XY 모형 문서 원본 보기

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[[통계역학]]에서 '''XY 모형'''(XY模型, {{llang|en|XY model}}) 또는 '''고전 회전자 모형'''({{llang|en|classical rotor model}})은 주기적인 스칼라 보손을 나타내는 [[격자 모형]]이다. '''코스털리츠-사울리스 전이'''(-轉移, {{llang|en|Kosterlitz–Thouless transition}})를 비롯한 여러 흥미로운 현상을 보인다.

== 정의 ==
<math>D</math>차원의 격자 <math>\Lambda</math>위의 '''XY 모형'''은 다음과 같은 자유도 및 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]]으로 정의되는 통계역학 모형이다.
* 각 격자점 <math>i\in\Lambda</math>에 대하여, 자유도는 각도 <math>\theta_i\in\operatorname U(1)\}</math>이다.
* 해밀토니언은 다음과 같다. 여기서 <math>J</math> 및 <math>h_i</math>는 임의의 상수이다. <math>J</math>는 스핀, <math>h_i</math>는 외부 자기장으로 해석할 수 있다.
*:<math>H=-J\sum_{\langle ij\rangle}\cos(\theta_i-\theta_j)-\sum_ih_i\cos\theta_i</math>
위 식에서, <math>\textstyle\sum_{\langle ij\rangle}</math>은 격자에서 서로 이웃한 격자점의 쌍에 대한 합을 뜻한다. <math>J>0</math>인 경우는 [[강자성]], <math>J<0</math>인 경우는 [[반강자성]]에 해당한다.

== 성질 ==
XY 모형의 성질은 차원 <math>D</math>에 따라 다르다.

=== 1차원 ===
외부 자기장이 없을 때, 1차원 XY 모형은 다음과 같이 정확히 풀 수 있다. 편의상 <math>N+1</math>개의 격자점 <math>i=0,1,\dots,N</math>이 존재하고, 양끝에는 경계 조건을 부여하지 않는다고 하자. 자유도를 다음과 같은 변수로 나타내자.
:<math>\phi_i=\theta_i-\theta_{i-1}\qquad(i=1,\dots,N)</math>
그렇다면 해밀토니언은
:<math>H=-J\sum_{i=1}^N\cos\phi_i</math>
이며, 그 [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]는 다음과 같다.
:<math>Z(\beta J)=\left(\int_0^{2\pi}\exp(\beta J\cos\phi)\,d\phi\right)^N
=(2\pi I_0(\beta J))^N</math>
여기서 <math>I_0(x)</math>는 제1종 [[변형 베셀 함수]]이다.

=== 2차원 ===
2차원 XY 모형은 '''코스털리츠-사울리스 전이'''({{llang|en|Kosterlitz–Thouless transition}})라는 [[상전이]]를 보인다. 높은 온도에서는 스핀의 기댓값은 0이며, 스핀의 상관 함수는 긴 거리에서 지수적으로 0으로 수렴한다.
:<math>\lim_{\beta\to0}\langle\exp(i\theta)\rangle_\beta=0</math>
:<math>\langle\exp(i\theta_i-\theta_j)\rangle_\beta
\sim \exp(-c(\beta)|i-j|)\qquad(\beta\ll1)</math>
여기서 <math>c(\beta)</math>는 온도에 의존하는 상수이다.

[[머민-바그너 정리]]로 인하여 2차원에는 [[자발 대칭 깨짐]]이 부재하므로, 절대 영도에서도 스핀의 기댓값은 0이다. 그러나 스핀의 상관 함수는 낮은 온도에서 지수 법칙 대신 거듭제곱 법칙을 따른다.
:<math>\langle\exp(i\theta)\rangle_{\beta=\infty}=0</math>
:<math>\langle\exp(i(\theta_i-\theta_j))\rangle_\beta
\sim |i+j|^{-\eta(\beta)}</math>
여기서 <math>\eta(\beta)</math> 역시 온도에 의존하는 상수이다.

코스털리츠-사울리스 전이는 스핀의 상관 함수가 지수 법칙에서 거듭제곱 법칙으로 바뀌는 현상이다. 이는 높은 온도에서는 소용돌이({{llang|en|vortex}})와 반소용돌이({{llang|en|antivortex}})가 자유롭게 존재할 수 있지만, 낮은 온도에서는 이들이 오직 소용돌이-반소용돌이 쌍으로서만 존재할 수 있기 때문이다. 코스털리츠-사울리스 임계 온도에서는 소용돌이들이 이와 같이 속박된다.

2차원 XY 모형의 저에너지 극한은 자유 주기 보손의 [[2차원 등각 장론]]이다.

=== 3차원 ===
3차원 XY 모형은 자유 아벨 [[게이지 이론]]의 격자화로 해석할 수 있다. 3차원에서 게이지장 <math>F_{ij}</math>는 한 개의 자유도를 가지며, 구체적으로 이는 쌍대화
:<math>4\pi g^2\partial_i\theta=\epsilon_{ijk}F_{jk}</math>
를 통해 나타낼 수 있다. 이렇게 정의한 스칼라장 <math>\theta</math>는 게이지 변환에 의하여 주기적이며, 따라서 XY 모형의 각도로 해석할 수 있다.

낮은 온도에서는 [[U(1)]] 게이지 대칭의 [[자발 대칭 깨짐]]으로 인하여, 스핀이 기댓값을 갖는다.
:<math>\langle\exp(i\theta)\rangle_\beta\ne0\qquad(\beta\gg1)</math>
따라서 가능한 바닥 상태들의 집합은 원 모양이다.

높은 온도에서는 게이지 대칭이 회복된다. 즉, 스핀의 기댓값은 0이며, 상관 함수는 지수적으로 감소한다.
:<math>\lim_{\beta\to0}\langle\exp(i\theta)\rangle_\beta=0</math>
:<math>\langle\exp(i(\theta_i-\theta_j))\rangle_\beta
\sim \exp(-c(\beta)|i-j|)\qquad(\beta\ll1)</math>
이 두 상 사이에서는 어떤 임계 온도 <math>T_{\text{c}}</math>에서 [[상전이]]([[자발 대칭 깨짐]])가 발상한다.

3차원에서도 상전이는 [[솔리톤]]과 관계있다. 고온 상에서는 여차원이 1인 소용돌이가 발생하며, 주기 스칼라장 <math>\theta</math>는 소용돌이 둘레에 자명하지 않은 [[모노드로미]]를 갖는다. 반면, 저온 상에서는 소용돌이가 억제된다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|last=Mattis|first=D.C.|title=Transfer matrix in plane-rotator model|journal=Physics Letters A|날짜=1984|volume=104 |doi=10.1016/0375-9601(84)90816-8|bibcode = 1984PhLA..104..357M|언어=en }}
* {{저널 인용|last=Fröhlich|first=J.|last2=Spencer|first2=T. |title=The Kosterlitz–Thouless transition in two-dimensional abelian spin systems and the Coulomb gas|journal=Communications in Mathematical Physics| 날짜=1981| volume=81|issue=4|pages=527–602|doi=10.1007/bf01208273|bibcode = 1981CMaPh..81..527F | 언어=en}}
* {{저널 인용| last1=Aizenman| first1=M.|last2=Simon |first2=B.|title=A comparison of plane rotor and Ising models|journal=Physics Letters A|날짜=1980|volume=76|doi=10.1016/0375-9601(80)90493-4|bibcode = 1980PhLA...76..281A | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://ibiblio.org/e-notes/Perc/xy.htm|제목=Vortices in the XY model|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://gabrielesicuro.files.wordpress.com/2012/08/xy.pdf|제목=XY model in 2D and 3D|이름=Gabriele|성=Sicuro|언어=en|확인날짜=2015-06-29|보존url=https://web.archive.org/web/20160305043326/https://gabrielesicuro.files.wordpress.com/2012/08/xy.pdf|보존날짜=2016-03-05|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic909301.files/Richard_Fletcher_Duality_in_XY_models.pdf|제목=Duality in the XY model|이름=Richard|성=Fletcher|날짜=2011-05-10|언어=en}}{{깨진 링크|url=http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic909301.files/Richard_Fletcher_Duality_in_XY_models.pdf }}

== 같이 보기 ==
* [[이징 모형]]
* [[포츠 모형]]
* [[슈윙거 모형]]

{{전거 통제}}

[[분류:격자 모형]]