K3 곡면 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]과 [[미분기하학]]에서 '''K3 곡면'''(K3曲面, {{llang|en|K3 surface}})은 [[원환면]]이 아닌 2차원 [[칼라비-야우 다양체]]이다.

== 정의 ==
'''K3 곡면'''은 복소수체 위의 [[비특이 대수다양체|비특이]] [[대수 곡면]] 가운데, [[표준 선다발]]이 자명하며 2차원 [[아벨 다양체]]가 아닌 것이다.

[[복소수체]]가 아닌 다른 [[체 (수학)|체]]에 대해서도 K3 곡면을 정의할 수 있다.

K3 곡면 <math>X</math> 위에 복소수 [[선다발]] <math>L</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면 이 선다발에 대응하는 [[인자 (대수기하학)|인자]]는 [[대수 곡선]]으로서 종수 <math>g</math>가 다음과 같다.
:<math>c_1(L)^2=2g-2</math>
여기서 <math>c_1(L)</math>은 <math>L</math>의 [[천 특성류]]이다. 이와 같이, 종수 <math>g</math>의 선다발을 갖춘 K3 곡면 <math>(X,L)</math>을 '''종수 <math>g</math>의 K3 곡면'''이라고 한다.

=== K3 다양체 ===
[[미분기하학]]에서, 콤팩트 [[단일 연결]] 복소수 2차원 [[칼라비-야우 다양체]]를 '''K3 다양체'''({{llang|en|K3 manifold}})라고 한다. 모든 K3 곡면(에 대응되는 [[켈러 다양체]])은 K3 다양체이다. 반대로, 일부 K3 다양체는 ([[고다이라 매장 정리]] 따위로 인하여) [[복소수체]] 위의 [[대수 곡선]]을 이루지만, 일반적 K3 다양체는 복소수 [[대수다양체]]가 아니다.

== 성질 ==
=== 위상수학적 성질 ===
[[복소수체]]에서, 모든 K3 곡면(또는 K3 다양체)은 서로 [[미분 동형]]이다. 즉, 복소수 K3 곡면은 4차원 [[매끄러운 다양체]]로서 유일하다.

복소수 K3 곡면의 정수 계수를 가진 [[특이 호몰로지]]는 꼬임(torsion)을 갖지 않는다.<ref>{{웹 인용|제목=Lectures on K3 surfaces|이름=D.|성=Huybrechts|url=http://www.math.uni-bonn.de/people/huybrech/K3Global.pdf}}</ref>

K3 곡면의 [[교차 형식]]은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Intersection}(\operatorname{K3})=2(-E_8)\oplus3H</math>
:<math>H=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}</math>
:<math>E_8=\begin{pmatrix}
2&1\\
1&2&1\\
&1&2&1\\
&&1&2&1\\
&&&1&2&1&&1\\
&&&&1&2&1\\
&&&&&1&2&\\
&&&&1&&&2&\\
\end{pmatrix}</math>
<math>E_8</math>은 [[단순 리 군]] [[E₈|E<sub>8</sub>]]의 [[근계]] 격자인 [[유니모듈러 격자]]이다.

이에 따라, K3 곡면의 [[베티 수]]는 다음과 같다.
:<math>b_0(\operatorname{K3})=1</math>
:<math>b_1(\operatorname{K3})=0</math>
:<math>b_2^+(\operatorname{K3})=3</math>
:<math>b_2^-(\operatorname{K3})=8\cdot2+3=19</math>
:<math>b_3(\operatorname{K3})=0</math>
:<math>b_4(\operatorname{K3})=1</math>

K3 곡면의 [[호모토피 군]]은 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|제목=Homotopy groups and periodic geodesics of closed 4-manifolds|이름=Samik|성=Basu|이름2=Somnath|성2=Basu|arxiv=1303.3328|날짜=2015|저널=International Journal of Mathematics|권=26|호=8|쪽=1550059|doi=10.1142/S0129167X15500597|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem A}}
:<math>\pi_0(\operatorname{K3})=0</math>
:<math>\pi_1(\operatorname{K3})=0</math>
:<math>\pi_2(\operatorname{K3})=\mathbb Z^{22}</math>
:<math>\pi_3(\operatorname{K3})=\mathbb Z^{252}</math>
:<math>\pi_4(\operatorname{K3})=\mathbb Z^{3520}\oplus(\mathbb Z/2)^{42}</math>
:<math>\pi_k(\operatorname{K3})=\pi_k\left(\operatorname{\#}^{21}(\mathbb S^2\times\mathbb S^3)\right)\qquad(k\ge3)</math>

=== 심플렉틱 기하학적 성질 ===
일반적 K3 다양체는 [[대수 곡선]]이 아니며, 정칙 곡선은 [[상수 함수]]밖에 존재하지 않는다. 따라서, K3 곡면의 [[양자 코호몰로지]]는 특이 코호몰로지와 일치한다.<ref>{{저널 인용|제목=A mathematical theory of quantum cohomology|이름=Yongbin|성=Ruan|이름2=Gang|성2=Tian|url=https://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214457234|mr=1366548|zbl=0860.58005|저널=Journal of Differential Geometry|권=42|호=2|날짜=1995-09|쪽=259–367|언어=en}}</ref>{{rp|348, Example 8.4}}

=== 대수기하학적 성질 ===
복소수 K3 곡면은 [[칼라비-야우 다양체]]이며,<ref>{{저널 인용 | last=Siu | first=Y. T. | 저자링크=시우얌통 | title=Every K3 surface is Kähler | doi=10.1007/BF01393829 | mr =707352 | zbl = 557.32004 | bibcode = 1983InMat..73..139S | year=1983 | journal=Inventiones Mathematicae | volume=73 | issue=1 | pages=139–150 | 언어=en}}</ref> [[원환면]]이 아닌 유일한 복소 2차원 ([[실수]] 4차원) 콤팩트 [[칼라비-야우 다양체]]이다. [[SU(2)]]=[[심플렉틱 군|USp(2)]]이므로, K3 곡면은 [[초켈러 다양체]]이다. K3 곡면은 [[고다이라 차원]]이 0이며, 그 [[호지 수]]는 다음과 같다.
:{| style="text-align: center"
|-
| || || 1
|-
| || 0 || || 0
|-
| 1 || || 20 || || 1
|-
| || 0 || || 0
|-
| || || 1
|}

=== 모듈라이 공간 ===
K3 다양체는 57개의 [[복소구조]] 모듈라이와 1개의 [[켈러 다양체|켈러]] 모듈라이를 가진다. 여기서 57=3×19개의 [[복소구조]] 모듈라이는 다음과 같이 해석할 수 있다. K3 곡면의 2차 [[베티 수]]는 22인데, 그 중 3개는 [[호지 쌍대]]에 대하여 고윳값이 +1인 2차 [[조화 형식]]으로, 19개는 고윳값이 −1인 2차 조화 형식으로 나타낼 수 있다. [[복소구조]] 모듈라이의 변화는 2차 코호몰로지 동치류들 사이의 [[선형 변환]]으로 나타낼 수 있으므로, [[복소구조]] 모듈라이 공간은 대략 [[동차 공간]]
:SO(3,19)/(SO(19)×SO(3))
의 꼴로 나타낼 수 있다. 이 [[동차 공간]]의 차원은 19×3이다.

좀 더 정확히 말하면, K3의 [[복소구조]] 모듈라이 공간은 다음과 같은 [[오비폴드]]다.
:SO(3,19;ℤ)\SO(3,19)/(SO(19)×SO(3))
K3의 유일한 켈러 모듈라이는 K3의 크기를 나타낸다. 즉, K3의 총 모듈라이 공간은
:ℝ<sup>+</sup>×(SO(3,19;ℤ)\SO(3,19)/(SO(19)×SO(3)))
이다.

== 예 ==
다음과 같은 [[사영 대수다양체]]들은 K3 곡면을 이룬다.
* 3차원 [[복소수 사영 공간]] 속의 4차 곡면. 이 경우, 사영 공간으로부터 유도되는 선다발의 종수는 3이다.
* 4차원 [[복소수 사영 공간]]에서, [[2차 초곡면]]과 3차 초곡면의 [[교집합]]. 이 경우, 사영 공간으로부터 유도되는 선다발의 종수는 4이다.
* 5차원 [[복소수 사영 공간]]에서, 세 개의 [[2차 초곡면]]들의 교집합. 이 경우, 사영 공간으로부터 유도되는 선다발의 종수는 5이다.

이 밖에도, 다음과 같이 K3 곡면을 얻을 수 있다.
* [[사영 평면]] <math>\mathbb{CP}^2</math> 속의 비특이 6차 [[대수 곡선]] <math>C\subset\mathbb{CP}^2</math>을 따라 두 겹 [[피복 공간]]을 취하면, K3 곡면을 얻는다. 이 경우, 사영 평면으로부터 유도되는 선다발의 종수는 2이다.
* 2차원 [[아벨 다양체]] <math>A</math>에서, <math>a\mapsto-a</math>에 대한 [[몫공간]]을 취한 것을 '''쿠머 곡면'''({{llang|en|Kummer surface}})이라고 한다. 쿠머 곡면의 최소 분해({{llang|en|minimal resolution}})는 K3 곡면을 이룬다.

== 응용 ==
K3 곡면은 비교적 다루기 쉬운 [[칼라비-야우 다양체]]이므로, [[끈 이론]]을 [[축소화]]할 때 쓰인다.<ref>{{저널 인용|제목=K3 surfaces and string duality|이름=Paul S.|성=Aspinwall|arxiv=hep-th/9611137 | bibcode=1996hep.th...11137A|날짜=1996|언어=en}}</ref> K3에 축소화한 끈 이론에는 다음과 같은 이중성들이 존재한다.
* (타원 다발 구조를 갖춘) K3에 축소화한 [[F이론]] = [[원환면|T<sup>2</sup>]]에 축소화한 [[잡종 끈 이론]]
* K3에 축소화한 [[M이론]] = [[원환면|T<sup>3</sup>]]에 축소화한 [[잡종 끈 이론]]
* K3에 축소화한 ⅡA종 끈 이론 = [[원환면|T<sup>4</sup>]]에 축소화한 [[잡종 끈 이론]]
* K3×S<sup>1</sup>에 축소화한 ⅡB종 끈 이론 = [[원환면|T<sup>5</sup>]]에 축소화한 [[잡종 끈 이론]]

특히, K3 곡면의 모듈러스들을 [[M이론]]-[[잡종 끈 이론]] 이중성을 사용하여 해석할 수 있다. SO(''n'',16+''n'',ℤ)\SO(''n'',16+''n'')/(SO(''n'')×SO(16+''n'')는 T<sup>''n''</sup>에 축소화한 잡종 끈 이론의 모듈라이이다. (이는 잡종 끈 이론의 보손 정의({{llang|en|bosonic construction}})에서 사용하는 [[격자]]의 모듈라이다.) 켈러 모듈러스는 잡종 끈 이론의 [[딜라톤]]에 해당한다.

== 역사와 어원 ==
[[앙드레 베유]]가 1958년에 명명하였다.<ref>{{서적 인용 | last=Weil | first=André | 저자링크=앙드레 베유 | title=Scientific works. Collected papers | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90330-9 | mr=537935 | year=1958 | volume= II | chapter=Final report on contract AF 18(603)-57 | pages=390–395, 545–547 | 언어=fr }}</ref>{{rp|546}} 베유는 "K3"라는 이름을 다음과 같이 설명하였다.
{{인용문|
보고서 제2부에서는 이런 [[켈러 다양체]]를 "K3"라고 부르겠다. 이는 [[에른스트 쿠머|쿠머]] · [[에리히 켈러|켈러]] · [[고다이라 구니히코|고다이라]]와 [[카슈미르]]의 아름다운 [[K2 산]]을 기리기 위한 것이다.
<br />{{lang|fr|Dans la seconde partie de mon rapport, il s’agit des variétés kählériennes dites K3, ainsi nommées en l’honneur de Kummer, Kähler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire.}}}}
여기서 [[에른스트 쿠머]]와 [[에리히 켈러]], [[고다이라 구니히코]]는 모두 이름의 머릿글자가 "K"인 세 명의 유명한 [[대수기하학|대수기하학자]]들이다.

== 같이 보기 ==
* [[테이트 추측]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|장=Moduli spaces of K3 surfaces and complex ball quotients|이름=Igor V.|성=Dolgachev|이름2=Shigeyuki|성2=Kondō |arxiv=math/0511051|bibcode=2005math.....11051D|mr=2306149|zbl=1124.14032| doi=10.1007/978-3-7643-8284-1_3|제목=
Arithmetic and Geometry Around Hypergeometric Functions. Lecture Notes of a CIMPA Summer School held at Galatasaray University, Istanbul, 2005|위치=[[바젤|Basel]]|출판사=Birkhäuser|총서=Progress in Mathematics|권=260|날짜=2007|쪽=43–100}}
* {{서적 인용|제목=Arithmetic and geometry of K3 surfaces and Calabi–Yau threefolds|총서=Fields Institute Communications|권=67|issn=1069-5265|성=Laza|이름=Radu|이름2=Matthias|성2=Schütt|이름3=Noriko|성3=Yui|isbn=978-1-4614-6402-0|출판사=Springer|url=https://springer.com/book/978-1-4614-6402-0|날짜=2013-05|언어=en|doi=10.1007/978-1-4614-6403-7}}
* {{저널 인용|arxiv=1012.4155|bibcode=2010arXiv1012.4155G|이름=V.|성=Gritsenko|이름2=K.|성2=Hulek|이름3=G.K.|성3=Sankaran|날짜=2011|제목=Moduli of K3 surfaces and irreducible symplectic manifolds|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=alg-geom/9502005|제목=Mirror symmetry for lattice polarized K3 surfaces|이름=Igor V.|성=Dolgachev|bibcode=1995alg.geom..2005D|날짜=1995|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=K3-surface|first=A.N.|last=Rudakov}}
* {{nlab|id=K3 surface}}
* {{nlab|id=K3-spectrum}}
* {{nlab|id=duality between F-theory and heterotic string theory|title=Duality between F-theory and heterotic string theory}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/186119/what-are-the-higher-homotopy-groups-of-a-k3-suface|제목=What are the higher homotopy groups of a K3 suface?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/119899/mirror-symmetry-for-hyperkahler-manifold|제목=Mirror symmetry for hyperkahler manifold|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:끈 이론]]
[[분류:곡면]]
[[분류:복소곡면]]
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