람베르트 정각원추도법

람베르트 정각원추도법(람베르트正角圓錐圖法, Lambert conformal conic projection)은 정각도법인 원추도법의 일종이다. 독일 사람 요한 하인리히 람베르트가 고안한 도법으로, 위선은 동심원의 원호, 경선은 방사 직선으로 이루어져 있다. 중간 위도 지역을 그리는 데 가장 적합하며, 중간 위도 지역에 위치하고 있는 대한민국에서는 기상대·신문·TV의 일기도 등 여러 방면에서 이용되고 있다.

공식

대상 지점의 위도를 $\varphi$, 기준 위선의 위도를 ${\varphi }_0$, 원뿔의 꼭짓점으로부터의 거리를 $\rho$라 하면, 다음과 같이 주어진다.

$\rho =\cot {\varphi }_0((\sec \varphi -\tan \varphi )(\sec {\varphi }_0+\tan {\varphi }_0){)}^{\sin {\varphi }_0}$

또는 전개도 형태로 나타내어 직각좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\begin{array}{cc}x& =\rho \sin ((\lambda -{\lambda }_0)\sin {\varphi }_0)\\ y& =-\rho \cos ((\lambda -{\lambda }_0)\sin {\varphi }_0)\end{array}$

여기서 $\lambda$는 대상 지점의 경도, ${\lambda }_0$는 기준점의 경도이다.

증명

틀:글 숨김 투영 대상이 되는 원뿔 위의 각 점에서 축까지의 거리를 $r$이라 하자. 정각성에 의해 다음이 성립한다.

$\frac{d\varphi }{\cos \varphi d\lambda }=-\frac{d\rho }{rd\lambda }$

이 때 투영 대상이 되는 곡면은 원뿔이므로, $\frac{\rho }{r}$의 값은 상수이다. 이를 $k$로 놓자.

$-\sec \varphi d\varphi =\frac{k}{\rho }d\rho$

$k\log \rho =\log (\sec \varphi -\tan \varphi )+C$

${\rho }^k=e^C(\sec \varphi -\tan \varphi )$

이제 $k$와 $C$의 값을 구하면 된다.

기준위선에서 길이가 보존되어야 하므로

$\cos {\varphi }_0=r({\varphi }_0)$

또 그러한 위선은 기준위선 하나밖에 없으므로, 기준위선에서 구면에 접하는 원뿔에 투영시키는 것으로 볼 수 있다. 그렇다면 $\cos \varphi =r$은 이중근을 가져야 한다. 즉

$-\sin {\varphi }_0=r^{\prime }({\varphi }_0)$

이다.

다시, 기준위선에서 길이가 보존된다는 성질에 의해 ${\rho }^{\prime }({\varphi }_0)=-1$ 이 성립하므로, $-1={\rho }^{\prime }({\varphi }_0)=k{r}^{\prime }({\varphi }_0)=-k\sin {\varphi }_0$이다.

따라서 $k=\csc {\varphi }_0$이다.

이제 위의 식 ${\rho }^k=e^C(\sec \varphi -\tan \varphi )$의 양변에 $\frac{1}{k}$승을 취한 후 $k=\csc {\varphi }_0$를 대입해 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\rho =e^{C\sin {\varphi }_0}(\sec \varphi -\tan \varphi {)}^{\sin {\varphi }_0}$

여기서 $\varphi ={\varphi }_0$ 를 대입하면,

$e^{C\sin {\varphi }_0}(\sec {\varphi }_0-\tan {\varphi }_0{)}^{\sin {\varphi }_0}=\rho ({\varphi }_0)=\cot {\varphi }_0$

$e^{C\sin {\varphi }_0}=\cot {\varphi }_0(\sec {\varphi }_0+\tan {\varphi }_0{)}^{\sin {\varphi }_0}$

$\therefore \rho =\cot {\varphi }_0((\sec \varphi -\tan \varphi )(\sec {\varphi }_0+\tan {\varphi }_0){)}^{\sin {\varphi }_0}◼$

같이 보기

• 람베르트 정적방위도법