H-보충 경계 문서 원본 보기

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[[위상수학]]에서 '''h-보충 경계'''(h-補充境界, {{llang|en|h-cobordism|에이치 코보디즘}})는 양끝과 [[호모토피 동치]] 관계에 있는 보충 경계이다. 5차원 이상의 다양체를 분류하는 도구로 쓰인다.

== 정의 ==
<math>\mathcal C</math>가 (위상) [[다양체]] · {{임시링크|조각적 선형 다양체|en|Piecewise linear manifold}} · [[매끄러운 다양체]]의 범주 가운데 하나라고 하자. 그리고 두 <math>n</math>차원 <math>\mathcal C</math>-다양체 <math>M</math>, <math>N</math> 사이의 [[보충 경계]] <math>(W,\iota_M,\iota_N)</math>이 주어졌다고 하자. (그러므로 <math>W</math>는 <math>(n+1)</math>차원 <math>\mathcal C</math>-다양체가 된다.)
:<math>\iota_M\colon M\hookrightarrow W</math>
:<math>\iota_N\colon N\hookrightarrow W</math>
만약 <math>\iota_M</math>과 <math>\iota_N</math> 각각이 모두 [[호모토피 동치]]일 경우, <math>(W,\iota_M,\iota_N)</math>을 '''h-보충 경계'''라고 한다.

== h-보충 경계 정리 ==
h-보충 경계는 다음과 같은 '''h-보충 경계 정리'''(h-補充境界定理, {{llang|en|h-cobordism theorem}})가 성립하기 때문에 중요한 의미를 가진다.

{{인용문|'''h-보충 경계 정리'''

<math>n\ge5</math> 차원의 두 [[단일 연결]] <math>\mathcal C</math>-다양체 <math>M</math>과 <math>N</math> 사이의 h-보충 경계 <math>(W,\iota_M,\iota_N)</math>이 존재한다고 하자.

이 때, <math>(M\times[0,1], M\times\{0\}, N\times\{1\}) \mapsto (W, \iota_M (M), \iota_N (N))</math>으로 각각 보내는 <math>\mathcal C</math>-[[동형]]이 존재한다.

특히, <math>M</math>과 <math>N</math>이 서로 <math>\mathcal C</math>-동형이다.}}

즉, 5차원 이상 [[단일 연결]] 다양체의 경우, (주어진 범주에서의) h-보충 경계의 존재는 (주어진 범주에서의) 동형과 같다.

=== 증명의 골자 ===

주어진 <math>(n+1)</math>차원 보충 경계 <math>W</math>에 [[모스 함수]] <math>f</math>를 줄 수 있다. 그 임계점의 순서를 잘 바꿔서 모스 지표가 오름차순이 되도록 함수 <math>f'</math>를 만들 수 있다.
: <math>\forall i,j: x_i < x_j \implies \operatorname{ind}_{f'}(x_i) < \operatorname{ind}_{f'}(x_j)</math>
다시 말해 <math>M</math>에 차원의 오름차순대로 여러 개의 손잡이를 붙여 <math>N</math>을 만들 수 있다는 것이다.

한편, <math>M</math>이 <math>W</math>의 [[변형 수축]]이라는 것을 이용해서 대수위상적인 조작을 가하면, 한 손잡이가 다른 손잡이의 경계가 되도록 모든 손잡이들끼리 짝지을 수 있다. (<math>\partial{h_i^{k+1}} = h_j^k</math>)

<math>\partial{h_i^{k+1}} = h_j^k</math>인 손잡이 <math>h_i^{k+1}</math>와 <math>h_j^k</math>는 {{임시링크|휘트니 매장|en|Whitney embedding theorem}}을 이용해서 기하학적인 입사점(incidence point)이 정확히 한 개가 되도록 변형시킬 수 있다.

<math>\partial{h_i^{k+1}} = h_j^k</math>이며 서로의 입사점이 정확히 하나인 <math>h_i^{k+1}</math>와 <math>h_j^k</math>에 다음과 같은 작업을 가한다.
* <math>2 \le k \le n-2</math>일 경우, 서로를 매끄럽게 상쇄시킨다.
* <math>k = 0, n</math>일 경우, 양 쪽을 한 번에 매끄럽게 소멸시킨다.
* <math>k = 1</math>일 경우, <math>W</math>가 단일 연결이라는 사실과 휘트니 매장을 사용해 1-손잡이를 3-손잡이로 바꿀 수 있다. 그렇게 하면 2-손잡이와 3-손잡이의 짝이 되므로, 위에서 한 것처럼 상쇄시킨다.

이렇게 하면 <math>W</math>에 있었던 모든 손잡이가 사라지므로 <math>M\times[0,1]</math>과 동형이 된다.

=== 저차원 다양체 ===

4차원 이하의 다양체에서는 [[휘트니 매장]]을 사용할 수 없다. 다시 말해, 4차원 이하의 다양체 안에 매장된 임의의 <math>S^1</math>를 경계로 하며 자기 자신과 교차하지 않는 매장 <math>D^2 \hookrightarrow W</math>가 존재하리라는 보장이 없다.

4차원 h-보충 경계 정리의 경우 {{임시링크|캐슨 손잡이|en|Casson handle}}를 써서 위상적인 h-보충 경계 정리를 증명할 수 있지만, 이는 매끄러운 구조를 보존하지 못한다. 매끄러운 4차원 다양체의 경우 {{임시링크|아크불루트의 병마개|en|Akbulut cork}}와 같은 반례가 존재한다.

저차원의 다양체의 h-보충 경계 정리에 대해서는 다음이 알려져 있다.

* 4차원 h-보충 경계 정리: 위상 다양체의 경우 성립하지만, 조각적 선형 또는 [[매끄러운 다양체]]의 경우 성립하지 않는다. 한편 3차원 이하에서는 위상 · 조각적 선형 · 매끄러운 다양체 범주 각각이 서로 동치이므로 이런 구분이 필요하지 않다.
* 3차원 h-보충 경계 정리: 4차원 [[초구]]가 비표준 매끄러운 구조를 갖는지 여부와 동치이며, 이는 {{임시링크|일반화된 푸앵카레 추측|en|Generalized Poincaré conjecture}}으로 유명한 난제이다.
* 2차원 h-보충 경계 정리: <math>M</math>과 <math>N</math>이 모두 구면(<math>S^2</math>)인 경우만 보이면 충분하다. [[그리고리 페렐만]]이 증명한 3차원 [[푸앵카레 추측]]에 따라 참이다.
* 1차원 h-보충 경계 정리: 1차원 [[단일 연결]] 다양체는 항상 [[축약 가능 공간|축약 가능]]하므로 참이다.
* 0차원 h-보충 경계 정리: h-보충 경계는 닫힌 선분이 유일하므로 자명하게 참이다.

== 성질 ==

=== 푸앵카레 추측과의 관계 ===

<math>n-1</math>차원 <math>\mathcal C</math> 다양체에 대해 h-보충 경계 정리가 성립할 경우, <math>n</math>차원 <math>\mathcal C</math> 다양체에 대한 {{임시링크|일반화된 푸앵카레 추측|en|Generalized Poincaré conjecture}}을 유도할 수 있다.
: <math>M^n</math>이 구 <math>S^n</math>과 호모토피 동형이라면, 서로 <math>\mathcal C</math>-동형이다.

[[스티븐 스메일]]은 5차원 이상의 h-보충 경계 정리를 이용해 6차원 조각적 선형 다양체에 대한 푸앵카레 추측을 증명하였고, 약간의 보조정리를 추가해서 5차원 조각적 선형 다양체에 대한 푸앵카레 추측도 증명하였다.<ref name="Smale1960"/>

=== s-보충 경계 정리 ===
[[단일 연결]]이 아닌 경우, 다음과 같은 '''s-보충 경계 정리'''(s-補充境界定理, {{llang|en|s-cobordism theorem}})가 성립한다. <math>n\ge5</math>차원의 <math>\mathcal C</math>-다양체 <math>M</math>, <math>N</math> 사이의 h-보충 경계 <math>(W,\iota_M,\iota_N)</math>가 주어졌다고 하자. '''s-보충 경계 정리'''에 따르면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\iota_M</math>이 {{임시링크|단순 호모토피 동치|en|Simple-homotopy equivalence}}이다. 다시 말해, 그 {{임시링크|화이트헤드 꼬임|en|Whitehead torsion}}이 0이다.
* <math>W</math>는 <math>M\times[0,1]</math>과 <math>\mathcal C</math>-[[동치]]이다.

== 역사 ==
[[파일:Stephen Smale 2008 (re-scanned).jpg|섬네일|[[스티븐 스메일]]]]
역사적으로 1차원과 2차원 다양체의 분류는 간단했지만, 3차원과 4차원 다양체의 분류는 매우 어렵다는 것이 밝혀졌다. 이후 수학자들은 5차원 이상의 다양체는 이보다 더 복잡할 것으로 생각하고, 3·4차원의 분류에 주력하였다.

1960년대 초에 [[스티븐 스메일]]은 h-보충 경계의 개념 및 h-보충 경계 정리를 발표하였고, 이를 사용하여 5차원 조각적 선형 다양체에 대한 {{임시링크|일반화된 푸앵카레 추측|en|Generalized Poincaré conjecture}}을 증명하였다.<ref name="Smale1960">{{저널 인용|성=Smale|이름=S.|저자링크=스티븐 스메일|제목=Generalized Poincaré's conjecture in dimensions greater than four|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1961-09_74_2/page/391|저널=The Annals of Mathematics|권=74|쪽=391-406|날짜=1961|issn=0003-486X|doi=10.2307/1970239|jstor=1970239|mr=0137124|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=S.|성=Smale|저자링크=스티븐 스메일|제목=On the structure of manifolds|url=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1962-04_84_2/page/n188|저널= American Journal of Mathematics|권= 84 |날짜=1962|쪽= 387–399|jstor=2372978|doi=10.2307/2372978|mr=0153022|언어=en}}</ref> 이로서 5차원 이상의 다양체는 [[수술 이론]]으로 비교적 간단하게 다룰 수 있다는 것이 밝혀졌고, 다양체 이론에서는 ‘중간 차원’인 3·4차원이 가장 어렵다는 사실이 알려졌다. 이 공로로 스메일은 1966년 [[필즈상]]을 수상하였다. ‘h-보충 경계’라는 이름에서 ‘h’는 [[호모토피]]({{llang|en|homotopy}})의 영명의 머릿글자이다.

1982년 [[마이클 프리드먼]]이 {{임시링크|캐슨 손잡이|en|Casson handle}}를 이용해 4차원 h-보충 경계 정리를 증명했다.<ref>{{인용| last=Freedman | first=Michael Hartley |authorlink=마이클 프리드먼| title=The topology of four-dimensional manifolds | url=http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214437136 | mr=679066 | year=1982 | journal=Journal of Differential Geometry | issn=0022-040X | volume=17 | issue=3 | pages=357–453}}</ref> 한편 [[사이먼 도널드슨]]은 h-보충 경계 정리가 4차원 [[매끄러운 다양체]] 사이에서는 실패한다는 것을 밝혔다.<ref>{{인용| last1=Donaldson | first1=S. K. | title=An application of gauge theory to four-dimensional topology | url=http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214437665 | mr=710056 | year=1983 | journal=Journal of Differential Geometry | issn=0022-040X | volume=18 | issue=2 | pages=279–315}}</ref>

s-보충 경계 정리는 [[배리 메이저]] · {{임시링크|존 로버트 스톨링스 2세|en|John R. Stallings}} · {{임시링크|데니스 바든|en|Dennis Barden}}이 독자적으로 증명하였다. ‘s-보충 경계 정리’라는 이름에서 ‘s’는 {{임시링크|단순 호모토피 동치|en|Simple-homotopy equivalence}}({{llang|en|simple homotopy equivalence}})의 영명의 머릿글자이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=H-cobordism}}
* {{매스월드|id=h-Cobordism|title=h-cobordism}}
* {{매스월드|id=h-CobordismTheorem|title=h-cobordism theorem}}

[[분류:미분위상수학]]