G₂ 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:DynkinG2.svg|섬네일|G<sub>2</sub>의 [[딘킨 도표]]]]
[[리 군론]]에서 '''G<sub>2</sub>'''는 가장 작은 [[복소수]] 예외적 [[단순 리 군]]이다.<ref>{{서적 인용|성=Adams|이름=John Frank|제목=Lectures on exceptional Lie groups|출판사=[[시카고 대학교|University of Chicago]] Press|기타=Chicago Lectures in Mathematics|isbn=978-0-226-00526-3|mr=1428422|날짜=1996-12|url=http://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/L/bo3629778.html|언어=en|확인날짜=2013년 3월 17일|보존url=https://web.archive.org/web/20120908024218/http://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/L/bo3629778.html|보존날짜=2012년 9월 8일|url-status=dead}}</ref><ref name="Yokota">{{저널 인용|제목=Exceptional Lie groups|이름=Ichiro|성=Yokota|arxiv=0902.0431|bibcode=2009arXiv0902.0431Y|날짜=2009-02|언어=en}}</ref> 14차원이고, 두 개의 [[단순근]]을 지니고, 두 개의 [[실수]] 형식([[콤팩트 공간|콤팩트]], 갈린)을 지닌다. 7차원 표현을 지닌다. 그 콤팩트 실수 형식은 [[팔원수]]의 [[자기 동형군]]이다.

== 정의 ==
G<sub>2</sub>는 여러 가지로 정의할 수 있다.

=== 팔원수를 통한 정의 ===
G<sub>2</sub>의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 실수 형식은 팔원수의 [[자기 동형군]]이다. 팔원수 대수 <math>\mathbb O</math>의 [[자기 동형]]은 다음을 만족하는 <math>\mathbb R</math>-[[선형 변환]] <math>\phi\colon\mathbb O\to\mathbb O</math>를 말한다.
:<math>\phi(a)\phi(b)=\phi(ab)</math>
팔원수 자기 동형군 <math>\operatorname{Aut}(\mathbb O)</math>는 G<sub>2</sub>의 컴팩트 실수 형식과 동형이라는 사실을 보일 수 있다. 이로부터, (<math>\phi(1)=1</math>이고, 팔원수 [[노름공간|노름]]을 보존하므로) G<sub>2</sub>의 컴팩트 형식은 [[특수직교군|SO(7)]]의 부분군임을 알 수 있고, 이에 따라 7차원 기본표현이 존재함을 알 수 있다.

=== SO(7) 스피너를 통한 정의 ===
7차원 공간 <math>\mathbb R^7</math> 위의 8차원 [[마요라나 스피너]]를 생각하자. 이 경우, 0이 아닌 임의의 [[마요라나 스피너]]에 대한, Spin(7)의 [[안정자군]]은 G<sub>2</sub>와 동형이다.

이 경우, 7차원에서 [[마요라나 스피너]]가 존재하는 계량 부호수는 (7,0), (4,3) 두 개 밖에 없다. 이들은 각각 G<sub>2</sub>의 콤팩트 형식 및 분할 형식을 정의한다.

=== 구를 통한 정의 ===
반지름의 비가 1:3인 두 [[구 (기하학)|구]]가 주어졌고, 더 작은 구가 더 큰 구 위에서 미끄러짐 또는 회전 없이 구른다고 하자. 이 경우, 두 구로 구성된 계의 무한소 대칭은 실수 리 대수 <math>\mathfrak g_{2(2)}</math>를 이룬다.<ref>{{저널 인용|제목=G<sub>2</sub> and the rolling distribution|이름=Gil|성=Bor|이름2=Richard|성2=Montgomery|arxiv=math/0612469|bibcode=2006math.....12469B|저널=L’Enseignement Mathématique |권= 55 |날짜=2009|호=2|쪽=157–196|mr=2541507|doi=10.4171/LEM/55-1-8 |언어=en}}</ref><ref name="BaezHuerta">{{저널 인용|제목=G<sub>2</sub> and the rolling ball|이름=John C.|성=Baez|이름2=John|성2=Huerta|arxiv=1205.2447|bibcode=2012arXiv1205.2447B|저널=Transactions of the American Mathematical Society|issn=0002-9947|권=366|날짜=2014|쪽=5257–5293|mr=3240924|doi=10.1090/S0002-9947-2014-05977-1 |언어=en}}</ref>

=== 실수 형식 ===
G<sub>2</sub>는 두 개의 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다 ([[군의 중심|중심]]이 없는 형태).
{| class="wikitable"
|-
! 기호 !! 다른 기호 !! 설명 !! [[기본군]] !! [[외부자기동형군]] !! [[사타케 도표]] !! [[보건 도표]]
|-
| G<sub>2(&minus;14)</sub> || || [[콤팩트 공간|콤팩트]] 형식 || [[자명군|1]] || [[자명군|1]] || <math>\bullet\Rrightarrow\bullet</math> || <math>\circ\Rrightarrow\circ</math>
|-
| G<sub>2(2)</sub> || GⅠ || 갈린(split) 형식 || <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math> || [[자명군|1]] || <math>\circ\Rrightarrow\circ</math>|| <math>\bullet\Rrightarrow\circ</math>
|}

== 성질 ==
=== 군론적 성질 ===
콤팩트 실수 형식 <math>G_2</math>의 [[군의 중심|중심]]은 자명하다.<ref name="Yokota"/>{{rp|Theorem 1.11.1}}

==== G<sub>2</sub>를 포함하는 군 ====
콤팩트 실수 형식 <math>G_2</math>는 <math>\operatorname{Spin}(7)</math>의 [[부분군]]이다. 이에 대한 [[동차 공간]]은 [[7차원 초구]]이다.<ref name="Baez">{{저널 인용|이름=John|성=Baez|제목=The octonions|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=39|호=2|쪽=145–205|날짜=2002|url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/|arxiv=math/0105155|bibcode=2001math......5155B|mr=1886087|doi=10.1090/S0273-0979-01-00934-X}} 오류 정정 {{저널 인용|doi=10.1090/S0273-0979-05-01052-9|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=42|호=2|날짜=2005|쪽=213–213|제목=Errata for "The octonions"|이름=John|성=Baez}}</ref>{{rp|§4.1}}
:<math>\operatorname{Spin}(7)/G_2\cong\mathbb S^7</math>

딘킨 도표로서, 이는 다음과 같이 Spin(7)=C<sub>3</sub> [[딘킨 도표]]를 접어서 얻을 수 있다.
:<math>{\bullet \Rightarrow \bullet \atop {\smallsetminus\atop\color{White}\bullet}\,\bullet}\qquad\to\qquad\bullet\Rrightarrow\bullet</math>

G<sub>2</sub>는 SO(7)의 부분군이 아니지만, G<sub>2</sub>는 [[SO(8)]]의 부분군이다.<ref name="Baez"/>{{rp|§4.1}} SO(8)의 딘킨 도표는 <math>\mathbb Z/3</math> 대칭을 가지는데, 이를 대칭에 따라서 접으면 G<sub>2</sub> 딘킨 도표를 얻는다.
:<math>\bullet\in\overset{\displaystyle\bullet}{\underset{\displaystyle\bullet}\bullet}\qquad\to\qquad{\bullet \Rightarrow \bullet \atop {\smallsetminus\atop\color{White}\bullet}\,\bullet}\qquad\to\qquad\bullet\Rrightarrow\bullet</math>

==== G<sub>2</sub>의 부분군 ====
<math>G_2</math>는 [[SU(3)]]<ref name="Yokota"/>{{rp|§1.5, §1.9}}와 [[SO(4)]]<ref name="Yokota"/>{{rp|§1.10}}를 부분군으로 갖는다. [[SU(3)]]에 대한 [[동차 공간]]은 [[6차원 초구]]이다.<ref name="Yokota"/>{{rp|Theorem 1.9.2}}
:<math>G_2/\operatorname{SU}(3)\cong\mathbb S^6</math>

<math>\operatorname{SU}(3)\le G_2</math>는 [[팔원수]]로서 다음과 같이 이해할 수 있다. 팔원수 대수 <math>\mathbb O</math>의 기저가 <math>\{1,e_1,e_2,\dots,e_7\}</math>이라고 하자. [[자기 동형]] <math>f\colon\mathbb O\to\mathbb O</math>가 주어졌을 때, 단위 허수 원소 <math>e_1</math>의 상 <math>f(e_1)</math>은 <math>\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{e_1,\dots,e_7\}</math> 속의 6차원 [[초구]] <math>\mathbb S^6</math>의 원소이다. 이 원소를 고르게 되면, 이는 <math>\mathbb O\cong\mathbb R^8</math> 위의 복소수 구조를 정의한다. 따라서, 나머지 6차원 공간 <math>(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1,e_1\})^\perp</math>의 자기 동형군은 <math>\mathbb R^6\cong\mathbb C^3</math>의 자기 동형군 <math>\operatorname{SU}(3)</math>가 된다. 즉, 다음과 같은 [[올다발]]을 얻는다.
:<math>\mathbb S^6\hookrightarrow G_2\twoheadrightarrow \operatorname{SU}(3)</math>
이는 [[딘킨 도표]]로도 이해할 수 있다. G<sub>2</sub>의 [[딘킨 도표]]에 꼭짓점 <math>\scriptstyle\otimes</math>을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, <math>\circ</math>로 표시한 꼭짓점을 제거하면 [[SU(3)]] [[딘킨 도표]]를 얻는다.
:<math>\bullet\Rrightarrow\circ\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet\Rrightarrow\circ\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet</math>

마찬가지로, G<sub>2</sub>의 [[SO(4)]] 부분군은 딘킨 도표로 이해할 수 있다. G<sub>2</sub>의 딘킨 도표에 꼭짓점 <math>\scriptstyle\otimes</math>을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, <math>\circ</math>로 표시한 꼭짓점을 제거하면 <math>\operatorname{SO}(4)</math> 딘킨 도표를 얻는다.
:<math>\circ\Rrightarrow\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\circ\Rrightarrow\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}\qquad\bullet</math>

갈린 실수 형식 <math>G_{2(2)}</math>의 극대 콤팩트 부분군은 <math>\operatorname{SO}(4)\cong(\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2))/(\mathbb Z/2)</math>이다. 그 2겹 [[범피복군]]은 행렬군으로 나타낼 수 없다.

=== 위상수학적 성질 ===
콤팩트 실수 형식 <math>G_2</math>는 14차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[매끄러운 다양체]]이다.

갈린 실수 형식 <math>G_{2(2)}</math>은 14차원 비콤팩트 [[연결 공간|연결]] 매끄러운 다양체이며, [[기본군]]은 2차 순환군이다.
:<math>\pi_1(G_{2(2)})\cong\mathbb Z/2</math>

콤팩트 형식의 15차 이하의 고차 호모토피 군은 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|제목=The homotopy groups of Lie groups of low rank|이름=Mamoru|성=Mimura|저널=Journal of Mathematics of Kyoto University|권=6|호=2|날짜=1967|쪽=131–176|doi=10.1215/kjm/1250524375|mr=206958|zbl=0171.44101|언어=en}}</ref>{{rp|132}}
:<math>\pi_3(G_2) = \operatorname{Cyc}(\infty)</math>
:<math>\pi_6(G_2) = \operatorname{Cyc}(3)</math>
:<math>\pi_8(G_2) = \operatorname{Cyc}(2)</math>
:<math>\pi_9(G_2) = \operatorname{Cyc}(6)</math>
:<math>\pi_{11}(G_2) = \operatorname{Cyc}(\infty)\oplus\operatorname{Cyc}(2)</math>
:<math>\pi_{14}(G_2) = \operatorname{Cyc}(168)\oplus\operatorname{Cyc}(2)</math>
:<math>\pi_{15}(G_2) = \operatorname{Cyc}(2)</math>
위에 수록되지 않은 15 이하의 차수의 [[호모토피 군]]은 [[자명군]]이다. 여기서 <math>\operatorname{Cyc}(k)</math>는 <math>k</math>차 [[순환군]]이다.

콤팩트 형식의 [[특이 코호몰로지]] 환은 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|제목=Sur l’homologie et la cohomologie des groupes de Lie compacts connexes|이름=Armand|성=Borel|저자링크=아르망 보렐|저널=American Journal of Mathematics|doi=10.2307/2372574|jstor=2372574|권=76|호=2|날짜=1954-04|쪽=273–342|언어=fr}}</ref>{{rp|327–328, Théorème 17.2}}<ref>{{웹 인용|url=http://math.uchicago.edu/~may/REU2012/REUPapers/Fung.pdf | 제목=The cohomology of Lie groups | 이름=Jun Hou|성=Fung|날짜=2012|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 12.14}}
:<math>\operatorname H^\bullet(G_2;\mathbb Z) \cong \frac{\mathbb Z\langle x_3,x_{11}\rangle}{(x_3x_{11}+x_{11}x_3,x_3^4,x_{11}^2,x_3^2x_{11},2x_3^2)}</math>
:<math>\deg x_i = i</math>
여기서 <math>\mathbb Z\langle\dotso\rangle</math>은 비가환 다항식환을 뜻한다.
즉, 각 등급별로 코호몰로지 군은 다음과 같다. (호몰로지 군은 [[푸앵카레 쌍대성]]으로 주어진다.)
:<math>\operatorname H^i(G_2;\mathbb Z) 
\cong \begin{cases}
\operatorname{Cyc}(\infty) & i\in\{0,3, 11,14\}\\
\operatorname{Cyc}(2) & i \in \{6,9\} \\
0 & i \in \{1, 2, 4,5,7,8,10,12,13\}
\end{cases}</math>

리 대수 <math>\mathfrak g_2</math>의 두 [[불변 다항식]]의 차수는 2와 6이다. 이들은 리 군의 코호몰로지 환의 생성원 <math>x_3</math>과 <math>x_{11}</math>에 대응된다. 2차 불변 다항식은 [[킬링 형식]]이며, 6차 불변 다항식 역시 구체적으로 알려져 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Casimir operators of the exceptional group G<sub>2</sub>|이름=A. M.|성=Bincer|이름2=K.|성2=Riesselmann|arxiv=hep-th/9306062|doi=10.1063/1.530293|저널=Journal of Mathematical Physics|권= 34|날짜=1993|쪽=5935–5941|언어=en}}</ref>

=== 근계 ===
[[파일:Root system G2.svg|섬네일|G<sub>2</sub>의 [[근계]].]]
<math>G_2</math>의 [[근계]]는 6개의 긴 근과 6개의 짧은 근으로 구성된다. 긴 근의 길이는 (통상적으로) <math>\sqrt2</math>이며, 짧은 근의 길이는 <math>\sqrt{2/3}</math>이다. 근계를 2차원 [[벡터]]로 쓰면 다음과 같다.
* 긴 근: <math>\sqrt2(\cos(2n\pi/6),\sin(2n\pi/6))</math>, <math>n=0,1,\dots,5</math>
* 짧은 근: <math>\sqrt{2/3}(\cos(2(n+1/2)\pi/6),\sin(2(n+1/2)\pi/6)</math>, <math>n=0,1,\dots,5</math>
<math>G_2</math>는 <math>B_3=\operatorname{Spin}(7)</math>의 부분군이므로, <math>B_3</math>의 3차원 근계의 부분 근계로도 나타낼 수 있다. 이 경우, 근은 다음과 같다.
{|
|
:(1,&minus;1,0), (&minus;1,1,0)
:(1,0,&minus;1), (&minus;1,0,1)
:(0,1,&minus;1), (0,&minus;1,1)
|
:(2,&minus;1,&minus;1), (&minus;2,1,1)
:(1,&minus;2,1), (&minus;1,2,&minus;1)
:(1,1,&minus;2), (&minus;1,&minus;1,2)
|}
이 가운데 [[단순근]]은 여러가지로 잡을 수 있다. 한 가지 방법은 다음과 같다.
:(0,1,&minus;1), (1,&minus;2,1)

그 [[바일 군]]은 [[정이면체군]] D<sub>6</sub>이다. 그 [[카르탕 행렬]]은 다음과 같다.
:<math>
\begin{pmatrix}
2&-3\\
-1&2
\end{pmatrix}
</math>

G<sub>2</sub>의 [[딘킨 도표]]는 아래와 같이 두 개의 꼭짓점으로 구성되며, 그 사이에 3겹 변이 존재한다.
:<math>\bullet\Rrightarrow\bullet</math>
G<sub>2</sub>의 [[아핀 딘킨 도표]]의 경우, 짧은 [[단순근]] 쪽에 새 근 <math>\scriptstyle\otimes</math>이 추가된다.
:<math>{\scriptstyle\otimes}-\bullet\Rrightarrow\bullet</math>

=== 표현론 ===
G<sub>2</sub>의 [[기약 표현]]의 차원은 다음과 같다 {{OEIS|A104599}}.
:1, 7, 14, 27, 64, 77 (두 개), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (두 개), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (두 개), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090&hellip;.
이 가운데 [[기본 표현]]은 '''7'''과 '''14'''이다. '''7'''은 G<sub>2</sub>의 허수 [[팔원수]] 위의 [[군의 작용|작용]]과 같으며, '''14'''는 [[딸림표현]]이다. 기본 표현들은 [[딘킨 도표]]의 꼭짓점에 다음과 같이 대응한다.
:<math>\underset{\mathbf{14}}\bullet\Rrightarrow\underset{\mathbf7}\bullet</math>

'''7'''과 '''14'''는 둘 다 실수 표현이다. 보다 일반적으로, G<sub>2</sub>의 [[바일 군]]은 원소 <math>v\mapsto-v</math>를 포함하며, 따라서 모든 표현은 스스로의 켤레와 동형이다. (위 목록에서 77, 2079 따위가 중복되는 것은 복소수 켤레와 상관없다.) <math>G_2</math>는 [[사원수]] 표현을 갖지 않으며, 모든 표현은 실수 표현이다.

Spin(7)의 [[기본 표현]] '''7''' 및 [[스피너]] 표현 '''8''' 및 [[딸림표현]] '''21'''은 G<sub>2</sub>의 표현으로 분해하였을 때, 다음과 같다.
:<math>\mathbf7_{\operatorname{Spin}(7)}\to\mathbf7_{G_2}</math>
:<math>\mathbf8_{\operatorname{Spin}(7)}\to\mathbf7_{G_2}\oplus\mathbf1_{G_2}</math>
:<math>\mathbf{21}_{\operatorname{Spin}(7)}\to\mathbf{14}_{G_2}\oplus\mathbf7_{G_2}</math>
G<sub>2</sub>의 표현을 부분군의 표현으로 분해하였을 때, 다음과 같다.
:<math>\mathbf7_{G_2}\to\mathbf3_{\operatorname{SU}(3)}\oplus\bar{\mathbf3}_{\operatorname{SU}(3)}\oplus\mathbf1_{\operatorname{SU}(3)}</math>
:<math>\mathbf{14}_{G_2}\to\mathbf8_{\operatorname{SU}(3)}\oplus\mathbf3_{\operatorname{SU}(3)}\oplus\bar{\mathbf3}_{\operatorname{SU}(3)}</math>
:<math>\mathbf7_{G_2}\to(\mathbf2,\mathbf2)_{\operatorname{SO}(4)}\oplus(\mathbf3,\mathbf1)_{\operatorname{SO}(4)}</math>
:<math>\mathbf{14}_{G_2}\to(\mathbf3,\mathbf1)_{\operatorname{SO}(4)}\oplus
(\mathbf1,\mathbf3)_{\operatorname{SO}(4)}\oplus(\mathbf4,\mathbf2)_{\operatorname{SO}(4)}</math>

=== 대수기하학적 성질 ===
[[슈발레 기저]]를 사용하여 정수 계수의 리 대수 <math>\mathfrak g_2(\mathbb Z)</math> 및 군 <math>G_2(\mathbb Z)</math>을 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 이는 임의의 [[가환환]] <math>R</math>에 대하여 [[대수군]]으로 정의할 수 있다.

특히, [[유한체]] <math>\mathbb F_q</math>에 대한 계수의 [[슈발레 군]] <math>G_2(\mathbb F_q)</math>의 크기는 다음과 같다.
:<math>|G_2(\mathbb F_q)|=q^6(q^6-1)(q^2-1)</math>
이는 <math>q\ne2</math>일 경우 유한 [[단순군]]을 이룬다. <math>q=2</math>일 경우, <math>G_2(\mathbb F_2)</math>는 단순군이 아니지만, 그 [[교환자 부분군]]은 [[부분군의 지표|지표]] 2의 [[정규 부분군]]이자 단순군이다.
:<math>G_2(\mathbb F_2)'\cong\operatorname{SU}(3;\mathbb F_3)</math>
:<math>|G_2(\mathbb F_2):G_2(\mathbb F_2)'|=2</math>
유한체 위의 G<sub>2</sub> 슈발레 군은 발견자 [[레너드 유진 딕슨]]<ref name="Dickson"/> 의 이름을 따 '''딕슨 군'''(Dickson群, {{llang|en|Dickson group}})이라고 불리기도 한다.<ref name="Dickson"/>

처음 몇 개의 G<sub>2</sub> 슈발레 군들의 크기는 다음과 같다. {{OEIS|A008914}}
:<math>|G_2(\mathbb F_2)|=12\,096</math>
:<math>|G_2(\mathbb F_3)|=4\,245\,696</math>
:<math>|G_2(\mathbb F_4)|\approx2.52\times10^8</math>

이 밖에도, G<sub>2</sub>는 [[체의 표수|표수]] 3의 체 위에서 추가 대칭을 갖는다. G<sub>2</sub> [[딘킨 도표]]
:<math>\bullet\Rrightarrow\bullet</math>
는 3겹 변에 화살표가 붙어 있어 대칭이 없지만, 표수 3의 체 위에서는 화살표의 방향이 사라져
:<math>\bullet\equiv\bullet</math>
가 되어, [[딘킨 도표]]가 추가 <math>\mathbb Z/2</math> 대칭을 갖기 때문이다. 특히 체의 크기가 <math>3^{2n+1}</math>의 꼴인 경우, 이 대칭을 체의 [[프로베니우스 자기 동형]]으로 뒤틀어 대수군 <math>{}^2G_2(\mathbb F_{3^{2n+1}})</math>을 정의할 수 있다. 이 군들은 발견자 [[이임학]]<ref name="Ree"/> 의 이름을 따 '''이임학 군'''(李林學群, {{llang|en|Ree group}})이라고 한다. 이 군들의 크기는 다음과 같다.
:<math>|{}^2G_2(\mathbb F_q)|= q^3(q^3+1)(q-1)\qquad(q=3^{2n+1})</math>
이들은 <math>q=3</math>인 경우를 제외하면 모두 [[유한 단순군]]을 이룬다. <math>q=3</math>일 경우 이는 단순군이 아니며, 다음과 같다.
:<math>{}^2G_2(\mathbb F_3)\cong\operatorname{Aut}(\operatorname{SL}(2;\mathbb F_8))</math>
그 [[교환자 부분군]]은 다음과 같은 [[부분군의 지표|지표]] 3의 [[단순군|단순]] 부분군이다.
:<math>{}^2G_2(\mathbb F_3)'\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb F_8)</math>
:<math>|{}^2G_2(\mathbb F_3):{}^2G_2(\mathbb F_3)'|=3</math>

== 응용 ==
G<sub>2</sub>는 [[리만 다양체]]의 [[홀로노미]]의 분류에 등장한다. 즉, G<sub>2</sub>를 [[홀로노미]] 군으로 가지는, [[대칭 공간]]이 아닌 7차원 리만 다양체가 존대한다. 이는 위와 같이 G<sub>2</sub>가 [[특수직교군|SO(7)]]의 부분군인 사실과 관련이 있다.

== 역사 ==
리 대수 <math>\mathfrak g_2</math>는 [[빌헬름 킬링]]이 복소수 [[단순 리 대수]]를 분류하면서 1887년 5월에 발견하였다.<ref name="Agricola">{{저널 인용|url=http://www.ams.org/notices/200808/tx080800922p.pdf|저널=Notices of the American Mathematical Society|날짜=2008-09|이름=Ilka|성=Agricola|권=55|호=8|제목=Old and new on the exceptional group ''G''<sub>2</sub>|쪽=922–929|zbl=1194.22023|issn=0002-9920|언어=en}}</ref><ref name="BaezHuerta"/> <math>G_2</math>의 콤팩트 형태는 프리드리히 엥겔({{llang|en|Friedrich Engel}})이 1900년 6월 11일 발표하였다.<ref name="Agricola"/><ref>{{저널 인용|url=http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015049033544;view=1up;seq=99|제목=Ein neues, dem linearen Komplexe analoges Gebilde|이름=Friedrich|성=Engel|저널=Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Classe|권=52|쪽=63–76|날짜=1900|언어=de}}</ref>

[[유한체]] 위의 G<sub>2</sub>는 [[레너드 유진 딕슨]]이 1905년에 발견하였다.<ref name="Dickson">{{저널 인용|성=Dickson|이름=Leonard Eugene|저자링크=레너드 유진 딕슨|날짜=1905-03|제목=A new system of simple groups|저널=Mathematische Annalen|권=60|호=1|쪽=137–150|doi=10.1007/BF01447497|jfm=36.0206.01|언어=en}}</ref> 표수가 3인 체 위의 뒤틀린 형태 <sup>2</sup>G<sub>2</sub>는 [[이임학]]이 1960년에 발견하였다.<ref name="Ree">{{저널 인용|성=Ree|이름=Rimhak|저자링크=이임학|날짜=1960|제목=A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (G<sub>2</sub>)|저널= Bulletin of the American Mathematical Society|권=66|쪽=508–510|doi=10.1090/S0002-9904-1960-10523-X|issn=0002-9904|mr=0125155|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[팔원수]]
* [[F₄|F<sub>4</sub>]]
* [[E₆|E<sub>6</sub>]]
* [[E₇|E<sub>7</sub>]]
* [[E₈|E<sub>8</sub>]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lie algebra, exceptional}}
* {{eom|title=Simple finite group}}
* {{매스월드|id=ChevalleyGroups|title=Chevalley groups}}
* {{매스월드|id=TwistedChevalleyGroups|title=Twisted Chevalley groups}}
* {{nlab|id=G2}}
* {{수학노트|title=리대수 g2의 유한차원 표현론}}
* {{웹 인용 | url=https://www.math.ubc.ca/~agyenge/thesis_mathmsc.pdf | 제목=On the topology of the exceptional Lie group ''G''<sub>2</sub> | 성=Gyenge | 이름=Ádám | 날짜=2011 | 언어=en }}{{깨진 링크|url=https://www.math.ubc.ca/~agyenge/thesis_mathmsc.pdf }}

[[분류:리 군]]