코시-오일러 방정식

틀:위키데이터 속성 추적 코시-오일러 방정식(틀:Llang)은 선형 동차 상미분 방정식이다.

정의

n차 코시-오일러 방정식은 미지 함수 $y(x)$에 대한, 다음과 같은 n차 상미분 방정식이다.

$a_n{x}^n{y}^{(n)}(x)+a_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0$

여기서 $a_0,\dots ,a_n$은 주어진 계수들이다.

2차 코시-오일러 방정식

2차 코시-오일러 방정식은 다음과 같다.

$x^2{y}^{″}+ax{y}^{\prime }+by=0$

이는 다음과 같이 풀 수 있다. 우선 다음과 같은 가설 풀이를 사용하자.

$y=x^m$

이를 첫 번째 식에 대입하면,

$x^{2}m(m-1)x^{m-2}+axm{x}^{m-1}+b{x}^m=0$

이 되고, $x\ne 0$일 때 공통인자 $x^m$을 제거하면,

$m^2+(a-1)m+b=0$

이 된다.

여기서 $m$에 따라 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

근의 수	해
서로 다른 두 실근	$y=c_1{x}^{m_1}+c_2{x}^{m_2}$
중근	$y=(c_1+c_2\ln x)x^m$
공역 복소근	$y=x^u[A\cos (v\ln x)+B\sin (v\ln x)],m_1=u+iv,m_2=u-iv$

참고 도서

• 틀:서적 인용