SYZ 추측 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{끈 이론}}

'''SYZ 추측'''은 수학에서 [[거울 대칭|거울 대칭 가설]]을 이해하려는 시도들 중 하나이다. 원래의 추측은 [[앤드루 스트로민저|스트로밍거]], [[야우싱퉁|야우]] 및 자슬로우의 "거울 대칭은 ''T-'' 이중성"이라는 제목의 논문에서 제안되었다.<ref name="SYZ">{{인용|last1=Strominger|first1=Andrew|last2=Yau|first2=Shing-Tung|last3=Zaslow|first3=Eric|year=1996|title=Mirror symmetry is ''T''-duality|journal=Nuclear Physics B|volume=479|issue=1–2|pages=243–259|doi=10.1016/0550-3213(96)00434-8|arxiv=hep-th/9606040|bibcode=1996NuPhB.479..243S|s2cid=14586676}}</ref>

SYZ 추측은 [[호몰로지 거울 대칭|호몰로지 거울 대칭 추측]]과 함께 거울 대칭을 이해하는 데 적용되는 가장 많이 탐구된 도구 중 하나이다. 호몰로지 거울 대칭은 [[호몰로지 대수학]]을 기반으로 하는 반면, SYZ 추측은 거울 대칭을 기하학적으로 구현한 것이다.

== 공식화 ==
[[끈 이론]]에서 거울 대칭은 [[IIA형|IIA 유형]]과 [[IIB형|IIB 유형]] 이론을 관련시킨다. 유형 IIA와 유형 IIB의 유효장론을 거울 대칭 쌍인 다양체에서 축소화하면 두 이론이 동일해야 한다고 예측한다.

SYZ 추측은 이 사실을 사용하여 거울 대칭을 실현한다. 이는 ''<math>X</math>''로 압축된 유형 IIA 이론의 BPS 상태, 특히 [[모듈라이 공간]] ''<math>X</math>''가 있는 [[0-brane|0-막]]을 고려하는 것부터 시작된다. ''<math>Y </math>''로 축소화된 유형 IIB 이론의 모든 BPS 상태는 [[3-brane|3막]]인 것으로 알려져 있다. 따라서 거울 대칭은 유형 IIA 이론의 0-막을 유형 IIB 이론의 3-막 부분 집합으로 사상한다.

[[초대칭]] 조건을 고려하여 이러한 3개의 막은 [[심플렉틱 다양체|특수 라그랑주 부분 다양체]]임이 밝혀졌다.<ref name="BBS"> {{인용|last1=Becker|first1=Katrin|last2=Becker|first2=Melanie|last3=Strominger|first3=Andrew|year=1995|title=Fivebranes, membranes and non-perturbative string theory|journal=Nuclear Physics B|volume=456|issue=1–2|pages=130–152|doi=10.1016/0550-3213(95)00487-1|arxiv=hep-th/9507158|bibcode=1995NuPhB.456..130B|s2cid=14043557}}</ref><ref name="HL">{{인용|last1=Harvey|first1=Reese|last2=Lawson|first2=H. Blaine, Jr.|year=1982|title=Calibrated geometries|journal=Acta Mathematica|volume=148|issue=1|pages=47–157|doi=10.1007/BF02392726|doi-access=free}}</ref> 반면에 [[T-이중성]]은 이 경우 동일한 변환을 수행하므로 "거울 대칭은 T-이중성"이다.

== 수학적 진술 ==
스트로밍거, 야우 및 자슬로우의 SYZ 추측에 대한 초기 제안은 수학적으로 정확하게 제시되지 않았다.  SYZ 추측의 수학적 해결의 한 부분은 어떤 의미에서 추측 자체의 진술을 올바르게 공식화하는 것이다. 수학계 내에서 추측에 대한 정확한 진술에 대해 합의된 것은 없지만 여기에 제시된 추측의 올바른 공식화에 가깝다고 예상되는 일반적인 진술이 있다.<ref name="mirrorsymmetrybook">Gross, M., Huybrechts, D. and Joyce, D., 2012. Calabi-Yau manifolds and related geometries: lectures at a summer school in Nordfjordeid, Norway, June 2001. Springer Science & Business Media.</ref><ref>Gross, M., 2012. Mirror symmetry and the Strominger-Yau-Zaslow conjecture. Current Developments in Mathematics, 2012(1), pp.133-191.</ref> 이 진술은 거울 대칭의 위상 수학적 그림을 강조하지만 거울 쌍의 복잡하고 대칭적인 구조 사이의 관계를 정확하게 특성화하지 않거나 관련된 [[리만 다양체|리만 계량]]을 참조하지 않는다.<blockquote>'''SYZ 추측:''' 모든 6차원 칼라비-야우 다양체 <math>X</math>는 다음과 같은 거울 6차원 칼라비-야우 다양체 <math>\hat{X}</math>와 대응된다: 다음과 같은 3차원 콤팩트 위상 다양체 <math>B</math>로 가는 연속 전사 <math>f: X\to B</math>, <math>\hat{f}:\hat{X} \to B</math>가 존재한다:

# 사상 <math>f,\hat{f}</math>이 비특이 [[심플렉틱 다양체|특수 라그랑주]] [[원환면|3-원환면]]에 의한 [[올뭉치]]인 조밀한 열린 부분 집합 <math>B_{\text{reg}}\subset B</math>이 존재한다. 게다가 모든 점 <math>b\in B_{\text{reg}}</math>에 대해 , 원환 올 <math>f^{-1}(b)</math>과 <math>\hat{f}^{-1}(b)</math>는 어떤 의미에서는 서로 쌍대이어야 하며, 이는 아벨 버라이어티의 쌍대성과 유사하다.
# 각각 <math>b\in B\backslash B_{\text{reg}}</math>에 대해, 올 <math>f^{-1}(b)</math>과 <math>\hat f^{-1}(b)</math>는 각 <math>X</math>과 <math>\hat{X}</math>의 3차원 싱귤러 특수 라그랑주 부분 다양체여야 한다.
</blockquote>
[[파일:Syzfibration.png|오른쪽|섬네일|300x300픽셀| 특수 라그랑주 원환면 올의 그림. <math>B_{\text{reg}}</math>안의 점들 위에서 올 <math>f: X \to B</math>는 3-원환이고, 싱귤러 집합 <math>B\backslash B_{\text{reg}}</math> 위에서 올은 아마도 싱귤러 특수 라그랑주 부분다양체 <math>L</math>일 수 있다.]]
<math>B_{\text{reg}} = B</math>인 경우 특이 궤적이 없다는 것을 SYZ 추측의 ''반평탄극한''이라고 하며, 원환 올화를 설명하는 모델 상황으로 자주 사용된다. SYZ 추측은 예를 들어 [[타원곡선]]으로 구성된 [[아벨 다양체|아벨 버라이어티]] 및 [[K3 곡면]]과 같은 반평형 극한의 일부 간단한 경우에 유지되는 것으로 나타날 수 있다.

SYZ 추측의 올바른 공식화는 위의 진술과 다소 다를 것으로 예상된다. 예를 들어 싱귤러 집합 <math>B\backslash B_{\text{reg}}</math>의 가능한 행동은 잘 이해되지 않았으며 이 집합은 <math>B</math>과 비교하여 상당히 클 수 있다. 거울 대칭은 종종 단일 칼라비-야우 대신에 칼라비-야우 다양체의 퇴행적인 계열이라는 용어로 표현되며 SYZ 추측이 이 언어로 더 정확하게 재구성될 것으로 기대할 수 있다.<ref name="mirrorsymmetrybook">Gross, M., Huybrechts, D. and Joyce, D., 2012. Calabi-Yau manifolds and related geometries: lectures at a summer school in Nordfjordeid, Norway, June 2001. Springer Science & Business Media.</ref>

== 호몰로지 거울 대칭 추측과의 관계 ==
SYZ 거울 대칭 추측은 거울 칼라비-야우 다양체의 호지 수와 관련된 원래 거울 대칭 추측을 개선한 것 중 하나이다. 다른 하나는 [[막심 콘체비치|콘세비치]]의 [[호몰로지 거울 대칭|호몰로지 거울 대칭 추측]] (HMS 추측)이다. 이 두 가지 추측은 거울 대칭에 대한 예측을 다양한 방식으로 인코딩한다. 즉, ''대수적'' 방식의 호몰로지 거울 대칭과 ''기하학적'' 방식의 SYZ 추측이다.<ref>Bejleri, D., 2016, July. The SYZ conjecture via homological mirror symmetry. In ''Superschool on Derived Categories and D-branes'' (pp. 163-182). Springer, Cham.</ref>

거울 대칭에 대한 이 세 가지 해석 사이에는 관계가 있어야 하지만, 둘이 동등해야 하는지 아니면 한 제안이 다른 제안보다 더 강한지는 아직 알려지지 않았다. 호몰로지 거울 대칭이 호지 이론의 거울 대칭을 암시한다는 특정 가정 하에서 보여주는 방향으로 진전이 이루어졌다.<ref>Ganatra, S., Perutz, T. and Sheridan, N., 2015. Mirror symmetry: from categories to curve counts. ''arXiv preprint arXiv:1510.03839''.</ref>

그럼에도 불구하고 간단한 설정에서는 SYZ 및 HMS 추측을 연관시키는 명확한 방법이 있다. HMS의 주요 특징은 추측이 거울 기하학적 공간의 대상(부분 다양체 또는 층)와 관련되어 있으므로 HMS 추측을 이해하거나 증명하는 데 필요한 입력에는 거울 쌍의 기하학적 공간이 포함된다는 것이다. SYZ 추측은 이러한 거울 쌍이 어떻게 발생해야 하는지 예측하므로 SYZ 거울  쌍이 발견될 때마다 이 쌍에 대한 HMS 추측을 시도하고 증명하는 것이 좋은 후보이다.

SYZ와 HMS 추측을 연관 시키려면, 준 평탄 극한에서 살펴보는것이 편하다. 거울 대칭을 부호화 하는 라그랑주 원환 올화 <math>X,\hat X \to B</math>의 쌍의 가장 중요한 기하학적 특징은 그 올화의 쌍대 원환 올이다. 주어진 라그랑주 원환 <math>T\subset X</math>에 대해, 그 쌍대 원환은 <math>T</math>의 [[야코비 다양체|야코비 버라이어티]] <math>\hat T = \mathrm{Jac}(T)</math>로 주어진다. 이는 같은 차원을 가진 또다른 원환이다. 그리고 그 쌍대성은 <math>\mathrm{Jac}(\mathrm{Jac}(T)) = T</math>이라서 <math>T</math>와 <math>\hat T</math>들이 정말 쌍대라는 것으로 인코딩 된다. 야코비 버라이어티 <math>\hat T</math>는 <math>T</math>의 선다발들의 [[모듈라이 공간]]이라는 중요한 해석을 갖는다.

이러한 쌍대성과 원래 원환의 층의 모듈라이 공간으로서의 쌍대 원환의 해석은 부분 다양체와 부분 층의 데이터를 교환할 수 있게 해준다. 이 현상에 대한 두 가지 간단한 예가 있다.

* 만약에 <math>p\in X</math>가 특별한 라그랑주 원환 올화의 어떤 올 <math>p\in T\subset X</math> 내부에 있는 점이면,  <math>T = \mathrm{Jac}(\hat T)</math>이므로, 점 <math>p</math>는 <math>\hat T \subset \hat X</math>에서 지지되는 선다발에 해당한다. <math>s(B)=L</math>이 <math>X</math>의 라그랑주 부분 다양체인 라그랑주 단면 <math>s: B \to X</math>을 선택하는 경우, 정확히 <math>s</math>가 SYZ 올의 각 원환 올에서 한 지점을 선택하므로, 이 라그랑주 단면은 거울 다양체 <math>\hat X</math>의 각 원환 올에서 지지되는 선다발 구조 선택에 대한 거울 쌍대이다. 결과적으로 <math>\hat X</math>의 전체 공간에 대한 선다발, 거울 다양체의 유도 범주에 나타나는 연접층의 가장 간단한 예이다. 거울 원환 올이 준 평탄 극한에 속하지 않는 경우 베이스 <math>B</math>의 싱큘러 집합을 교차할 때 특별한 주의를 기울여야 한다.

* 라그랑주 부분 다양체의 또 다른 예는 원환 올 자체이며, 그 위에 평탄한 유니타리 [[선다발]]의 데이터가 추가된 전체 원환를 라그랑주 다양체 <math>T\subset X</math>로 취하면 호몰로지 거울 대칭에서 종종 필요한 것처럼 다음 쌍대 원환 <math>\hat T \subset \hat X</math>에서  이는 원환 위의 선 다발을 나타내는 단일 점에 해당한다. 쌍대 원환의 해당 점에 지지된 [[층 (수학)|마천루 층]]을 취하면 ''SYZ 올화의 원환 올가 거울 원환 올의 점에 지지된 마천루 층으로 전송되는 것을'' 볼 수 있다.

이 두 가지 예는 가장 극단적인 유형의 [[연접층]], [[연접층|국소적 자유 층]] (랭크 1) 및 점에서 지지되는 [[비틀림 뭉치|꼬임 층]]를 생성한다. [[Torsion filtration|비틀림 여과]]를 사용하여 연접층을 만드는 것과 유사하게 보다 신중하게 구성하면 더 복합적인 연접층의 예를 구성 할 수 있다. 간단한 예로서, 라그랑주 ''다중단면'' (''k'' 라그랑주 단면들의 합집합)은 거울 다양체의 ''k'' 랭크 ''벡터'' ''다발''에 대해 거울 쌍대이어야 한다.  그러나 [[그로모프-위튼 불변량|그로모프-위튼 이론]]의 의미에서 다중 단면의 관점에서, 다중 단면으로 제한된 홀로모르픽 디스크를 세어 인스턴톤 보정을 고려해야 한다. 이러한 방식으로 거울 대칭이 쌍대 대상을 교환하는 방법을 이해하는 데 [[열거 기하학]]이 중요해진다.

SYZ 추측의 거울 올 기하학과 열거 불변량 및 <math>B</math> 베이스 싱귤러 집합의 구조에 대한 자세한 이해를 결합함으로써, <math>X</math>의 라그랑주 부분 다양체 범주로부터 <math>\hat X</math>의 연접층 범주로 가는 [[범주 (수학)|범주]] 동형 <math>\mathrm{Fuk}(X) \to \mathrm{D}^b \mathrm{Coh}(\hat X)</math>을 구축하기 위해 올화의 기하학을 사용하는 것이 가능하다.  원환 올의 쌍대성을 사용하여 동일한 논의를 역으로 반복함으로써, <math>X</math>의 라그랑주 부분 다양체의 관점에서 <math>\hat X</math>의 연접층을 유사하게 이해할 수 있다.

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:추측]]
[[분류:쌍대성이론]]
[[분류:대칭]]
[[분류:끈 이론]]