F-공간 문서 원본 보기

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[[함수해석학]]에서 '''F-공간'''은 다음을 만족하는 [[실수]] 또는 [[복소수]]가 같이 있는 [[거리 함수]]''d'' : ''V'' × ''V'' → '''R'''을 가지는 [[벡터 공간]] ''V''이다
# ''V''에서 스칼라곱은 ''d''와 '''R'''이나 '''C'''의 표준 거리 함수에 대해서 [[연속 함수#거리 공간간의 연속 함수|연속]]이다.
# ''V''에서 덧셈은 ''d''에 대해서 연속이다.
# 거리 함수는 [[평행이동 불변 거리 함수|평행이동 불변]]이다; 즉, ''V''의 모든 ''x'', ''y'' 그리고 ''a''에 대해서 ''d''(''x'' + ''a'', ''y'' + ''a'') = ''d''(''x'', ''y'')이 성립한다.
# 거리공간 (''V'', ''d'')는 [[완비성|완비적]]이다.

연산 ''x'' ↦ ||''x''|| := d(0,''x'')는 '''F-노름'''이라고 불린다, 그렇지만 일반적으로 F-노름은 완비일 필요는 없다. 평행이동 불변성에 의해서, 거리 함수는 F-노름에서 복원 가능하다. 따라서, 실 또는 복소 F-공간은 동등하게 F-노름을 가지는 실 또는 복소 벡터 공간이다.

몇몇의 저자는 이 공간을 ''[[프레셰 공간]]''이라고 부르지만, 보통 이 용어는 [[국소 볼록]] F-공간에 대해서 반대이다. 거리 함수는 F-공간의 구조의 일부일 필요가 있을수 도 있고 없을 수도 있다; 많은 저자는 이런 공간이 위의 속성을 만족시키는 방법으로 [[거리화 가능]] 할 것을 필요로 한다.

== 예시 ==

모든 [[바나흐 공간]]과 [[프레셰 공간]]은 F-공간이다. 특히, 바나흐 공간은 추가 조건 {{nowrap|''d''(''αx'', 0) {{=}} {{!}}α{{!}}⋅''d''(''x'', 0)}}을 만족하는 F-공간이다.<ref>Dunford N., Schwartz J.T. (1958). Linear operators. Part I: general theory. Interscience publishers, inc., New York. p. 59</ref>

{{nowrap|p ≥ 0}}일 때, [[Lp 공간|L<sup>p</sup> 공간]]은 F-공간이고 {{nowrap|p ≥ 1}}일 때는 국소 볼록이기 때문에 프레셰 공간이고 심지어는 바나흐 공간이다.

=== 예시 1 ===
<math>\scriptstyle L^\frac{1}{2}[0,\, 1]</math>은 F-공간이다. 이것은 연속 반노름과 연속 선형 범함수를 인정하지 않는다 — 이것은 자명한 [[쌍대 공간]]을 가진다.

=== 예시 2 ===
<math>\scriptstyle W_p(\mathbb{D})</math>를 모든 복소수 값을 가지는 다음의 [[테일러 급수]]의 공간이라고 두자:

:<math>f(z)=\sum_{n \geq 0}a_n z^n</math>

이것은 단위 디스크 <math>\scriptstyle \mathbb{D}</math>에서 다음을 만족한다:

:<math>\sum_{n}|a_n|^p < \infty</math>

그리고 ({{nowrap|0 < p < 1}}일 때) <math>\scriptstyle W_p(\mathbb{D})</math>는 [[p-노름]]을 가지는 F-공간이다:

:<math>\|f\|_p= \sum_{n}|a_n|^p \qquad (0 < p < 1)</math>

사실, <math>\scriptstyle W_p</math>은 [[준-바나흐 대수]]이다. 게다가, <math>\scriptstyle |\zeta| \;\leq\; 1</math>를 가지는 모든 <math>\scriptstyle \zeta</math>에 대해, 맵핑 <math>\scriptstyle f \,\mapsto\, f(\zeta)</math>은 <math>\scriptstyle W_p(\mathbb{D})</math>에서 유계 선형(곰셈의 범함수)이다.

== 같이 보기 ==

[[K-공간 (함수해석학)]]

== 각주 ==
{{각주}}

* {{인용|first=Walter|last=Rudin|authorlink=Walter Rudin|title=Real & Complex Analysis|publisher=McGraw-Hill|year=1966|isbn=0-07-054234-1}}

{{함수 해석학}}

{{전거 통제}}

[[분류:F-공간| ]]