 또한 생각을 한다. 그러므로 다른 상태에 있는 두 알갱이의 어떤 순열은 비록 수 $\{n_1,n_2,n_3,\dots \}$는 바뀌지 않은 채로 남아 있지만 기체 전체의 구별되는 상태로 세어야만 한다. 이것은 각 한-알갱이 상태에 얼마나 많은 알갱이가 있는가를 명시하는 것이 충분하지 못해서가 아니라, 어느 상태에 있는 알갱이가 있는가를 명시하는 것이 필요하기 때문에 그렇다.

큰 분포함수

$Z_G^{MB}=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\exp (z{e}^{-\beta {ϵ}_k})$

여기서 $z=e^{\beta \mu }$이다.

큰 분배함수는 다음과 같이 증명할 수 있다.

$Z_G^{MB}=\sum _{n_k}\frac{1}{n_1!n_2!\cdots }(e^{-\beta ({ϵ}_1-\mu )}{)}^{n_1}(e^{-\beta ({ϵ}_2-\mu )}{)}^{n_2}\cdots$

$=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n_k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n_k!}{e}^{-\beta ({ϵ}_k-\mu {)}^{n_k}}$

$=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n_k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n_k!}(z{e}^{-\beta {ϵ}_k}{)}^{n_k}$

$=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}exp(z{e}^{-\beta {ϵ}_k})$

점유수

맥스웰-볼츠만 통계에 따르면, 상태 i에 놓여 있는 입자의 점유수는 다음과 같다.

$\frac{N_i}{N}=\frac{g_i}{e^{({ϵ}_i-\mu )/kT}}=\frac{g_i{e}^{-{ϵ}_i/kT}}{Z}$

$N_i$ : 상태 i에 놓인 입자의 점유수

${ϵ}_i$ : 상태 i에서의 에너지

$g_i$ : 상태 i에서의 겹침

μ : 화학 퍼텐셜

k : 볼츠만 상수

T : 절대온도

N : 총 입자수

$N=\sum _i{N}_i$

같이 보기

• 보즈-아인슈타인 통계
• 페르미-디랙 통계