체의 확대

틀:위키데이터 속성 추적 체론에서 체의 확대(體의 擴大, 틀:Llang)는 주어진 체에 원소를 추가하여 얻는 더 큰 체이다.

정의

두 체 $K$와 $L$이 주어졌을 때, $K$에서 $L$로 가는 확대는 $K$에서 $L$로 가는 환 준동형이다. (여기서 환 준동형은 항상 곱셈 항등원을 보존시켜야 한다. 즉, 유사환의 준동형보다 더 강한 조건이다.)

체의 확대는 항상 단사 함수이며, 따라서 $K$를 $L$의 부분 집합으로 볼 수 있으며, 이 경우 $K$를 $L$의 부분체(部分體, 틀:Llang), 반대로 $L$을 $K$의 확대체(擴大體, 틀:Llang)라고 한다. $L$이 $K$의 확대체라는 것은 기호로 $L/K$로 쓴다.

일련의 체 $K_0,K_1,\dots ,K_n$들이 서로 체의 확대

$K_0\subseteq K_1\subseteq \cdots \subseteq K_n$

를 이룰 때, $\{K_i{\}}_{i=0,1,\dots ,n}$를 체의 탑(體의 塔, 틀:Llang)이라고 한다.

차수

체의 확대 $L/K$가 주어졌을 때, $L$은 $K$ 위의 가환 단위 결합 대수를 이루며, 특히 벡터 공간을 이룬다. 체의 확대 $L/K$의 차수(次數, 틀:Llang)는 $L$의 $K$-벡터 공간으로서의 차원이며, $[L:K]$로 표기한다.

차수가 유한한 확대를 유한 확대(無限擴大, 틀:Llang)라고 한다. 차수가 1인 확대는 전단사 함수이며, 이는 체의 자기 동형에 해당한다. 차수가 2인 확대는 이차 확대(二次擴大, 틀:Llang), 차수가 3인 확대는 삼차 확대(三次擴大, 틀:Llang)라고 한다. 모든 유한 확대는 대수적 확대이다.

초월 차수

체의 확대 $L/K$ 및 $L$의 부분 집합 $S\subset L$이 주어졌을 때, 만약 모든 다항식 $p\in K[|S|]$에 대하여, $p(S)=0$인 다항식은 $p=0$밖에 없다면, $S$를 대수적 독립 집합(틀:Llang)이라고 한다. $L/K$의 초월 차수(틀:Llang)는 $L$에 포함된 최대 대수적 독립 집합의 크기이며, ${\mathrm{trdeg}}_{K}L$와 같이 표기한다. 초월 차수가 0인 체의 확대는 대수적 확대(代數的擴大, 틀:Llang)라고 하고, 초월 차수가 0이 아닌 확대는 초월 확대(超越擴大, 틀:Llang)라고 한다.

$L/K$의 초월 기저(超越基底, 틀:Llang) $S$는 $L/K(S)$가 대수적인 대수적 독립 집합 $S\subset L$이다. 모든 체의 확대는 초월 기저를 가지며, 초월 기저의 크기는 초월 차수와 같다. 만약 $L=K(S)$라면, $L/K$를 순수 초월 확대(純粹超越擴大, 틀:Llang)라고 한다.

체의 확대 $L/K$ 및 $L$의 원소 $a\in L$가 주어졌을 때, 만약 $\{a\}$가 대수적 독립 집합이라면, $a$를 $L/K$의 초월 원소(超越元素, 틀:Llang)라고 한다. 초월 원소가 아닌 원소를 대수적 원소(代數的元素, 틀:Llang)라고 한다.

생성원으로 정의되는 확대

체의 확대 $L/K$ 및 $L$의 부분 집합 $S\subset L$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $L$속에서 $S$로 생성되는 $K$의 확대 $K(S)$는 $S\cup K$를 부분 집합으로 포함하며 체를 이루는 $L$의 가장 작은 부분 집합이다. 이는 항상 유일하게 존재하며, 구체적으로 다음과 같이 구성된다. $K[S]\subseteq L$가, $S$의 원소들에 대한 $K$ 계수의 다항식들로 구성된 환이라고 하자. 그렇다면 $K(S)$는 $K[S]$의 분수체와 동형이다.

$K(S)=\mathrm{Frac}K[S]=\{p/q:p\in K[S],q\in K[S],q\ne 0\}\subseteq L$

또한, 만약 $S$가 유한 집합이며, $L$이 대수적 확대라면 $K(S)/K$는 유한 확대이다.

체의 확대 $M/K$ 속에서 두 부분체

$K\subseteq L_1\subseteq M$

$K\subseteq L_2\subseteq M$

가 주어졌을 때, 이 두 확대체의 합성체(合成體, 틀:Llang)는 $K(L_1\cup L_2)\subseteq M$이다.

체 노름과 체 대각합

유한 확대 $L/K$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $L$은 유한 차원 $K$-벡터 공간이며, 임의의 원소 $a\in L$에 대하여 $a\cdot :L\to L$은 $K$-벡터 공간의 선형 변환이다. 따라서 그 행렬식과 대각합을 취할 수 있으며, 이를 각각 체 노름(體norm, 틀:Llang) ${\mathrm{N}}_{L/K}$과 체 대각합(體對角合, 틀:Llang) ${\mathrm{T}}_{L/K}$이라고 한다.

${\mathrm{N}}_{L/K}:L\to K$

${\mathrm{N}}_{L/K}:a\mapsto \det (a\cdot )$

${\mathrm{T}}_{L/K}:L\to K$

${\mathrm{T}}_{L/K}:a\mapsto \mathrm{tr}(\cdot a)$

보다 일반적으로, $a\cdot$의 고유 다항식을 취할 수 있으며, 이는 $K$ 계수의 일계수 다항식이다.

${\chi }_{L/K}(x;a)=\det (x-a\cdot )\in K[x]$

이는 체 노름과 체 대각합을 계수로 포함한다.

${\chi }_{L/K}(x;a)=x^{[L:K]}-{\mathrm{T}}_{L/K}(a)x^{[L:K]-1}+\cdots +(-1{)}^{[L:K]}{\mathrm{N}}_{L/K}(a)$

체 노름과 체 대각합은 최소 다항식으로도 정의할 수 있다. 임의의 $a\in L$에 대하여, 그 최소 다항식이 $p_a\in K[x]$라고 하고, 그 근들의 중복집합이 $\{{\sigma }_1(a),\dots ,{\sigma }_n(a)\}\in \overline{K}$라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

${\mathrm{N}}_{L/K}(a)={(\prod _{i=1}^n{\sigma }_i(a))}^{[L:K(a)]}$

${\mathrm{T}}_{L/K}(a)=[L:K(a)]\sum _{i=1}^n{\sigma }_i(a)$

만약 $L/K$가 분해 가능 확대라면, 근들의 중복집합은 집합이 된다.

만약 $L/K$가 갈루아 확대라면, 위 공식은 다음과 같이 간단해진다.

${\mathrm{N}}_{L/K}(a)=\prod _{g\in \mathrm{Gal}(L/K)}g(a)$

${\mathrm{T}}_{L/K}(a)=\sum _{g\in \mathrm{Gal}(L/K)}g(a)$

여기서 $\mathrm{Gal}(L/K)$는 갈루아 군이다.

성질

체의 확대는 항상 단사 함수이다. (전단사 함수인 체의 확대는 체의 자기 동형(틀:Llang)이라고 한다.) 체의 확대 $L/K$가 존재한다면, $K$와 $L$의 표수는 서로 일치한다.

$\mathrm{\exists }L/K⟹\mathrm{char}K=\mathrm{char}L$

차수와 초월 차수

확대의 합성에 따라 차수는 곱해지며, 초월 차수는 더해진다. 즉, 체의 확대 $L/K$ 및 $M/L$이 주어졌을 때, 합성 확대 $M/K$의 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

$[M:K]=[L:K][M:L]$

${\mathrm{trdeg}}_{K}M={\mathrm{trdeg}}_{K}L+{\mathrm{trdeg}}_{L}M$

여기서 좌변은 일반적으로 기수의 곱 또는 합이다.

초월 차수가 1 이상이라면, 차수는 항상 무한 기수이며, 확대체의 집합의 크기와 같다.

${\mathrm{trdeg}}_{K}L\ge 1⟹[L:K]=|L|=\max \{|K|,{\mathrm{trdeg}}_{K}L,{\mathrm{\aleph }}_0\}\ge {\mathrm{\aleph }}_0$

이다. 틀:증명 자명하게

$\max \{{\mathrm{trdeg}}_{K}L,{\mathrm{\aleph }}_0\}\le [L:K]\le |L|=\max \{|K|,{\mathrm{trdeg}}_{K}L,{\mathrm{\aleph }}_0\}$

이므로, $[L:K]\ge |K|$임을 보이면 충분하다. 초월 원소 $x\in L$를 고르자. 그렇다면,

$\{\frac{1}{1+ax}:a\in K\}\subseteq L$

는 $K$-선형 독립 집합임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 $c_0,\dots ,c_{n-1}\in K$ 및 서로 다른 $a_0,\dots ,a_{n-1}\in K$에 대하여,

$\frac{c_0}{1+a_{0}x}+\cdots \frac{c_{n-1}}{1+a_{n-1}x}=0$

라고 가정하였을 때

$c_0=\cdots =c_{n-1}=0$

임을 보여야 한다.

$r_{n-1,i,j}=e_{n-1,j}(a_0,\dots ,a_{i-1},a_{i+1},\dots ,a_{n-1})(i,j=0,\dots ,n-1)$

라고 하자 ($e_{n-1,j}$는 $(n-1)$변수 $j$차 기본 대칭 다항식). 그렇다면 가정은

$\begin{array}{cc}0& =\sum _{i=0}^{n-1}{c}_i(1+a_{0}x)\cdots (1+a_{i-1}x)(1+a_{i+1}x)\cdots (1+a_{n-1}x)\\ & =\sum _{i=0}^{n-1}{c}_i\sum _{j=0}^{n-1}{r}_{n-1,i,j}{x}^j\\ & =\sum _{j=0}^{n-1}{x}^j\sum _{i=0}^{n-1}{c}_i{r}_{n-1,i,j}\end{array}$

와 동치이다 . $x$가 초월 원소이므로, 이는

$\sum _{i=0}^{n-1}{c}_i{r}_{n-1,i,j}=0(j=0,\dots ,n-1)$

와 동치이다. 이는 $c_0,\dots ,c_{n-1}$에 대한 연립 일차 방정식이다. 따라서, 계수들의 행렬식이 0이 아님을 보이면 족하다. 사실,

$\left|\begin{array}{ccc}{r}_{n-1,0,0}& \cdots & r_{n-1,0,n-1}\\ ⋮& & ⋮\\ r_{n-1,n-1,0}& \cdots & r_{n-1,n-1,n-1}\end{array}\right|=\prod _{0\le i<j\le n-1}(a_i-a_j)\ne 0$

이며, 이는 $n$에 대한 수학적 귀납법을 통하여 다음과 같이 보일 수 있다. $n=1$의 경우는 자명하다. 이제 $n-1$에 대하여 참임을 가정하고, $n$의 경우를 생각하자. 가정에 따라 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}\left|\begin{array}{ccc}{r}_{n-1,0,0}& \cdots & r_{n-1,0,n-1}\\ ⋮& & ⋮\\ r_{n-1,n-1,0}& \cdots & r_{n-1,n-1,n-1}\end{array}\right|& =\left|\begin{array}{cccc}0& r_{n-1,0,1}-r_{n-1,n-1,1}& \cdots & r_{n-1,0,n-1}-r_{n-1,n-1,n-1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& r_{n-1,n-2,1}-r_{n-1,n-1,1}& \cdots & r_{n-1,n-2,n-1}-r_{n-1,n-1,n-1}\\ 1& r_{n-1,n-1,1}& \cdots & r_{n-1,n-1,n-1}\end{array}\right|\\ & =(-1{)}^n\left|\begin{array}{ccc}(a_{n-1}-a_0)r_{n-2,0,0}& \cdots & (a_{n-1}-a_0)r_{n-2,0,n-2}\\ ⋮& & ⋮\\ (a_{n-1}-a_{n-2})r_{n-2,n-2,0}& \cdots & (a_{n-1}-a_{n-2})r_{n-2,n-2,n-2}\end{array}\right|\\ & =(-1{)}^n(a_{n-1}-a_0)\cdots (a_{n-1}-a_{n-2})\left|\begin{array}{ccc}{r}_{n-2,0,0}& \cdots & r_{n-2,0,n-2}\\ ⋮& & ⋮\\ r_{n-2,n-2,0}& \cdots & r_{n-2,n-2,n-2}\end{array}\right|\\ & =(a_0-a_{n-1})\cdots (a_{n-2}-a_{n-1})\prod _{0\le i<j\le n-2}(a_i-a_j)\\ & =\prod _{0\le i<j\le n-1}(a_i-a_j)\end{array}$

즉, $n$에 대해서도 참이다. 틀:증명 끝

대수적 확대 $M/K$의 두 중간체 $K\subseteq L_1,L_2\subseteq M$에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.틀:Rp

$[K(L_1\cup L_2):K]\le [L_1:K][L_2:K]$

틀:증명 우선, $L_1/K$와 $L_2/K$가 모두 대수적 확대인 경우를 증명하자. $L_1$과 $L_2$의 $K$-기저 $(a_i{)}_{i\in I}$ 및 $(b_i{)}_{i\in I}$에 대하여, $(a_i{b}_j{)}_{i\in I,j\in J}$가 $K(L_1\cup L_2)$를 $K$-선형 생성함을 보이는 것으로 족하다. 이는 다음과 같은 단계들을 거쳐 보일 수 있다. 자명하게

$K(L_1\cup L_2)=K(\{a_i{\}}_{i\in I}\cup \{b_j{\}}_{j\in J})$

이다. 또한, 이는 자명하게

$K(a_{i_1},\dots ,a_{i_m},b_{j_1},\dots ,b_{j_n})$

꼴의 체들의 합집합이다. 모든 $a_{i_r}$와 $b_{j_s}$가 대수적 원소이므로,

$\begin{array}{cc}K(a_{i_1},\dots ,a_{i_m},b_{j_1},\dots ,b_{j_n})& =K(a_{i_1})\cdots (a_{i_m})(b_{j_1})\cdots (b_{j_n})\\ & =K[a_{i_1}]\cdots [a_{i_m}][b_{j_1}]\cdots (b_{j_n})\\ & =K[a_{i_1},\dots ,a_{i_m},b_{j_1},\dots ,b_{j_n}]\end{array}$

이다. 마지막으로, 유한 개의 $a_{i_r}$들의 곱은 $L_1$의 원소이므로 (유한 개의) $a_i$들의 $K$-선형 결합이다. 마찬가지로 유한 개의 $b_{j_s}$들의 곱은 (유한 개의) $b_j$들의 $K$-선형 결합이다. 따라서, $K[a_{i_1},\dots ,a_{i_m},b_{j_1},\dots ,b_{j_n}]$의 원소들은 (유한 개의) $a_i{b}_j$들의 $K$-선형 결합이다. 즉, $(a_i{b}_j{)}_{i\in I,j\in J}$는 $K(L_1\cup L_2)$의 $K$-선형 생성 집합이다.

이제 초월 확대가 하나 이상인 경우를 생각하자. 이 경우, $K(L_1\cup L_2)/K$가 초월 확대이며 $L_1$와 $L_2$ 중 하나 이상이 무한 집합이므로

$[K(L_1\cup L_2):K]=|K(L_1\cup L_2)|=\max \{|K|,|L_1\cup L_2|,{\mathrm{\aleph }}_0\}=\max \{|L_1|,|L_2|\}$

이다. 만약 $L_1/K$와 $L_2/K$가 둘 다 초월 확대라면,

$[L_1:K][L_2:K]=|L_1||L_2|=\max \{|L_1|,|L_2|\}$

이다. 만약 $L_1/K$가 대수적 확대이며 $L_2/K$가 초월 확대라면,

$[L_1:K]\le |L_1|=\max \{|K|,{\mathrm{\aleph }}_0\}\le \max \{|K|,{\mathrm{trdeg}}_K{L}_2,{\mathrm{\aleph }}_0\}=|L_2|$

이므로

$[L_1:K][L_2:K]=[L_1:K]|L_2|=\max \{[L_1:K],|L_2|\}=|L_2|=\max \{|L_1|,|L_2|\}$

이다. 즉, 등식이 성립하며, 특히 부등식도 참이다. 틀:증명 끝

체 노름과 체 대각합

노름은 체의 가역원군의 군 준동형을 이룬다. 즉, 임의의 $a,b\in L$에 대하여

${\mathrm{N}}_{L/K}(ab)={\mathrm{N}}_{L/K}(a){\mathrm{N}}_{L/K}(b)$

이며, 만약 $a\ne 0$이라면

${\mathrm{N}}_{L/K}(a^{-1})={\mathrm{N}}_{L/K}(a{)}^{-1}$

이다. 또한, 만약 체의 확대 $L/K$ 및 $M/L$이 주어졌다면, 체 노름은 체의 확대의 합성을 따른다.

${\mathrm{N}}_{M/K}={\mathrm{N}}_{L/K}\circ {\mathrm{N}}_{M/L}$

대수적 수체 $K/\mathbb{Q}$에서, 모든 대수적 정수 $a\in {𝒪}_K$의 체 노름은 (유리수) 정수이다.

$\mathrm{\forall }a\in {𝒪}_K:{\mathrm{N}}_{K/\mathbb{Q}}(a)\in \mathbb{Z}$

또한, 다음이 성립한다.

$\mathrm{\forall }a\in {𝒪}_K:|{\mathrm{N}}_{K/\mathbb{Q}}(a)|=|{𝒪}_K/(a)|$

여기서 좌변은 체 노름의 절댓값이고, 우변은 주 아이디얼에 대한 몫환의 크기이다. 이를 일반화하여, ${𝒪}_K$의 임의의 아이디얼 $𝔞$에 대하여

${\mathrm{N}}_{K/\mathbb{Q}}(𝔞)=|{𝒪}_K/𝔞|$

로 정의한다.

분류

체의 확대 $L/K$가 주어졌다고 하고, 그 초월 기저 $S\subset L\setminus K$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $K(S)/K$는 순수 초월 확대이며, $L/K(S)$는 대수적 확대이다. 따라서, 체의 확대의 분류는 순수 초월 확대의 분류와 대수적 확대의 분류로 나뉜다.

체 $K$의 순수 초월 확대는 모두 유리 함수체 $K(S)$와 동형이며, 이는 $S$의 집합의 크기 $|S|$에 따라 완전히 분류된다.

체 $K(S)$의 대수적 확대의 분류는 $K$ 위의 $|S|$차원의 (무한 차원일 수 있는) 대수다양체의 쌍유리 동치에 대한 분류와 같으며, 따라서 일반적으로 불가능하다고 여겨진다. 다만 일부 특수한 경우는 대수기하학적 기법으로 분류할 수 있다. 예를 들어, 만약 $K$가 대수적으로 닫힌 체이며 $|S|=1$인 경우, 이는 $K$ 위의 대수 곡선들의 쌍유리 분류에 해당한다.

종류

위에 정의된 용어 밖에, 특별한 종류의 체의 확대로는 다음이 있다.

• 갈루아 확대
• 분해 가능 확대
• 정규 확대
• 아벨 확대
• 단순 확대

예

대수적 폐포

임의의 체 $K$에 대하여, 대수적 폐포 $\overline{K}$ 및 분해 가능 폐포 $K^{\mathrm{sep}}$를 정의할 수 있으며, 또한 $K$의 표수에 따라서 $K_0$를 다음과 같이 정의하자.

$K_0=\{\begin{array}{cc}{𝔽}_p& p=\mathrm{char}K>0\\ \mathbb{Q}& \mathrm{char}K=0\end{array}$

여기서 ${𝔽}_p$는 크기 $p$의 유한체이다. 그렇다면 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

$K_0\subseteq K\subseteq K^{\mathrm{sep}}\subseteq \overline{K}$

$\overline{K}/K$는 항상 대수적 확대를 이루며, 따라서 초월 차수는 0이다.

유리 함수 · 형식적 로랑 급수

임의의 체 $K$에 대하여, 유리 함수체 $K(x)=\mathrm{Frac}K[x]$ 및 형식적 로랑 급수체 $K((x))=\mathrm{Frac}K[[x]]$를 정의할 수 있다. 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

$K⊊K(x)⊊K((x))$

이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

$[K(x):K]={\mathrm{\aleph }}_0$

${\mathrm{trdeg}}_{K}K(x)=1$

$[K((x)):K]=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$

유리수 · 실수 · 복소수

유리수체 $\mathbb{Q}$, 실수체 $ℝ$, 복소수체 $ℂ$는 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

$\mathbb{Q}⊊ℝ⊊ℂ$

이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

$[ℝ:\mathbb{Q}]=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$

${\mathrm{trdeg}}_{\mathbb{Q}}ℝ=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$

$[ℂ:ℝ]=2$

${\mathrm{trdeg}}_{ℝ}ℂ=0$

체의 확대 $ℂ/ℝ$에서의 체 노름은 다음과 같다.

${\mathrm{N}}_{ℂ/ℝ}:x+iy\mapsto x^2+y^2=|x+iy{|}^2$

이다.

유리수체의 확대

유리수체의 유한 확대는 수체라고 하며, $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$나 $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})/\mathbb{Q}$ 등이 있다. 이들은 대수적 확대이므로, 초월 차수는 0이며, 두 예 다 차수는 2이다.

원주율 $\pi$ 및 자연로그의 밑 $e$는 초월수이므로, $\mathbb{Q}[\pi ]/\mathbb{Q}$와 $\mathbb{Q}(e)/\mathbb{Q}$는 초월 차수가 1인 확대이다. 그러나 $\{\pi ,e\}$가 대수적 독립 집합인지는 알려지지 않았다. 즉, $\mathbb{Q}(\pi ,e)/\mathbb{Q}$는 초월 차수가 1 또는 2이지만, 둘 중 어느 것인지는 알려지지 않았다.

$[\mathbb{Q}(\pi ):\mathbb{Q})]=[\mathbb{Q}(e):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\pi ,e):\mathbb{Q}]={\mathrm{\aleph }}_0$

${\mathrm{trdeg}}_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(\pi )={\mathrm{trdeg}}_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(e)=1$

${\mathrm{trdeg}}_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(\pi ,e)\in \{1,2\}$

이차 수체 $\mathbb{Q}[\sqrt{n}]/\mathbb{Q}$에서의 체 노름은 다음과 같다.

${\mathrm{N}}_{\mathbb{Q}[\sqrt{n}]/\mathbb{Q}}:a+\sqrt{n}b\mapsto (a+\sqrt{n}b)(a-\sqrt{n}b)=a^2-n{b}^2$

이다.

p진수체

틀:본문 소수 $p$가 주어졌을 때, 유리수체의 다른 확대로 p진수체 ${\mathbb{Q}}_p$를 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 체의 탑이 존재한다.

$\mathbb{Q}⊊{\mathbb{Q}}_p⊊{\overline{\mathbb{Q}}}_p⊊{ℂ}_p$

여기서 ${\mathbb{Q}}_p$는 p진수체이며, ${\overline{\mathbb{Q}}}_p$는 그 대수적 폐포이며, ${ℂ}_p$는 그 완비화이다. ${ℂ}_p$는 복소수체 $ℂ$와 체로서 동형이다. 이 경우 차수는 다음과 같다.

$[{\mathbb{Q}}_p:\mathbb{Q}]=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$

유한체

틀:본문 소수 $p$가 주어졌을 때, 표수 $p$의 유한체들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

${𝔽}_p⊊{𝔽}_{p^2}⊊\cdots ⊊{𝔽}_{p^n}⊊\cdots {\overline{𝔽}}_p={\underrightarrow{\lim }}^{n\to \mathrm{\infty }}{𝔽}_{p^n}$

여기서 ${\overline{𝔽}}_p$는 유한체의 대수적 폐포이며, 이는 유한체들의 귀납적 극한을 이룬다. 이 탑에서 차수는 다음과 같다.

$[{𝔽}_{p^{n+1}}:{𝔽}^p]=p$

$[{\overline{𝔽}}_p:{𝔽}_{p^n}]={\mathrm{\aleph }}_0$

대수다양체의 유리 함수체

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$가 주어졌을 때, $X$ 위의 유리 함수체

$L=\mathrm{\Gamma }(X,{𝒦}_X)$

는 $K$의 확대이다. 이 경우, $X$의 쌍유리 동치류는 확대 $L/K$로부터 완전히 결정된다. 특히, $X$의 크룰 차원은 $L/K$의 초월 차수와 같다.

$\dim X={\mathrm{trdeg}}_{K}L$

이를 사용하여, 유한 초월 차수의 확대는 대수기하학적으로 분류할 수 있다.

$n$차원 유리 다양체의 유리 함수체는 순수 초월 확대 $K(x_1,\dots ,x_n)$이다. 다른 예로, 다음과 같은 방정식으로 주어지는, 사영 평면 속의 초타원 곡선을 생각하자.

$y^2=p(x)$

여기서 $p(x)\in K[x]$는 근들이 중복되지 않는 다항식이다. 이는 기하학적으로 $x$ 좌표로 나타내어지는 사영 곡선의 2겹 분기 피복을 이루며, $x$ 위의 올은 $\pm \sqrt{p(x)}$이다. $2\lceil (\mathrm{deg}p)/2\rceil$개의 분기점들은 $p$의 근 및 (만약 $2\nmid \mathrm{deg}p$인 경우) 무한대 $\hat{\mathrm{\infty }}$에 위치한다. 체론적으로, 이는 초월 확대

$K(x,\sqrt{p(x)})/K$

로 주어진다. 사영 직선 위의 분기 피복은 대수적 확대 $K(x,\sqrt{p(x)})/K(x)$에 해당되며, 이것이 2차 유한 확대인 것은 분기 피복이 2겹인 것에 대응한다. 특히, 타원 곡선의 경우 이 함수체 (타원 함수체)는 바이어슈트라스 타원 함수로 다음과 같이 주어진다.

$ℂ(\rho ,\sqrt{4{\mathrm{\wp }}^3+g_2\mathrm{\wp }+g_3}{\rho }^{\prime })$

이는 바이어슈트라스 타원 함수가 $\mathrm{\wp }{\text{'}}^2=4{\mathrm{\wp }}^3+g_2\mathrm{\wp }+g_3$를 만족시키기 때문이다.

같이 보기

• 갈루아 이론
• 유체론
• 분해체

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

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