Tor 함자 문서 원본 보기

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[[호몰로지 대수학]]에서 '''Tor 함자'''(Tor函子, {{llang|en|Tor functor}})는 [[가군]] [[텐서곱]] [[함자 (수학)|함자]]의 [[유도 함자]]다.

== 정의 ==
<math>R</math>이 (단위원을 가진) [[환 (수학)|환]]이고, <math>_R{}\operatorname{Mod}</math>이 <math>R</math>에 대한 [[가군|왼쪽 가군]]들의 [[범주 (수학)|범주]], <math>\operatorname{Mod}_R</math>이 <math>R</math>에 대한 [[가군|오른쪽 가군]]들의 범주라고 하자. 이 범주들은 [[아벨 범주]]를 이룬다.

오른쪽 가군 <math>A\in\operatorname{Mod}_R</math>와 왼쪽 가군 <math>B\in{}_R\operatorname{Mod}</math>의 [[텐서곱]]을 취하여 [[아벨 군]] <math>A\otimes_RB\in\operatorname{Ab}</math>를 취할 수 있다. 이 텐서곱 연산 <math>\otimes_R\colon\operatorname{Mod}_R\times{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}</math>는 [[함자 (수학)|쌍함자]](bifunctor)를 이룬다. 여기서 <math>\operatorname{Ab}</math>는 [[아벨 군]]들의 [[범주 (수학)|범주]]다.

<math>A\otimes_R\colon{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}</math>는 [[오른쪽 완전 함자]]이며, 따라서 그 [[왼쪽 유도 함자]] <math>L^i(A\otimes)</math>를 취할 수 있다. 마찬가지로, <math>\otimes_RB\colon\operatorname{Mod}_R\to\operatorname{Ab}</math> 또한 [[오른쪽 완전 함자]]이며, 따라서 [[왼쪽 유도 함자]] <math>L^i(\otimes_RB)</math>를 취할 수 있다. 이 둘은 사실 같은 쌍함자를 이룬다. 즉,
:<math>L^i(A\otimes_R)B=A(L^i\otimes_RB)=\operatorname{Tor}^R_i(A,B)</math>
이다. 이 쌍함자 <math>\operatorname{Tor}^R_i\colon\operatorname{Mod}_R\times{}_R\operatorname{Mod}\to\operatorname{Ab}</math>를 '''Tor 함자'''라고 한다.

== 성질 ==
Tor 함자는 [[직합]]을 보존한다. 즉,
:<math>\operatorname{Tor}_n^R\left(\bigoplus_{i\in I}M_i,\bigoplus_{j\in J}N_j\right)=\bigoplus_{i\in I}\bigoplus_{j\in J}\operatorname{Tor}_n^R(M_i,N_j)</math>
이다.

만약 <math>R</math>가 [[가환환]]인 경우, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.
:<math>\operatorname{Tor}_n^R(M,N)\cong\operatorname{Tor}_n^R(M,N)</math>
또한, 이 경우 <math>\operatorname{Tor}_n^R(M,N)</math>은 <math>R</math> 위의 [[가군]]의 구조를 갖는다.

만약 <math>R</math>가 가환환이며, <math>r\in R</math>가 [[영인자]]가 아닐 때, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Tor}_1^R(R/(r),M)=\ker(r\cdot)=\{m\in M\colon rm=0\}</math>

== 예 ==
=== 벡터 공간 ===
체 <math>K</math> 위의 [[가군]]의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 [[벡터 공간]]이며, 모든 벡터 공간은 [[사영 가군]]이다. 즉, 벡터 공간 <math>V</math>의 사영 분해는 자명하다.
:<math>0\to P_0=V\to V\to0</math>
따라서, <math>K</math> 위의 벡터 공간 <math>V</math>, <math>W</math>가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Tor}_0^K(V,W)=V\otimes_KW</math>
:<math>\operatorname{Tor}_n^K(V,W)=0\qquad\forall n>0</math>

=== 아벨 군 ===
[[정수환]] <math>\mathbb Z</math> 위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 [[아벨 군]]이며, [[사영 가군]]은 [[자유 아벨 군]]이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 <math>G</math>는 [[자유 아벨 군]] <math>P_0</math>의 [[몫군]] <math>P_0/P_1</math>으로 나타낼 수 있으며, [[자유 아벨 군]]의 모든 [[부분군]]은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.
:<math>0\to G\to P^0\to P^1\to0</math>

[[아벨 군]] <math>G</math>, <math>H</math>가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다. <math>G</math>의 사영 분해가
:<math>0\to P^1\xrightarrow{\iota}P_0\to G\to0</math>
이라면, Tor 함자는 다음 [[사슬 복합체]]의 [[호몰로지 군]]이다.
:<math>0\to P_1\otimes_{\mathbb Z} H \xrightarrow{\iota\otimes_{\mathbb Z}\operatorname{id}} P_0\otimes_{\mathbb Z}H\to0</math>
따라서,
:<math>\operatorname{Tor}_0^{\mathbb Z}(G,H)\cong G\otimes_{\mathbb Z}H</math>
이며,
:<math>\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(G,H)\cong\ker(\iota\otimes_{\mathbb Z}\operatorname{id})</math>
이다. 특히,
:<math>\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(\mathbb Z,H)=0</math>
:<math>\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(0,H)=H</math>
:<math>\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(\mathbb Z/(n),H)=\operatorname{Tors}_n(H)=\{h\in H\colon nh=0\}</math>
이다. 보다 일반적으로, Tor 함자는 [[직합]]을 보존하므로,
:<math>\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}\left(\bigoplus_i\mathbb Z/(n_i),H\right)=\bigoplus_i\operatorname{Tors}_{n_i}(H)</math>
가 된다. 또한,
:<math>\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(\mathbb Q/\mathbb Z,H)=\operatorname{Tors}(H)=\{h\in H\colon\exists n\in\mathbb Z^+\colon nh=0\}</math>
이므로 <math>H</math>의 [[꼬임 부분군]]이 된다.

{| class=wikitable style="table-layout:fixed; width: 40em; text-align: center"
|+ <math>\operatorname{Tor}_0^{\mathbb Z}(G,H)=G\otimes H</math>
! <math>G\backslash H</math> || <math>\mathbb Z</math> || <math>\mathbb Z/(n)</math> || <math>\mathbb Q</math>
|-
! <math>\mathbb Z</math>
| <math>\mathbb Z</math> || <math>\mathbb Z/(n)</math> || <math>\mathbb Q</math>
|-
! <math>\mathbb Z/(m)</math>
| <math>\mathbb Z/(m)</math> || <math>\mathbb Z/(\gcd\{m,n\})</math> || 0
|-
! <math>\mathbb Q</math>
| <math>\mathbb Q</math> || 0 || <math>\mathbb Q</math>
|}
{| class=wikitable style="table-layout:fixed; width: 40em; text-align: center"
|+ <math>\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(G,H)</math>
! <math>G\backslash H</math> || <math>\mathbb Z</math> || <math>\mathbb Z/(n)</math> || <math>\mathbb Q</math>
|-
! <math>\mathbb Z</math>
| 0 || 0 || 0
|-
! <math>\mathbb Z/(m)</math>
| 0 || <math>\mathbb Z/(\gcd\{m,n\})</math> || 0
|-
! <math>\mathbb Q</math>
| 0 || 0 || 0
|}

=== 리 대수 호몰로지 ===
{{본문|리 대수 호몰로지}}
[[리 대수 호몰로지]]는 [[리 대수]]의 [[보편 포락 대수]]의 Tor 함자와 같다.

== 어원 ==
‘Tor’는 {{llang|en|torsion|토전}}([[꼬임 부분군]])의 약자다. 이는 Tor 함자가 [[아벨 군]]의 [[꼬임 부분군]]과 관련있기 때문이다.

== 같이 보기 ==
* [[Ext 함자]]
* [[그로텐디크 군]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last=Gelfand | first=Sergei I. | 저자2 = Yuri Ivanovich Manin | title=Homological algebra | isbn=978-3-540-65378-3 | year=1999 | publisher=Springer | location=Berlin|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=現代數學과 Homology 代數|저자=李起安|저널=Bulletin of the Korean Mathematical Society|권=9|호=2|날짜=1972|쪽=83–99|url=http://pdf.medrang.co.kr/kms01/BKMS/9/BKMS-9-2-83-99.pdf|언어=ko|issn=1015-8634}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Tor}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/50971/how-to-make-ext-and-tor-constructive|제목=How to make Ext and Tor constructive|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:이항연산]]