G2 다양체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{DISPLAYTITLE:G<sub>2</sub> 다양체}}
[[미분기하학]]에서 '''''G''<sub>2</sub> 다양체'''는 [[G₂|''G''<sub>2</sub>]]에 포함된 [[홀로노미|홀로노미 군]]을 갖는 7차원 [[리만 다양체]]이다. [[군 (수학)|군]] <math>G_2</math>는 5개의 예외적 단순 리 군 중 하나이다. 이는 [[팔원수]]의 [[자기 동형 사상|자기동형사상 군]], 또는 동등하게 8차원 [[스핀 표현|스피너 표현]]에서 [[스피너]]를 보존하는 [[직교군|특수 직교 군]] <math>\mathrm{SO}(7)</math>의 진 부분 군, 또는 마지막으로 [[일반선형군|일반 선형 군]] <math>\mathrm{GL}(7)</math> 결합적 형식인 비축퇴 3-형식 <math>\phi</math>을 보존하는 부분군으로 정의된다. 그러면 [[호지 쌍대]] <math>\psi=*\phi</math>는 평행 4-형식, 즉 공결합 형식이 된다. 이러한 미분 형식은 리세 하베이 및 H. 블레인 로슨<ref>{{인용|first1=Reese|last1=Harvey|first2=H. Blaine|last2=Lawson|author-link2=H. Blaine Lawson|title=Calibrated geometries|journal=[[Acta Mathematica]]|volume=148|year=1982|pages=47&ndash;157|doi=10.1007/BF02392726|mr=0666108|doi-access=free}}</ref>의 의미에서 [[측정 기하학|측정]]이며 따라서 3차원 및 4차원 부분 다양체의 특수한 경우를 정의한다.

== 성질 ==
모든 <math>G_2</math> 다양체는 7차원 [[리치 평탄]] [[방향 (다양체)|유향]] [[스핀 다양체]]이다. 또한 <math>G_2</math>와 같은 홀로노미를 갖는 모든 콤팩트 다양체는 유한 [[기본군]], 0이 아닌 첫 번째 [[폰트랴긴 특성류]], 0이 아닌 세 번째 및 네 번째 [[베티 수]]를 갖는다.

== 역사 ==
<math>G_2</math>가 특정 리만 7-다양체의 홀로노미군이라는 추측은 1955년 [[마르셀 베르제]]의 분류 정리에 의해 처음 제안되었으며, 이는 나중에 1962년 [[제임스 해리스 사이먼스|짐 사이먼스]]가 제시한 단순화된 증명과 일치했다. 당시에 해당 다양체의 예시가 단 하나도 발견되지 않았지만, 에드몬드 보난은 그러한 다양체가 존재한다면 평행 3형식과 평행 4형식을 모두 가질 것임을 보여줌으로써 유용한 기여를 했다. 그리고 그것은 필연적으로 리치 평탄이 될 것이다.<ref>{{인용|first=Edmond|last=Bonan|author-link=Edmond Bonan|title=Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin(7)|journal=[[Comptes Rendus de l'Académie des Sciences]]|volume=262|year=1966|pages=127&ndash;129}}.</ref>

<math>G_2</math> 홀로노미를 갖춘 7-다양체의 최초 국소적 사례는 마침내 1984년경 로버트 브라이언트가 구성했으며, 그 존재에 대한 그의 완전한 증명은 1987년에 발표 되었다.<ref>{{인용|last=Bryant|first=Robert L.|author-link=Robert Bryant (mathematician)|title=Metrics with exceptional holonomy|journal=[[Annals of Mathematics]]|issue=2|volume=126|year=1987|pages=525–576|doi=10.2307/1971360|jstor=1971360}}</ref> 다음으로, 1989년에 브라이언트와 사이먼 살라몬이 <math>G_2</math> 홀로노미를 갖춘 완비(그러나 여전히 콤팩트하지는 않은) 7-다양체를 구성했다.<ref>{{인용|last1=Bryant|first1=Robert L.|author-link1=Robert Bryant (mathematician)|first2=Simon M.|last2=Salamon|title=On the construction of some complete metrics with exceptional holonomy|journal=[[Duke Mathematical Journal]]|volume=58|year=1989|issue=3|pages=829–850|doi=10.1215/s0012-7094-89-05839-0|mr=1016448}}.</ref> <math>G_2</math> 홀로노미를 갖춘 최초의 콤팩트  7-다양체는 1994년에 도미닉 조이스가 구성하였다. 콤팩트 <math>G_2</math> 다양체는 특히 물리학 문헌에서 종종 "조이스 다양체"로 알려져 있다.<ref>{{인용|first=Dominic D.|last=Joyce|author-link=Dominic Joyce|title=Compact Manifolds with Special Holonomy|series=Oxford Mathematical Monographs|publisher=[[Oxford University Press]]|isbn=0-19-850601-5|year=2000}}.</ref> 2013년에 M. Firat Arikan, 조현주, 세마 살루르는 스핀 구조와  <math>G_2</math> -구조를 가진 다양체는 호환 가능한 버금 접촉 계량 구조를 허용함을 보였고, 명시적인 호환 가능한 버금 접촉 구조는 <math>G_2</math> -구조를 가진 다양체에 대해 구성되었다.<ref name="arikanetal">{{인용|first1=M. Firat|last1=Arikan|first2=Hyunjoo|last2=Cho|first3=Sema|last3=Salur|author3-link=Sema Salur|title=Existence of compatible contact structures on <math>G_2</math>-manifolds|journal=[[Asian Journal of Mathematics]]|issue=2|volume=17|year=2013|pages=321–334|doi=10.4310/AJM.2013.v17.n2.a3|arxiv=1112.2951|s2cid=54942812}}</ref> 같은 논문에서는 특정 종류의 <math>G_2</math>-다양체는 접촉 구조를 허용한다.

2015년에 Alessio Corti, 마크 하스킨스, 요하네스 노르드스트룀 및 토마소 파치니가 얻은 콤팩트 <math>G_2</math> 다양체의 새로운 구성은 [[사이먼 도널드슨]]이 제안한 붙이기 아이디어와 원통형 끝이 있는 [[칼라비-야우 다양체]]를 구성하기 위한 새로운 대수적 기하학 및 해석적 기법을 결합하여, 미분동형사상 기준으로 새로운 종류에 해당하는 수만 개의 예들을 생성했다.<ref>{{저널 인용|제목=G2-manifolds and associative submanifolds via semi-Fano 3-folds|저널=[[Duke Mathematical Journal]]|성=Corti|이름=Alessio|저자링크=Alessio Corti|성2=Haskins|이름2=Mark|url=http://opus.bath.ac.uk/44698/1/g2m_duke_accepted.pdf|연도=2015|권=164|호=10|쪽=1971–2092|doi=10.1215/00127094-3120743|성3=Nordström|이름3=Johannes|성4=Pacini|이름4=Tommaso}}</ref>

== 물리학과의 연결 ==
이러한 다양체는 [[끈 이론]]에서 중요하다. 그들은 원래의 [[초대칭]]을 원래 양의 1/8로 깨뜨린다. 예를 들어, [[M이론|M-이론]]은 다음과 같이 [[축소화]]된다. <math>G_2</math> 다양체는 N=1 초대칭을 갖는 실 4차원(11-7=4) 이론으로 이어진다. 결과적으로 생성된 저에너지 유효 [[초중력]]은 단일 초중력 [[초다중|초다중항]], 즉, <math>G_2</math> 다양체의 세 번째 [[베티 수]]와 동일한 개수의 [[Chiral supermultiplet|키랄 초다중항]] 및 두 번째 베티 수와 동일한 수의 <math>U(1)</math> 벡터 초다중항을 포함한다. 최근에는 버금 접촉 구조(Sema Salur et al.에 의해 구성됨)가 <math>G_2</math> 기하학에서 중요한 역할을 하는 것으로 나타났다.<ref>{{저널 인용|제목=Almost contact structures on manifolds with a G2 structure|성=de la Ossa|이름=Xenia|성2=Larfors|이름2=Magdalena|날짜=2021|arxiv=2101.12605|성3=Magill|이름3=Matthew}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[스핀(7)-다양체]]
* [[칼라비-야우 다양체]]

== 참고 문헌 ==
<references />

== 더 읽어보기 ==
* {{인용|last1=Becker|first1=Katrin|first2=Melanie|last2=Becker|author-link2=Melanie Becker|first3=John H.|last3=Schwarz|year=2007|title=String Theory and M-Theory : A Modern Introduction|publisher=Cambridge University Press|chapter=Manifolds with G<sub>2</sub> and Spin(7) holonomy|pages=433–455|isbn=978-0-521-86069-7|postscript=.}}
* {{인용|last1=Fernandez|first1=M.|last2=Gray|first2=A.|title=Riemannian manifolds with structure group G<sub>2</sub>|journal=Ann. Mat. Pura Appl.|volume=32|year=1982|pages=19&ndash;845|ref=none|doi=10.1007/BF01760975|s2cid=123137620|doi-access=free}}.
* {{인용|first=Spiro|last=Karigiannis|title=What Is . . . a ''G''<sub>2</sub>-Manifold?|journal=AMS Notices|volume=58|issue=4|pages=580–581|year=2011|url=https://www.ams.org/notices/201104/rtx110400580p.pdf|ref=none}}.

[[분류:다양체 상의 구조]]
[[분류:리만 기하학]]
[[분류:미분기하학]]