N-연결 공간 문서 원본 보기

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[[위상수학]]에서 '''n-연결 공간'''({{lang|en|n-connected space}})은 [[경로 연결 공간]] · [[단일 연결 공간]] 등을 일반화한 개념이다.

== 정의 ==

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[호모토피 군]] <math>\pi_i(X)</math>가 다음과 같은 성질을 만족할 경우 <math>X</math>를 '''n-연결'''이라고 부른다.

: <math>\pi_i(X) \simeq 0, \quad 0 \le i \le n</math>

다시 말해, <math>i = 0</math>인 경우에는 호모토피 군이 [[한 원소 집합]]이고, <math>1 \le i \le n</math>인 경우에는 호모토피 군이 [[자명군|자명하다]](<math>\pi_i(X) \cong 0</math>)는 것이다.

만약 모든 <math>i \ge 0</math>에 대해서 <math>\pi_i(X) \simeq 0</math>일 경우 <math>X</math>를 '''<math>\infty</math>-연결'''이라고 부른다.

문헌에 따라서는 <math>X</math>가 비어있지 않을 것을 조건으로 추가하고, <math>X</math>가 비어있지 않은 상태를 '''(-1)-연결'''로 정의하기도 한다.

== 성질 ==

<math>X</math>가 비어있지 않을 경우, 정의에 따라 다음이 성립한다.

* <math>X</math>가 0-연결인 것은 <math>X</math>가 [[경로 연결 공간|경로 연결]]인 것과 동치이다.
* <math>X</math>가 1-연결인 것은 <math>X</math>가 [[단일 연결 공간|단일 연결]]인 것과 동치이다.

[[후레비치 정리]]에 따르면 <math>n \ge 1</math>일 경우 <math>n</math>-연결 공간 <math>X</math>에 대해 다음 식이 성립한다.

: <math>\pi_k(X) \cong \operatorname{H}_k(X;\mathbb{Z}), \quad k > n</math>

== 예 ==

* 구 <math>\mathbb S^n</math>은 <math>(n-1)</math>-연결 공간이다.
* <math>\mathbb R^n</math>은 [[축약 가능 공간]]이므로 <math>\infty</math>-연결이다.
== 같이 보기 ==
* [[연결 공간]]

{{전거 통제}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:위상 공간의 성질]]