R대칭 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{초대칭}}
[[이론물리학]]에서 '''R대칭'''(R對稱, {{llang|en|''R''-symmetry}})은 서로 다른 [[초대칭]] 생성원(초전하)들을 섞는 (보손) 대칭이다. 가장 간단한 (<math>\mathcal N=1</math>) 초대칭에서는 [[U(1)]]이지만, 확장 초대칭의 경우 [[아벨 군]]이 아닐 수 있다.

== 정의 ==
시공간 대칭 <math>L</math>이 주어졌다고 하자. 예를 들어, 부호수 <math>(p,q)</math>의 [[민코프스키 공간]]에서, 이는 [[푸앵카레 대칭]] <math>\operatorname{ISO}(p,q)</math>이며, [[반 더 시터르 공간]]이나 [[등각 장론]]에서는 이는 <math>\operatorname{SO}(p+1,q+1)</math>의 꼴이다.

이 위에 초대칭 이론을 정의한다고 하자. 그렇다면, [[초대칭]]의 [[리 초대수]] <math>\mathfrak g</math>의 보손 성분 <math>\mathfrak g_0</math>를 생각하자. [[콜먼-맨듈라 정리]] 및 [[하크-워푸샨스키-조니우스 정리]] 등에 따라서, 이는 일반적으로
:<math>\mathfrak g_0 = \operatorname{Lie}(L) \oplus \mathfrak r</math>
의 꼴이다. 즉, 시공간 대칭과 가환하는 대칭의 리 대수 <Math>\mathfrak r</math>가 존재한다. 이 리 대수에 대응하는 대칭을 '''R대칭'''이라고 한다.

스피너 표현이 실수 또는 복소수 또는 사원수 표현인지 여부에 따라서, R대칭군은 각각 [[직교군]] 또는 [[유니터리 군]] 또는 [[심플렉틱 군]]이 된다. 구체적으로, 시공간 부호수  <math>(p,q)</math>에서, 초대칭의 R대칭은 다음과 같다.

{| class=wikitable
|-
! <math>(p-q)\bmod 8</math> !! 스피너 종류 !! R대칭
|-
| 0 || 마요라나-바일 || <math>\operatorname{SO}(\mathcal N)</math>
|-
| ±1 || 마요라나 || <math>\operatorname{SO}(\mathcal N)</math>
|-
| ±2 || 마요라나, 바일 || <math>\operatorname U(\mathcal N)</math>
|-
| ±3 || 디랙 || <math>\operatorname{USp}(\mathcal N)</math>
|-
| 4 || (심플렉틱-마요라나) 바일 || <math>\operatorname{USp}(\mathcal N)</math>
|}

물론, 이 가운데 일부는 상호 작용에 의하여 깨지거나 [[게이지 대칭]]이 될 수 있다.

== 성질 ==
일반적인 초대칭 양자장론에서, R대칭은 (이름과 달리) 실제 이론의 대칭이 아닐 수 있다. 즉, [[해밀토니언 연산자]]와 가환하지 않을 수 있다. 이 깨짐은 직접적으로 (R대칭을 따르지 않는 라그랑지언 항), 또는 [[변칙 (물리학)|변칙적]]으로 일어날 수 있다. 그러나 [[등각 장론]]의 경우, 등각 대수가 닫히기 위해서 R대칭이 꼭 필요하며, 따라서 R대칭이 깨질 수 없다.

4차원에서, 중심 전하({{llang|en|central charge}})가 없는 <math>\mathcal N</math> 초대칭 이론의 경우 R대칭은 <math>\operatorname U(\mathcal N)</math>이다 (<math>\mathcal N=4</math>일 경우, <math>\operatorname{SU}(4)</math>). 만약 중심 전하 <math>Z_{ij}</math>가 주어질 경우, R대칭은 중심 전하를 보존하는 부분군인 [[심플렉틱 군]] <math>\operatorname{USp}(\mathcal N)</math>으로 깨지게 된다.<ref>{{서적 인용|성1=Labastida|이름1=Jose|성2=Mariño|이름2=Marcos|제목=Topological quantum field theories and four manifolds|출판사=Springer|총서=Mathematical Physics Studies|권=25|doi=10.1007/1-4020-3177-7|isbn=978-1-4020-3058-1|issn=0921-3767|언어=en}}</ref>{{rp|40}}

== 예 ==
[[민코프스키 공간]] 위의 초대칭 이론 (특히 [[양-밀스 이론]])의 R대칭군은 다음과 같다.

{| class="wikitable"
|-
! [[시공간]] 차원 !! 초대칭 수(𝒩)  !! R대칭군 !! 주석
|-
| (1,1) || (2,2) || U(1)<sub>A</sub>×U(1)<sub>V</sub>  || 물질에 따라서 U(1)<sub>A</sub> 또는 U(1)<sub>V</sub> 둘 다 변칙을 겪을 수 있음
|-
| (2,1) || 4 || SO(4) = SU(2)×SU(2)
|-
| (3,1) || 1 || U(1)
|-
| (3,1) || 2 || SU(2) || U(1) 성분은 [[변칙 (물리학)|변칙]]적으로 <math>\mathbb Z_{4N_\text{c}}</math>로 깨짐, 게이지 군 <math>SU(N_\text{c})</math>
|-
| (3,1) || 4 || SU(4)
|-
| (5,1) || (1,0) || USp(2) = SU(2)
|-
| (5,1) || (1,1) || USp(2)×USp(2) = SU(2)×SU(2)
|-
| (5,1) || (2,0) || USp(4) = Spin(5)<ref>{{웹 인용 |url=http://string14.itp.phys.ethz.ch/talks/Lee.pdf |제목=보관된 사본 |확인날짜=2015-05-15 |보존url=https://web.archive.org/web/20160304094820/http://string14.itp.phys.ethz.ch/talks/Lee.pdf |보존날짜=2016-03-04 |url-status=dead }}</ref>
|}
이들 가운데 일부는 다음과 같이 기하학적으로 해석할 수 있다.
* [[𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론|4차원 <math>\mathcal N=4</math> 양-밀스 이론]]의 [[SU(N)|SU(4)]]=[[스핀 군|Spin(6)]] R대칭군은 [[AdS/CFT 대응성]]을 통해, [[반 더 시터르 공간]]의 등거리군으로 설명할 수 있다. 또한, 4차원 <math>\mathcal N=4</math>는 10차원 <math>\mathcal N=1</math> 양-밀스 이론에서 6개의 차원을 [[축소화]]하여 얻으며, 이에 따라 Spin(6)=SU(4)를 얻는다.
* 6차원 <math>\mathcal N=(1,1)</math> 이론의 경우, 10차원 <Math>\mathcal N=1</math> 양-밀스 이론에서 4개의 차원을 축소화하여 얻을 수 있다. 이에 따라 R대칭군은 Spin(4)=USp(2)×USp(2)이다.
* [[6차원 (2,0) 초등각 장론|6차원 <math>\mathcal N=(2,0)</math> 이론]]의 경우, [[M5-막]] 위에 존재한다. 따라서, 11차원 [[M이론]]을 사용하여, M5-막에 수직인 5개의 차원으로부터 R대칭 Spin(5)=USp(4)를 얻는다.
* 3차원 <math>\mathcal N=4</math> 이론은 6차원 <math>\mathcal N=1</math> 이론에서 세 개의 차원을 [[축소화]]하여 얻을 수 있다. 이 경우, 6차원 <math>\mathcal N=1</math> 이론은 USp(2) R대칭을 가지며, 축소화한 3개의 차원으로부터 Spin(3)=[[SU(2)]] R대칭이 추가로 발생한다. 따라서 총 R대칭은 Spin(4)=SU(2)×SU(2)이다.

=== 등각 대칭 / (반) 더 시터르 ===
실수 [[단순 리 초대수]] 가운데, 그 보손 부분 대수가
:<math>\mathfrak o(p,q) \oplus </math> [콤팩트 리 대수]
의 꼴인 것들은 다음이 있다.

{| class=wikitable
! 리 대수 || 시공간 부호수 || R대칭
! 리 대수 || 시공간 부호수 || R대칭
|-
| <math>\mathfrak{su}(2,2|\mathcal N)</math> || (4,2) || <math>\mathfrak{su}(\mathcal N)\oplus\mathbb R</math>
| <math>\mathfrak{psu}(2,2|4)</math> || (4,2) || <math>\mathfrak{su}(4)</math>
|-
| <math>\mathfrak{su}(4|\mathcal N)</math> || (6,0) || <math>\mathfrak{su}(\mathcal N)\oplus\mathbb R</math>
| <math>\mathfrak{psu}(4|4)</math> || (6,0) || <math>\mathfrak{su}(4)</math>
|-
| <math>\mathfrak{su}(2|\mathcal N)</math> || (3,0) || <math>\mathfrak{su}(\mathcal N)\oplus\mathbb R</math>
| <math>\mathfrak{psu}(2|2)</math> || (3,0) || <math>\mathfrak{su}(2)</math>
|-
| <math>\mathfrak{su}(1,1|\mathcal N)</math> || (2,1) || <math>\mathfrak{su}(\mathcal N)\oplus\mathbb R</math>
| <math>\mathfrak{psu}(1,1|2)</math> || (2,1) || <math>\mathfrak{su}(2)</math>
|-
| <math>\mathfrak{osp}(\mathcal N|4;\mathbb R)</math> || (3,2) || <math>\mathfrak o(\mathcal N)</math>
|-
| <math>\mathfrak{osp}(\mathcal N|2;\mathbb R)</math> || (2,1) || <math>\mathfrak o(\mathcal N)</math>
|-
| <math>\mathfrak{osp}(4|2,\alpha)</math> || (2,1) || <math>\mathfrak o(4)</math>
|-
| <math>\mathfrak f(4)</math> || (2,1) || <math>\mathfrak o(7)</math>
|-
| <math>\mathfrak f(4)</math> || (3,0) || <math>\mathfrak o(7)</math>
|-
| <math>\mathfrak f(4)</math> || <math>(7-p,p)</math> || <math>\mathfrak{su}(2)</math>
|-
| <math>\mathfrak g(3)</math> || (2,1) || <math>\mathfrak g_2</math>
|}

이들은 [[초등각 장론]] 또는 이에 대응하는 [[반 더 시터르 공간]]이나 [[더 시터르 공간]] 위의 초대칭 이론에서 사용된다.<ref>{{저널 인용|이름1=N. |성1=Berkovits|이름2= M. |성2=Bershadsky|이름3= T.|성3= Hauer|이름4= S. |성4=Zhukov|이름5= B.|성5= Zwiebach|제목= Superstring theory on AdS<sub>2</sub> × S<sup>2</sup> as a coset supermanifold|저널=Nuclear Physics B|권=567|쪽=61–86|날짜= 2000|arxiv=hep-th/9907200|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[R 반전성]]

[[분류:초대칭]]