호흐실트 호몰로지

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 호흐실트 호몰로지(틀:Llang)와 호흐실트 코호몰로지(틀:Llang)는 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의되는 호몰로지 · 코호몰로지 이론이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• $K$-결합 대수 $A$
• $(A,K,A)$-쌍가군 ${}_A{M}_A$. 즉, $M$은 $(A,A)$-쌍가군이며, 또한 $M$ 위의 왼쪽 $K$-작용이 오른쪽 $K$-작용과 일치한다고 하자.

호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 서로 동치이다.

• 호흐실트 (코)호몰로지는 Ext 함자 (또는 Tor 함자)의 특수한 경우로 추상적으로 정의될 수 있다.
• 호흐실트 (코)호몰로지는 호흐실트 (공)사슬 복합체(틀:Llang)라는 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 구체적으로 정의될 수 있다.
• 호흐실트 (코)호몰로지는 단체 대상의 이론을 통해 정의될 수 있다.

흔히, ${}_A{M}_A={}_A{A}_A$인 특수한 경우가 자주 사용된다.

추상적 정의

$A$의 포락 대수(包絡代數, 틀:Llang)

$A^{\mathrm{e}}=A{\otimes }_K{A}^{\mathrm{op}}$

를 정의할 수 있다. 이는 $K$-결합 대수이며, $M$은 $A^{\mathrm{e}}$-왼쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로, $A$도 $A^{\mathrm{e}}$의 왼쪽 가군을 이룬다. 구체적으로,

$(a{\otimes }_K{b}^{\mathrm{op}})\cdot m=a\cdot m\cdot b\mathrm{\forall }a,b\in A,m\in M$

$(a{\otimes }_K{b}^{\mathrm{op}})\cdot c=a\cdot c\cdot b\mathrm{\forall }a,b,c\in A$

이다.

$A$의 $M$계수의 호흐실트 호몰로지 군 ${\mathrm{HH}}_n(A;M)$ 및 호흐실트 코호몰로지 군 ${\mathrm{HH}}^n(A;M)$은 다음과 같이 Ext 함자 및 Tor 함자로 정의된다.

${\mathrm{HH}}_n(A;M)={\mathrm{Tor}}_n^{A^{\mathrm{e}}}(A,M)$

${\mathrm{HH}}^n(A;M)={\mathrm{Ext}}_{A^{\mathrm{e}}}^n(A,M)$

구체적 정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• $K$-가군 범주의 단체 대상 $(X_{\bullet },{\partial }_{\bullet ,i},s_{\bullet ,i})$

그렇다면,

${\partial }_n=\sum _{i=0}^n(-{)}^i{\partial }_{n,i}$

를 정의하면,

${\partial }_n\circ {\partial }_{n+1}=0$

이 되어, 사슬 복합체

$\cdots \stackrel{\partial }{\leftarrow }{X}_2\stackrel{\partial }{\leftarrow }{X}_1\stackrel{\partial }{\leftarrow }{X}_0\to 0$

를 정의할 수 있다. 이 사슬 복합체의 호몰로지를 단체 가군 $X_{\bullet }$의 호흐실트 호몰로지라고 한다. 마찬가지로, 이 사슬 복합체의 쌍대 가군들로 구성된 공사슬 복합체

$X^n={\mathrm{hom}}_K(X_n,K)$

$0\to X^1\to X^2\to \cdots$

의 코호몰로지를 단체 가군 $X_{\bullet }$의 호흐실트 코호몰로지라고 한다. (호흐실트 (코)호몰로지의 정의에는 퇴화 사상 $s_{\bullet ,i}$이 쓰이지 않는다.)

특히, 만약 위와 같이 $K$ 위의 결합 대수 $A$와 $(A,K,A)$-쌍가군 $M$이 주어졌다면, 다음과 같은 호흐실트 단체 가군(틀:Llang) $C_{\bullet }(A;M)$을 정의할 수 있다.틀:Rp

$C_n(A;M)=M{\otimes }_K{A}^{{\otimes }_{K}n}$

${\partial }_{n,i}:C_n(A;M)\to C_{n+1}(A;M)$

${\partial }_{n,i}:m{\otimes }_K{a}_1{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_n\mapsto \{\begin{array}{cc}(m{a}_1){\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_n& i=0\\ m{\otimes }_K{a}_1{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_{i-1}{\otimes }_K{a}_i{a}_{i+1}{\otimes }_K{a}_{i+2}{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_n& 0<i<n\\ a_{n}m{\otimes }_K{a}_1{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_{n-1}& i=n\end{array}$

$s_{n,i}:C_n(A;M)\to C_{n-1}(A;M)$

$s_{n,i}:a_0{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_n\mapsto m{\otimes }_K{a}_1{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_i{\otimes }_{K}1{\otimes }_K{a}_{i+1}{\otimes }_K{a}_n$

결합 대수 $A$의 $M$계수 호흐실트 호몰로지란 그 호흐실트 단체 가군의 호흐실트 호몰로지를 말한다.

$C_{\bullet }(A;M)$은 사슬 복합체로서

$M{\otimes }_{A^{\mathrm{e}}}{\mathrm{Bar}}_{\bullet }(A,A,A)$

의 꼴이다. 여기서 ${\mathrm{Bar}}_{\bullet }(A,A,A)$는 $A$의 막대 복합체이다. 이제, 이를 쌍대화하여 공사슬 복합체

$C^{\bullet }(A;M)={\mathrm{hom}}_{A^{\mathrm{e}}}({\mathrm{Bar}}_{\bullet }(A,A,A),M)$

를 정의할 수 있으며, $A$의 $M^{\vee }$계수 호흐실트 코호몰로지란 이 공사슬 복합체의 코호몰로지이다.

위상수학적 정의

$A$ 계수의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같이 임의의 가군 범주 속의 단체 대상에 대하여 일반화될 수 있다.

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• ${\mathrm{Mod}}_K$ 속의 단체 대상 $X:{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}}\to {\mathrm{Mod}}_K$. 여기서 $\mathrm{△}$은 단체 범주이다.

그렇다면, 단체 가군의 범주 $\mathrm{hom}({\mathrm{△}}^{\mathrm{op}},{\mathrm{Mod}}_K)$은 아벨 범주이므로 그 속에서 Ext 함자를 정의할 수 있다. 또한, 단체 가군의 텐서곱을 정의할 수 있으며, 그 유도 함자로서 Tor 함자를 정의할 수 있다.

이 경우, $X$의 호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지는 각각 다음과 같다.틀:Rp

${\mathrm{HH}}_n(X)={\mathrm{Tor}}_n^{\mathrm{hom}({\mathrm{△}}^{\mathrm{op}},{\mathrm{Mod}}_K)}(K_{\bullet },X)$

${\mathrm{HH}}^n(X)={\mathrm{Ext}}_{\mathrm{hom}({\mathrm{△}}^{\mathrm{op}},{\mathrm{Mod}}_K)}^n(X,K_{\bullet })$

여기서 $K_{\bullet }$는 모든 성분이 1차원 자유 가군 $K$이며, $s_n^i$ 및 $d_n^i$ 모두가 항등 함수인 자명한 단체 대상이다.

(사실, 만약 $A=M$이라면, 호흐실트 단체 가군 $C_n(A;A)$는 추가로 순환 대상을 이룬다. 이 경우, 단체 가군의 범주 대신 순환 가군의 범주 $\mathrm{hom}(\underset{\mathrm{Cyc}}{\overset{\mathrm{op}}{\mathrm{△}}},{\mathrm{Mod}}_K)$에서 Tor 함자와 Ext 함자를 취할 수 있으며, 이 경우 순환 (코)호몰로지를 얻는다.틀:Rp틀:Rp)

성질

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 및 $(A,K,A)$-쌍가군 $M$에 대하여, 호흐실트 호몰로지 ${\mathrm{HH}}^n(A;M)$ 및 호흐실트 코호몰로지 ${\mathrm{HH}}^n(A;M)$는 $K$-가군이며, 사실 $\mathrm{Z}(A)$-가군을 이룬다.틀:Rp

함자성

임의의 가환환 $K$ 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수의 범주 ${\mathrm{Alg}}_K$와, $K$-결합 대수 $A$가 주어졌을 때 $(A,K,A)$-쌍가군의 범주 ${}_A{\mathrm{Mod}}_A$를 생각하자.

그렇다면, 호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같은 함자를 정의한다.틀:Rp

${\mathrm{HH}}_n:{}_A{\mathrm{Mod}}_A\to {\mathrm{Mod}}_{\mathrm{Z}(A)}$

${\mathrm{HH}}^n:{}_A{\mathrm{Mod}}_A\to {\mathrm{Mod}}_{\mathrm{Z}(A)}$

또한, 임의의 $K$-결합 대수 준동형

$\varphi :B\to A$

및 $(A,K,A)$-쌍가군 $M$에 대하여, ${\varphi }^{*}M$은 $(B,K,B)$-쌍가군을 이루며, 이는 호흐실트 호몰로지의 사상틀:Rp

${\varphi }_{*}:{\mathrm{HH}}^{\bullet }(B;{\varphi }^{*}M)\to {\mathrm{HH}}_n(A;M)$

및 호흐실트 코호몰로지의 사상틀:Rp

${\varphi }^{*}:{\mathrm{HH}}^{\bullet }(A;M)\to {\mathrm{HH}}^n(B;{\varphi }^{*}M)$

을 유도한다.

특히, 만약 $M=A$일 때, 이는 $K$-결합 대수의 범주(의 반대 범주)에서 $K$-가군의 범주로 가는 함자

${\mathrm{HH}}_n(-):{\mathrm{Alg}}_K\to {\mathrm{Mod}}_K$

${\mathrm{HH}}^n(-):{\mathrm{Alg}}_K^{\mathrm{op}}\to {\mathrm{Mod}}_K$

를 정의한다.

예

0차 호흐실트 (코)호몰로지

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 및 $(A,K,A)$-쌍가군 $M$이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 호흐실트 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

$C_0(A;M)=M$

$C_1(A;M)=M{\otimes }_{K}A$

${\partial }_1={\partial }_{1,0}-{\partial }_{1,1}$

${\partial }_{1,0}:m{\otimes }_{K}a\mapsto ma$

${\partial }_{1,1}:m{\otimes }_{K}a\mapsto am$

이에 따라,

${\mathrm{HH}}_0(A;M)=\frac{M}{[M,A]}$

이다.틀:Rp

마찬가지로, 호흐실트 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

$C^0(A;M)=M$

$C^1(A;M)=M\otimes A^{\vee }$

${\mathrm{d}}^0:C^0(A;M)\to C^1(A;M)$

${\mathrm{d}}^0(m)(a)=ma-am$

이에 따라,

${\mathrm{HH}}^0(A;M)=\{m\in M:am=ma\mathrm{\forall }a\in A\}$

는 환의 중심의 개념의 일반화이다.틀:Rp

1차 호흐실트 코호몰로지

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 및 $(A,K,A)$-쌍가군 $M$이 주어졌다고 하자.

1차 호흐실트 코호몰로지는 다음과 같다.틀:Rp 1차 호흐실트 공순환은 $K$-가군 준동형

$\delta :A\to M$

가운데

$\delta (ab)=a\delta (b)+\delta (a)b$

와 같은 곱 규칙을 만족시키는 것이다. 이러한 것들을 미분(틀:Llang)이라고 하자. 반면, 1차 호흐실트 공경계는

$[m,-]:A\to M(m\in M)$

와 같은 꼴의 $K$-가군 준동형이다. 즉, 이러한 것들을 내부 미분(틀:Llang)이라고 하자. 그렇다면, 1차 호흐실트 코호몰로지는 미분의 공간의, 내부 미분에 대한 몫, 즉 외부 미분(틀:Llang)의 공간으로 여겨질 수 있다.

가환 대수

가환환 $K$ 위의 가환 결합 대수 $A$ 및 $A$-가군 $M$에 대하여, 처음 두 개의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.틀:Rp틀:Rp

${\mathrm{HH}}_0(A;M)\cong M$

${\mathrm{HH}}_1(A;M)\cong M{\otimes }_A{\mathrm{\Omega }}_{A/K}$

여기서 ${\mathrm{\Omega }}_{A/K}$는 켈러 미분의 가군이다.

즉, 1차 호흐실트 호몰로지는 1차 미분 형식에 대응한다. 비가환 기하학에서는 이를 사용하여 비가환 공간 위의 미분 형식을 정의한다.

다항식환

복소수 계수 다항식환 $ℂ[\overrightarrow{x}]$ ($\overrightarrow{x}\in {ℂ}^k$)의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.

${\mathrm{HH}}_n(ℂ[\overrightarrow{x}];ℂ[\overrightarrow{x}])=ℂ[\overrightarrow{x}]{\otimes }_{ℂ}{\mathrm{\Lambda }}^n({ℂ}^k)$

여기서 ${\mathrm{\Lambda }}^n(-)$는 외대수이다. 구체적으로, $n$차 호흐실트 사슬은 다음과 같은 꼴이다.

$C_n(ℂ[\overrightarrow{x}])=ℂ[{\overrightarrow{x}}_0,{\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n]$

호흐실트 사슬에 대응하는 호몰로지 동치류는 다음과 같다.

$p({\overrightarrow{x}}_0,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n)\mapsto \sum _{i_1=1}^k\sum _{i_2=1}^k\cdots \sum _{i_n=1}^k{\frac{\partial }{\partial (x_1{)}^{i_1}}\frac{\partial }{\partial (x_2{)}^{i_2}}\cdots \frac{\partial }{\partial (x_n{)}^{i_n}}p|}_{{\overrightarrow{x}}_0={\overrightarrow{x}}_1={\overrightarrow{x}}_2=\cdots ={\overrightarrow{x}}_n=\overrightarrow{x}}\mathrm{d}(x_1{)}^{i_1}\wedge \mathrm{d}(x_2{)}^{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}(x_n{)}^{i_n}$

역사

게르하르트 호흐실트가 1945년에 체 위의 결합 대수에 대하여 도입하였다. 이후 앙리 카르탕과 사무엘 에일렌베르크가 일반적인 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의하였다.

같이 보기

• 순환 호몰로지

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
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• 틀:웹 인용틀:깨진 링크
• 틀:서적 인용