Horofunction 문서 원본 보기

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수학에서, '''horofunction'''은 [[완비 거리 공간]] ''X ''위에서 정의된 [[함수]]로, X의 거리 함수의 극한이다. [[미하일 레오니도비치 그로모프]]가 [[부스만 함수]]를 일반화하여 소개하였다.

== 정의 ==
(X,d)를 완비 거리 공간이라고 하고, <math>o\in X</math>를 원점이라고 하자. 그러면 고정된 <math>x\in X</math>에 대하여, 다음과 같은 거리 함수를 정의할 수 있다.

: <math>d_x(y) = d(x,y)-d(y,o)</math>

이러한 <math>d_\bullet:~X\to C(X),~x\mapsto d_x</math>는 <math>C(X)</math>에 [[균등 노름]]을 주었을 때 [[등장사상]]이 되고, 이를 '''쿠라토프스키 매장'''이라고 한다.

<math>C' = C(X)/\{\text{constant functions}\}</math>라는 몫공간을 생각하면, X의 유계집합에서 균등수렴하는 위상을 얻는다. 이제 <math>C(X)\to C'</math>의 사영을 취하면, 원점 <math>o</math>에 상관없는 매장 <math>X \to C'</math>을 얻는다.

''X''를 [[가산 콤팩트 공간]]이라고 하자. <math>\overline X_h</math>를''X''의 <math>C'</math>에서의 [[폐포 (수학)|폐포]]라 하고, '''horofunction 콤팩트화''' (horofunction compactification)라 부른다. 또한 그 경계<math>\partial_h X = \overline  X_h \setminus X</math>를 ''X''의 '''horofunction 경계''' (horofunction boundary, horoboundary)라 한다. <math>h \in C(X)</math> 중에서 <math>C(X)->C'</math>이라는 매장을 통해서 horofunction 경계로 들어가는 함수들, 즉 horofunction 컴팩트화를 할 때 추가되는 함수들을 '''horofunction'''한다. <math>h^{-1}(-\infty, c)\in X</math>를 '''열린 horoball''', <math> h^{-1}(c)</math>를'''horosphere'''라 한다.

[[분류:함수와 사상]]