L∞-대수 문서 원본 보기

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{{DISPLAYTITLE:L<sub>∞</sub>-대수}}
[[수학]]에서 '''L<sub>∞</sub>-대수'''({{lang|en|L<sub>∞</sub>-algebra}}) 또는 '''호모토피 리 대수'''({{llang|en|homotopy Lie algebra}})는 <math>\mathbb Z</math> 등급을 갖는 대수이다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9209099|제목=Introduction to sh Lie algebras for physicists|이름=Tom |성=Lada|공저자= Jim Stasheff|bibcode=1993IJTP...32.1087L|doi=10.1007/BF00671791|저널=International Journal of Theoretical Physics|권=32|호=7|쪽=1087–1103|issn= 0020-7748|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9406095|이름=Tom|성=Lada|이름-2=Martin|성-2=Markl|제목=Strongly homotopy Lie algebras|date=1994-06-15|url=https://archive.org/details/arxiv-hep-th9406095|bibcode=1994hep.th....6095L|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=0903.5433|제목=Examples of Homotopy Lie Algebras|date=2009-09-17|url=https://archive.org/details/arxiv-0903.5433|이름=Klaus|성=Bering|공저자=Tom Lada|언어=en}}</ref> [[리 대수]]의 개념에서, [[야코비 항등식]]이 오직 호모토피에 대하여 성립하도록 약화시킨 것이다.

== 정의 ==
=== 괄호를 통한 정의 ===
[[표수 0]]의 체 <math>K</math>가 주어졌다고 하자. <math>K</math> 위의 [[초벡터 공간]] <math>V=V_+\oplus V_-</math>이 주어졌을 때, 다음을 정의하자.
:<math>\bigwedge V = 
\frac{\operatorname T(V)}{\mathfrak I}
</math>
여기서 <math>\mathfrak I</math>는 [[텐서 대수]] <math>\operatorname T(V)</math>의, 다음 부분 집합으로 생성되는 [[아이디얼]]이다.
:<math>\mathfrak I = \left(v_1\otimes v_2\otimes\dotsb\otimes v_n - (-)^\sigma(-)^{\sigma,\vec v} v_{\sigma(1)}\otimes v_{\sigma(2)}\otimes\dotsb\otimes v_{\sigma(n)} \colon \sigma \in\operatorname{Sym}(n),\;v_1,\dotsc,v_n \in V_+ \cup V_- \right)</math>
여기서
* <math>(-)^\sigma\in\{\pm1\}</math>는 [[순열의 부호수]], 즉 [[군 준동형]] <math>\operatorname{Sym}(n) \to \operatorname{Sym}(2)</math>에 대한 [[상 (수학)|상]]이다.
* <math>(-)^{\sigma,\vec v}\in\{\pm1\}</math>는 <math>\sigma</math>가 <math>(v_1,\dotsc,v_n)</math>에 [[군의 작용|작용]]할 때, <math>V_-</math>에 속하는 두 원소를 교환할 때의 수가 짝수인 경우 <math>+1</math>, 홀수일 경우 <math>-1</math>이다.

물론 <math>\textstyle\bigwedge V</math>는 자연수 등급을 갖는다.

<math>K</math> 위의 '''L<sub>∞</sub>-대수''' <math>A</math>는 다음과 같은 일련의 연산이 주어진, <math>K</math> 위의 <math>\mathbb Z</math>-[[등급 벡터 공간]]
:<math>A=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}A^i</math>
이다.
* 각 <math>n\ge1</math>에 대하여, 등급 반대칭 <math>n</math>항 연산 <math>[-,-,\dotsc,-]\colon \textstyle\bigwedge^n V \to K</math>. 그 등급은 <math>n-2</math>이다. (즉, 2항 괄호의 등급이 0이며, 1항 괄호는 등급 −1의 미분을 이룬다.)
*:<math>\deg[a_1,\dotsc,a_n]_n = n -2 + \sum_{i=1}^n\deg a_i</math>
이는 다음과 같은 [[야코비 항등식]]을 만족시켜야 한다.
:<math>0=\sum_{i+j=n+1}\sum_{\sigma\in\operatorname{Sh}(i,n-i)} e(\sigma)(-1)^{\sigma+i(j-1)}[[a_{\sigma(1)},\dots,a_{\sigma(i)}]_i,a_{\sigma(i+1)},\dots,a_{\sigma(n)}]_j</math>
여기서
* <math>\operatorname{Sh}(i,n-i)</math>는 <math>(i,n-i)</math>-[[셔플 순열]]의 집합이다.
* <math>e(\sigma)</math>는 순열 <math>\sigma</math>가 [[홀수]] 등급을 갖는 원소쌍을 서로 짝수 번 뒤바꾸었을 때 <math>+1</math>, 홀수 번 뒤바꾸었을 때 <math>-1</math>이다. 이를 '''코쥘 부호'''({{llang|en|Koszul sign}})라고 한다.

=== 미분 등급 대수를 통한 정의 ===
만약 각 등급별 차원이 유한하다면, L<sub>∞</sub>-대수는 다음과 같이 정의될 수도 있다.

[[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 위의 '''호모토피 리 대수'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>K</math> 위의 양의 정수 [[등급 벡터 공간]] <math>A=\textstyle\bigoplus_{i\in\mathbb Z^+}A_i</math>. 이로부터 다음을 정의할 수 있다.
** <math>A^*</math>는 <math>A</math>의 [[대수적 쌍대 공간]]이다.
** <math>\operatorname{Sym}(A^*)</math>은 등급 벡터 공간 <math>A^*</math> 위의 대칭 대수이며, 이는 [[자연수]] [[등급 대수]]를 이룬다.
* <math>\mathrm d \colon \operatorname{Sym}(V^*)\to\operatorname{Sym}(V^*)</math>는 <math> \operatorname{Sym}(V^*)</math> 위의, 등급 +1의 [[연속 함수|연속]] [[미분 (대수학)|미분]]이다. 즉, 다음 조건들을 만족시킨다.
** <math>\mathrm d</math>는 <math>K</math>-[[선형 변환]]이다.
** <math>\mathrm d\circ \mathrm d = 0</math>
** <math>\mathrm d(ab) = (\mathrm da)b + (-)^{\deg a} a\mathrm db</math>이다. 여기서 <math>a</math>는 동차 성분이다.
** <math>\deg(\mathrm da) = 1+\deg a</math>. 여기서 <math>a</math>는 동차 성분이다.
이는 다음 조건을 추가로 만족시켜야 한다.
* 표준 사영 <math>(\operatorname{Sym}(V^*),\mathrm d) \to (K,0)</math>는 [[미분 등급 대수]]의 [[준동형]]이다.
(만약 이 조건을 생략한다면, 굽은 L<sub>∞</sub>-대수{{llang|en|curved L<sub>∞</sub>-algebra}}의 개념을 얻는다.)

=== 두 정의 사이의 관계 ===
이 두 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 우선, 괄호 <math>[-,-,\dotsc,-]_\bullet</math>를 통한 정의에서, <math>A</math>의 임의의 기저
:<math>A = \operatorname{Span}_K\{t_i\}_{i\in I}</math>
를 잡자. 그 쌍대 기저는
:<math>A^* = \operatorname{Span}_K\{t^i\}_{i\in I}</math>
이며, 또한
:<math>\deg t^i = \deg t_i + 1</math>
로 놓자. 그렇다면,
:<math>\mathrm d \colon t^i \mapsto -\sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}t^i([t_{i_1},\dotsc,t_{i_n}]_n) t^{i_1}  t^{i_2} \dotsm t^{i_n}</math>
이다. 이 경우, 멱영 조건
:<math>\mathrm d^2 = 0</math>
을 전개하고 등급별로 분해하면, 괄호에 대한 조건들과 동치임을 알 수 있다.

== 예 ==
=== 미분 등급 리 대수 ===
{{본문|미분 등급 리 대수}}
L<sub>∞</sub>-대수 <math>\mathfrak g</math>에서, 만약 오직 2항 이하 괄호만이 0이 아닌 경우, 이는 [[미분 등급 리 대수]]를 이룬다. 즉, 이 경우
:<math>[a]_1 = \mathrm da</math>
:<math>[a,b]_2 = [a,b]</math>
:<math>[a,b,\dotsc,]_k = 0\qquad(k\ge3)</math>
로 놓으면, <math>(\mathfrak g,\mathrm d,[-,-])</math>가 만족시켜야 하는 항등식들은 [[미분 등급 리 대수]]의 정의와 일치한다. 즉, 3항 이상의 괄호들이 모두 0이라면, 2항 괄호의 [[야코비 항등식]]이 정확히 성립한다.

특히, 만약 추가로 <math>[-]_1 = \mathrm d = 0</math>일 경우, 이는 등급 [[리 초대수]]를 이루며, 만약 모든 등급이 짝수라면 이는 등급 [[리 대수]]를 이룬다.

=== 리 <math>n</math>-대수 ===
L<sub>∞</sub>-대수에서, 모든 생성원의 등급이 <math>\{0,1,\dotsc,n\}</math>에 속하는 경우를 '''리 <math>n</math>-대수'''라고 한다. 이 경우,
:<math>n \ge \deg [a_1,\dotsc,a_k]_k \ge k-2 </math>
이므로,
:<math>[-,\dotsc,-]_k = 0 \qquad(k> n+2)</math>
이다.

예를 들어, <math>n=1</math>일 경우, 오직 1항 · 2항 · 3항 연산만이 자명하지 않다.

특히, <math>n=0</math>인 경우, 1항 연산 또한 등급에 의하여 0이 되므로, 이 개념은 [[리 대수]]의 개념과 [[동치]]이다.

=== 거스틴해버 대수 ===
{{본문|거스틴해버 대수}}
모든 [[거스틴해버 대수]]는 L<sub>∞</sub>-대수를 이룬다.

== 같이 보기 ==
* [[A∞-대수]]
* [[미분 등급 대수]]
* [[바탈린-빌코비스키 대수]]
* [[단체 리 대수]]
* [[호흐실트 호몰로지]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=L-infinity-algebra}}
* {{nlab|id=super L-infinity algebra|title=Super L-infinity algebra}}

[[분류:대수 구조]]
[[분류:호모토피 이론]]