Fpqc 위상 문서 원본 보기

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{{소문자}}
[[층 (수학)|층]] 이론에서, '''fpqc 위상'''(fpqc位相, {{llang|en|fpqc topology}})은 [[스킴 (수학)|스킴]]의 [[범주 (수학)|범주]] 위에 정의되는 매우 섬세한 [[그로텐디크 위상]]이다. 이러한 섬세함에도 불구하고, fpqc 위상에서 다양한 [[내림 데이터|내림 이론]]을 전개할 수 있다.

== 정의 ==
=== fpqc 위상 ===
'''fpqc 사상'''({{llang|en|fpqc morphism}})은 다음 조건들을 만족시키는 [[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>이다.<ref name="Vistoli">{{저널 인용|성= Vistoli|이름=Angelo|제목=Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory|url= https://archive.org/details/arxiv-math0412512|날짜=2007|arxiv=math/0412512|bibcode=2004math.....12512V|언어=en}}</ref>{{rp|Definition 2.34}}
* [[전사 함수]]이다.
* [[평탄 사상]]이다.
* <math>Y</math>의 모든 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[열린집합]] <math>K_Y\subseteq Y</math>에 대하여, <math>f(K_X)=K_Y</math>가 되는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[열린집합]] <math>K_X\subseteq X</math>가 존재한다. (여기서 [[콤팩트 공간]]의 정의는 [[하우스도르프 공간|하우스도르프 조건]]을 포함하지 않는다.)
[[스킴 (수학)|스킴]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Sch}</math>는 모든 [[쌍대곱]]을 가지며, [[집합]]으로서 이는 [[분리합집합]]이다. (그러나 [[밂 (범주론)|밂]]은 일반적으로 존재하지 않는다.) 같은 [[공역]]을 갖는 스킴 사상들의 집합 <math>\{f_i\colon U_i\to U\}_{i\in I}</math>에 대하여, 만약 [[보편 성질]]에 의하여 존재하는 사상
:<math>f=\bigsqcup_{i\in I}f_i\colon\bigsqcup_{i\in I}U_i\to U</math>
이 fpqc 사상이라면, <math>\{f_i\}_{i\in I}</math>를 '''fpqc 덮개'''라고 한다. fpqc 덮개들은 <math>\operatorname{Sch}</math> 위의 [[그로텐디크 준위상]]을 이루며, 이로부터 유도되는 [[그로텐디크 위상]]을 '''fpqc 위상'''({{llang|en|fpqc topology}})이라고 한다.

=== fppf 위상 ===
같은 [[공역]]을 갖는 [[스킴 사상]]들의 집합 <math>\{f_i\colon U_i\to U\}_{i\in I}</math>에 대하여, [[보편 성질]]에 의하여 존재하는 사상
:<math>f=\bigsqcup_{i\in I}f_i\colon\bigsqcup_{i\in I}U_i\to U</math>
을 생각하자. 만약
* <math>f_i</math>가 각각 [[국소 유한 표시 사상]]이자 [[평탄 사상]]이며
* <math>f</math>가 [[전사 함수]]라면
<math>\{f_i\}_{i\in I}</math>를 '''fppf 덮개'''라고 한다.<ref name="Vistoli"/>{{rp|Example 2.32}} fppf 덮개들은 <math>\operatorname{Sch}</math> 위의 [[그로텐디크 준위상]]을 이루며, 이로부터 유도되는 [[그로텐디크 위상]]을 '''fppf 위상'''({{llang|en|fppf topology}})이라고 한다.

== 성질 ==
=== 위상의 비교 ===
모든 fppf 덮개는 fpqc 덮개이다. 따라서, fpqc 위상은 fppf 위상보다 더 섬세하다. 마찬가지로, fppf 위상은 [[에탈 위상]]보다 더 섬세하다. fpqc 위상에서 모든 [[표현 가능 준층]]이 [[층 (수학)|층]]을 이루므로, fpqc 위상은 [[표준 위상]]보다는 더 엉성하다.

fpqc 위상을 스킴의 범주 위에 흔히 사용되는 위상 가운데 가장 섬세한 것이며, fpqc 위상(및 그보다 더 엉성한 모든 위상)의 경우 [[준연접층]]에 대한 [[내림 이론|내림]]이 성립한다.<ref name="Vistoli"/>

=== 집합론적 문제 ===
fpqc 위상은 (더 엉성한 위상과 달리) 여러 집합론적 문제를 가진다. fppf 위상이나 [[에탈 위상]] 등의 경우, 주어진 스킴 <math>S</math> 위에, 다음 조건을 만족시키는 덮개들의 [[집합]] <math>\{\mathcal U_i\}_{i\in I}</math>이 존재한다.
* 임의의 <math>S</math>의 덮개에 대하여 그보다 더 섬세한 덮개 <math>\mathcal U_i</math>가 존재한다.
그러나 fpqc 위상의 경우 이 조건이 성립하지 않는다. 즉, 이러한 조건을 만족시키는 덮개들의 [[모임 (집합론)|모임]]은 일반적으로 [[고유 모임]]이다. 이에 따라, fpqc 위상 위의 [[준층]]의 층화는 일반적으로 존재하지 않는다.<ref>{{저널 인용|제목=Basically bounded functors and flat sheaves|이름=William C.|성=Waterhouse|날짜=1975|저널=Pacific Journal of Mathematics|권=57|호=2|쪽=597–610|doi=10.2140/pjm.1975.57.597|mr=0396578|zbl=
0316.14008|issn=0030-8730|언어=en}}</ref>{{rp|605, Theorem 5.5}}

== 어원 ==
"fpqc"라는 이름은 {{llang|fr|fidèlement plat et quasi-compact}}(충실하게 평탄하며 [[준콤팩트 함수|준콤팩트]])라는 뜻이다. 여기서 "충실하게 평탄"하다는 것은 [[전사 함수]]이자 평탄 사상이라는 것이다. 이름과 달리, fpqc 위상은 <math>\bigsqcup_if_i</math>가 [[준콤팩트 함수|준콤팩트]] [[전사 함수|전사]] 평탄 사상인 덮개로서 정의할 수 없다.<ref name="Vistoli"/>{{rp|§2.3.2}} 이러한 사상들로 [[그로텐디크 위상]]을 정의할 수는 있지만, 이 위상은 [[준표준 위상]]이 아니다 (즉, [[층 (수학)|층]]을 이루지 않는 [[표현 가능 준층]]이 존재한다).

"fppf"라는 이름은 {{llang|fr|fidèlement plat et de présentation finie}}(충실하게 평탄하며 [[유한 표시 사상|유한 표시]])라는 뜻이다. 이름과는 달리, 그 정의에서는 [[유한 표시 사상]] 대신 [[국소 유한 표시 사상]]을 사용한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=fpqc site}}
* {{nlab|id=fpqc topology}}
* {{nlab|id=fppf site}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/09/09/the-fpqc-topology/|제목=The fpqc topology|이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2010-09-09|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://hilbertthm90.wordpress.com/2013/06/05/whats-up-with-the-fppf-site/|제목=What’s up with the fppf site?|이름=Matt|성=Ward|날짜=2013-06-05|웹사이트=A Mind for Madness|언어=en|확인날짜=2016-06-02|보존url=https://web.archive.org/web/20161013031606/https://hilbertthm90.wordpress.com/2013/06/05/whats-up-with-the-fppf-site/|보존날짜=2016-10-13|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://pbelmans.wordpress.com/2013/12/31/the-fppf-topology-is-generated-by-zariski-coverings-and-surjective-finite-locally-free-morphisms/|이름=Pieter|성=Belmans|날짜=2013-12-31|제목=The fppf topology is generated by Zariski coverings and surjective finite locally free morphisms|웹사이트=On Music, Computing and Math|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://math.columbia.edu/~dejong/wordpress/?p=1297|제목=Comparing topologies|웹사이트=The Stacks Project Blog|이름=Johan|성=de Jong|날짜=2011-03-03|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/195165/what-is-the-purpose-of-the-flat-fppf-fpqc-topologies|제목=What is the purpose of the flat/fppf/fpqc topologies?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/15082/fpqc-covers-of-stacks/15269|제목=fpqc covers of stacks|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:층론]]
[[분류:스킴 이론]]