E₈ 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Dynkin diagram E8.svg|섬네일|right|E<sub>8</sub>의 [[딘킨 도표]]]]
[[리 군론]]에서 '''E<sub>8</sub>'''은 복소수 예외적 [[단순 리 군]] 가운데 가장 큰 것이다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1605.01721|제목=''E''<sub>8</sub>, the most exceptional Lie group|이름=Skip|성=Garibaldi|doi=10.1090/bull/1540|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=53|호=4|날짜=2016|쪽=643–671|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|성=Adams|이름=John Frank|제목=Lectures on exceptional Lie groups|출판사=[[시카고 대학교|University of Chicago]] Press|기타=Chicago Lectures in Mathematics|isbn=978-0-226-00526-3|mr=1428422|날짜=1996-12|url=http://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/L/bo3629778.html|언어=en|확인날짜=2013년 3월 17일|보존url=https://web.archive.org/web/20120908024218/http://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/L/bo3629778.html|보존날짜=2012년 9월 8일|url-status=dead}}</ref><ref name="Yokota">{{저널 인용|제목=Exceptional Lie groups|이름=Ichiro|성=Yokota|arxiv=0902.0431|bibcode=2009arXiv0902.0431Y|날짜=2009-02|언어=en}}</ref> 다른 모든 예외적 단순 복소 [[리 군]]을 부분군으로 포함한다. 세 개의 실수 형식(컴팩트, 분해({{lang|en|split}}), 그리고 또다른 형식 하나)이 있다.

== 정의 ==
E<sub>8</sub>은 다양한 방법으로 정의할 수 있다.

=== SO(16)을 통한 정의 ===
E<sub>8</sub>의 [[리 대수]] <math>\mathfrak e_8</math>은 다음과 같이 정의될 수 있다.<ref>Green, Schwarz, and Witten, ''Superstring Theory'', 1987.''</ref> <math>\mathfrak e_8</math>의 고전적인 부분 리 대수 가운데 가장 큰 것은 <math>\mathfrak o(16)</math>이므로, 이를 써서 정의하자. 이 경우, <math>\mathfrak e_8 \supsetneq\mathfrak o(16)</math>에 의하여, <math>\mathfrak e_8</math>의 248차원 [[딸림표현]]은 <math>\mathfrak o(16)</math>의 <math>\textstyle\binom{16}2 = 120</math>차원 [[딸림표현]]과 <math>\mathfrak{so}(16)</math>의 <math>2^{16/2 - 1} = 128</math>차원 [[마요라나-바일 스피너]]로 분해된다. 즉, <math>\operatorname{Spin}(16)</math>의 스피너 공간을 <math>V</math>라고 할 때,
:<math>\mathfrak e_8 = \mathfrak{so}(16;\mathbb R) \oplus V</math>
가 된다.

구체적으로, <math>\mathfrak o(16)</math>의 생성원을 <math>J_{ij}</math>로 표현하자. [[스핀 군]] Spin(16)은 [[마요라나-바일 스피너]] <math>Q_a</math> 위에 다음과 같이 작용한다.
:<math>[J_{ij},J_{k\ell}]=\delta_{jk}J_{i\ell}-\delta_{j\ell}J_{ik}-\delta_{ik}J_{j\ell}+\delta_{i\ell}J_{jk}</math>
:<math>[J_{ij},Q_a] = \frac 14 (\gamma_i\gamma_j-\gamma_j\gamma_i)_{ab} Q_b,</math>
여기서 <math>\gamma_i</math>는 16차원 [[디랙 행렬]]이다.

이제, 스피너 사이의 교환자를 다음과 같이 정의한다.
:<math>[Q_a,Q_b]=\gamma^{[i}_{ac}\gamma^{j]}_{cb} J_{ij}</math>

이렇게 하면 교환자가 야코비 항등식을 만족함을 보일 수 있다. [[리 대수]]가 정의되면, 그 [[리 군]]은 리 대수의 [[자기 동형군]]으로 정의할 수 있다.

콤팩트 형식 대신, 다른 실수 형식도 위와 같이 정의될 수 있다. SO(16)의 총 10개의 실수 형식 (<math>\operatorname{SO}(0,16),\dotsc,\operatorname{SO}(8,8),\operatorname{SO}^*(16)</math>) 가운데, 128차원 마요라나-바일 스피너를 가질 [[필요 충분 조건]]은 부호수 <math>(p,q)</math>에 대하여 <math>p \equiv q \pmod8</math>인 것이다. 즉, 이 조건을 만족시키는 것은 <math>(p,q) \in \{ (0,16), \; (4,12),\; (8,8)\}</math> 밖에 없다. 로마자 부호로 이들은
:<math>\operatorname{SO}(16) = \mathsf D_{8(-120)}</math> (콤팩트)
:<math>\operatorname{SO}(4,12) = \mathsf D_{8(-24)}</math>
:<math>\operatorname{SO}(8,8) = \mathsf D_{8(8)}</math> (분할)
이며, 이들은 각각 E<sub>8</sub>의 세 실수 형식 E<sub>8(−248)</sub> (콤팩트), E<sub>8(−24)</sub>, E<sub>8(8)</sub> (분할)에 대응한다.

=== 기타 정의 ===
E<sub>8</sub>은 [[팔원수]]를 사용하여 정의할 수 있다.<ref name="Baez">{{저널 인용|이름=John|성=Baez|제목=The octonions|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=39|호=2|쪽=145–205|날짜=2002|url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/|arxiv=math/0105155|bibcode=2001math......5155B|mr=1886087|zbl=1026.17001|doi=10.1090/S0273-0979-01-00934-X|언어=en}} 오류 정정 {{저널 인용|doi=10.1090/S0273-0979-05-01052-9|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=42|호=2|날짜=2005|쪽=213–213|제목=Errata for "The octonions"|이름=John|성=Baez|언어=en}}</ref>{{rp|§4.6}}

15차원 [[초구]]를 사용한 구성 또한 알려져 있다.<ref>{{저널 인용|제목= A geometric construction of the exceptional Lie algebras F<sub>4</sub> and E<sub>8</sub>|이름=José|성=Figueroa-O’Farrill|doi=10.1007/s00220-008-0581-7|arxiv=0706.2829|bibcode=2008CMaPh.283..663F|저널=Communications in Mathematical Physics|권=283|호=3|쪽=663–674|언어=en|날짜=2008-11}}</ref>

=== 실수 형식 ===
E<sub>8</sub>은 세 개의 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다 ([[군의 중심|중심]]이 없는 형태).
{| class="wikitable"
|-
! 기호 !! 다른 기호 !! 설명 !! [[기본군]] !! [[외부자기동형군]] !! 극대 콤팩트 리 부분군 !! [[사타케 도표]] !! [[보건 도표]]
|-
| E<sub>8(&minus;248)</sub> || || [[콤팩트 공간|콤팩트]] 형식 || [[자명군|1]] || [[자명군|1]] || E<sub>8(&minus;248)</sub> || <math>\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet</math> ||<math>\circ-\circ-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\circ-\circ-\circ-\circ-\circ</math>
|-
| E<sub>8(8)</sub> || EⅧ || 갈린(split) 형식 || <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math> || [[자명군|1]] || PSpin(16) ||  <math>\circ-\circ-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\circ-\circ-\circ-\circ-\circ</math> || <math>\bullet-\circ-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\circ-\circ-\circ-\circ-\circ</math>
|-
| E<sub>8(&minus;24)</sub> || EⅨ || || <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math> || [[자명군|1]] || (E<sub>7</sub>×SU(2)) / (−1,−1)|| 
<math>\circ-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\circ-\circ-\circ</math>
|| <math>\circ-\circ-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\circ-\circ-\circ-\circ-\bullet</math>
|}

== 성질 ==
=== 대수적 성질 ===
E<sub>8</sub>의 주요 극대 부분군들은 다음을 들 수 있다.
*  <math>(E_7\times\operatorname{SU}(2))/(\mathbb Z/2)</math>.<ref name="Yokota"/>{{rp|§5.7}} 이는 E<sub>8</sub>의 <math>\mathbb Z/2</math> [[자기 동형]]에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다.  이는 E<sub>8</sub> [[딘킨 도표]]에서, <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표시한 꼭짓점을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다.
*:<math>\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\circ\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\circ-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad{\scriptstyle\otimes}</math>
*  <math>\operatorname{Spin}(16)/(\mathbb Z/2)</math>.<ref name="Yokota"/>{{rp|§5.7}} 이는 E<sub>8</sub>의 또다른 <math>\mathbb Z/2</math> [[자기 동형]]에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E<sub>8</sub> [[딘킨 도표]]에서, <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표시한 꼭짓점을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다.
*:<math>\circ-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad \circ-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}</math>
*  <math>(E_6\times\operatorname{SU}(3))/(\mathbb Z/3)</math>.<ref name="Yokota"/>{{rp|§5.10}} 이는 E<sub>8</sub>의 <math>\mathbb Z/3</math> [[자기 동형]]에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E<sub>8</sub> [[딘킨 도표]]에서, <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표시한 꼭짓점을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다.
*:<math>\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\circ-\bullet\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\circ-\bullet-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet\qquad\bullet-{\scriptstyle\otimes}</math>
*  <math>\operatorname{SU}(9)/(\mathbb Z/3)</math>.<ref name="Yokota"/>{{rp|§5.11}} 이는 E<sub>8</sub>의 또다른 <math>\mathbb Z/3</math> [[자기 동형]]에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E<sub>8</sub> [[딘킨 도표]]에서, <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표시한 꼭짓점을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다.
*:<math>\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}</math>
*  <math>(\operatorname{SU}(5)\times\operatorname{SU}(5))/(\mathbb Z/5)</math>.<ref name="Yokota"/>{{rp|§5.12}} 이는 E<sub>8</sub>의 <math>\mathbb Z/5</math> [[자기 동형]]에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E<sub>8</sub> [[딘킨 도표]]에서, <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표시한 꼭짓점을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다.
*:<math>\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\circ-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\circ-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet\qquad\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}</math>

=== 위상수학적 성질 ===
E<sub>8</sub>의 콤팩트 형식은 248차원 [[매끄러운 다양체]]이다. 그 [[호모토피 군]]은 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|제목=Homotopy groups of compact Lie groups E<sub>6</sub>, E<sub>7</sub> and E<sub>8</sub>|이름=Hideyuki|성=Kachi|url=http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118797372|저널=Nagoya Mathematical Journal|권=32|날짜=1968|쪽=109–139|mr=0233924|zbl=0159.24802|언어=en}}</ref>
:<math>\pi_3(E_8)\cong\pi_{15}(E_8)\cong\mathbb Z</math>
:<math>\pi_n(E_8)\cong0,\qquad n<15,n\ne3</math>

<math>\mathfrak e_8</math>의 [[불변 다항식]]의 차수는 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30이다. 즉, E<sub>8</sub>의 콤팩트 형식의 유리수 계수 코호몰로지 환은 3차 · 15차 · 23차 · 27차 · 35차 · 39차 · 47차 · 59차 생성원으로 생성되는 [[외대수]]이다.

=== 근계 ===
[[파일:4_21_t0_E6.svg|섬네일|right|E<sub>8</sub>의 8차원 근계를 2차원으로 사영한 것. E<sub>8</sub>의 240개의 근들은 [[고른 폴리토프]] 4<sub>21</sub>을 이룬다.]]
E<sub>8</sub>의 [[근계]]는 같은 길이의 240개의 근으로 구성된다. E<sub>8</sub>의 SO(16) 부분군을 사용하면, E<sub>8</sub> 근계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
* 다음과 같은 꼴의 <math>2\cdot\textstyle\binom82+8\cdot7=112</math>개의 근 (이는 SO(16) [[근계]]를 이룬다):
*:<math>(\pm1,\pm1,0,0,0,0,0,0)</math>의 모든 [[순열]] ([[복부호 동순]]일 필요 없음)
* 다음과 같은 꼴의 <math>2^8/2=128</math>개의 근 (이는 SO(16)의 '''128''' [[스피너]] 표현의 [[무게 (표현론)|무게]]를 이룬다):
*:<math>\left(\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12\right)</math> ([[복부호 동순]]일 필요 없음) 가운데, 음의 부호의 수가 짝수인 것들
E<sub>8</sub>의 240개의 근들은 8차원에 존재하는 [[고른 폴리토프]] 4<sub>21</sub>의 꼭짓점을 이룬다.

E<sub>8</sub>의 [[바일 군]]은 크기가 2<sup>14</sup>×3<sup>5</sup>×5<sup>2</sup>×7=696729600이며, 다음과 같이 표기할 수 있다.
:<math>\operatorname{Weyl}(E_8)\cong\operatorname O^+(8;\mathbb F_2)</math>
이는 2차 순환군 <math>\mathbb Z/2</math>를 크기가 174182400인 유일한 [[단순군]] <math>\operatorname{PS\Omega}^+(8;\mathbb F_2)</math>로 [[군의 확대|확대]]한 뒤, 다시 2차 순환군 <math>\mathbb Z/2</math>로 [[군의 확대|확대]]한 것이다.<ref name="atlas">{{서적 인용|last=Conway |first=John Horton |authorlink=존 호턴 콘웨이 |last2=Curtis |first2=Robert Turner |last3=Norton |first3=Simon Phillips |last4=Parker |first4=Richard A  |last5=Wilson |first5=Robert Arnott  |title=Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups |year=1985 |publisher=Oxford University Press |isbn=0-19-853199-0|언어=en}}</ref>{{rp|85}}

E<sub>8</sub>의 [[딘킨 도표]]는 다음과 같이 8개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변이 1겹이다 ({{llang|en|simply laced}}). 중앙의 꼭짓점에 붙은 3개의 "팔"의 길이는 각각 1, 2, 4이다.
:<math>\bullet-\bullet-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet</math>
E<sub>8</sub>의 [[아핀 딘킨 도표]]는 다음과 같이 9개의 꼭짓점으로 구성되며, 역시 모든 변이 1겹이다. 3개의 "팔" 가운데 가장 긴 팔에 <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표기한 꼭짓점이 추가된다.
:<math>\bullet-\bullet-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\scriptstyle\otimes</math>

=== 표현론 ===
E<sub>8</sub>의 [[기약 표현]]의 차원은 다음과 같다 {{OEIS|A121732}}.<ref name="Slansky">{{저널 인용|제목=Group theory for unified model building|이름=Richard|성=Slansky|저널=Physics Reports|doi=10.1016/0370-1573(81)90092-2|권=79|호=1|날짜=1981-12|쪽=1–128|bibcode=1981PhR....79....1S|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.126.1581&rep=rep1&type=pdf|언어=en}}</ref>{{rp|113, Table 53}}
:1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 79143000, 146325270, 203205000, 281545875, 301694976, 344452500, 820260000, 1094951000, 2172667860, 2275896000, 2642777280, 2903770000, 3929713760, 4076399250, 4825673125, 6899079264, 8634368000 (두 개가 있음), 12692520960&hellip;
E<sub>8</sub>의 [[바일 군]]은 <math>v\mapsto-v</math>를 포함하므로, E<sub>8</sub>은 복소수 표현을 갖지 않으며, 또한 E<sub>8</sub>의 모든 표현은 실수 표현이다. 즉, E<sub>8</sub>은 [[사원수]] 표현을 갖지 않는다.

E<sub>8</sub>의 [[기본 표현]]은 '''248''', '''3875''', '''30380''' , '''147250''', '''6696000''', '''2450240''', '''146325270''', '''6899079264'''이다. 이 가운데 가장 작은 '''248'''은 [[딸림표현]]이다. 기본 표현들은 [[딘킨 도표]]의 꼭짓점에 다음과 같이 대응한다.<ref name="Slansky"/>{{rp|112, Table 53}}
:<math>\mathbf{3875}-\mathbf{6696000}-\overset{{\displaystyle\mathbf{147250}\atop\displaystyle|}}{\mathbf{6899079264}}-\mathbf{146325270}-\mathbf{2450240}-\mathbf{30380}-\mathbf{248}</math>

E<sub>8</sub>의 표현들은 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다.<ref name="Slansky"/>{{rp|112, Table 53}}
:<math>\mathbf{248}_{E_8}\to(\mathbf{133},\mathbf1)_{E_7\times\operatorname{SU}(2)}\oplus(\mathbf1,\mathbf3)_{E_7\times\operatorname{SU}(2)}\oplus(\mathbf{56},\mathbf2)_{E_7\times\operatorname{SU}(2)}</math>
:<math>\mathbf{248}_{E_8}\to(\mathbf{78},\mathbf1)_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\mathbf1,\mathbf8)_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\mathbf{27},\mathbf3)_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\overline{\mathbf{27}},\overline{\mathbf3})_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}</math>
:<math>\mathbf{248}_{E_8}\to\mathbf{120}_{\operatorname{SO}(16)}\oplus\mathbf{128}_{\operatorname{SO}(16)}</math>
:<math>\mathbf{248}_{E_8}\to\mathbf{80}_{\operatorname{SU}(9)}\oplus\mathbf{84}_{\operatorname{SU}(9)}\oplus\overline{\mathbf{84}}_{\operatorname{SU}(9)}</math>
:<math>\mathbf{248}_{E_8}\to(\mathbf{24},\mathbf1)_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\mathbf1,\mathbf{24})_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\mathbf5,\overline{\mathbf{10}})_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\overline{\mathbf5},\mathbf{10})_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\mathbf{10},\mathbf5)_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\overline{\mathbf{10}},\overline{\mathbf5})_{\operatorname{SU}(5)^2}</math>

=== 대수기하학적 성질 ===
[[슈발레 기저]]를 사용하여 정수 계수의 리 대수 <math>\mathfrak e_8(\mathbb Z)</math> 및 군 <math>E_8(\mathbb Z)</math>을 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 이는 임의의 [[가환환]] <math>R</math>에 대하여 [[대수군]]으로 정의할 수 있다.

특히, [[유한체]] <math>\mathbb F_q</math>에 대한 계수의 [[슈발레 군]] <math>E_8(\mathbb F_q)</math>의 크기는 다음과 같다.
:<math>|E_8(\mathbb F_q)|=q^{120}(q^{30}-1)(q^{24}-1)(q^{20}-1)(q^{18}-1)(q^{14}-1)(q^{12}-1)(q^8-1)(q^2-1)</math>
이는 모든 유한체에 대하여 유한 [[단순군]]을 이룬다. 이 가운데 가장 작은 것들의 크기는 다음과 같다. {{OEIS|A008868}}
:<math>|E_8(\mathbb F_2)|\approx3.38\times10^{74}</math>
:<math>|E_8(\mathbb F_3)|\approx1.88\times10^{118}</math>
<math>|E_8(\mathbb F_2)|</math>는 이미 [[괴물군 (수학)|괴물군]]보다 더 크며, 이는<ref name="atlas"/> 에 수록된 마지막 군이다.

== 역사 ==
[[빌헬름 킬링]]이 1888년에 리 대수를 분류하는 도중 발견하였으나, 그 존재를 엄밀히 증명하지 않았다. [[엘리 카르탕]]이 1894년 박사 학위 논문<ref>{{저널 인용|이름=Élie|성=Cartan|저자링크=엘리 카르탕|제목=Sur la structure des groupes de transformations finis et continus|url=https://archive.org/details/surlastructured00bourgoog|출판사=Librairie Nony et C<sup>ie</sup>|날짜=1894|기타=[[파리 대학교]] 박사 학위 논문|jfm=25.0638.02|언어=fr}}</ref>에서 그 존재를 엄밀히 증명하였으며, E<sub>8</sub>이 세 실수 형식을 지님을 보였다.

== 응용 ==
[[잡종 끈 이론]]은 [[변칙 (물리학)|변칙]]을 피하기 위하여 Spin(32) 또는 E<sub>8</sub>×E<sub>8</sub>의 [[게이지 이론|게이지 군]]을 지닌다. 이 가운데 E<sub>8</sub>은 E<sub>6</sub>, 나아가 [[대통일 이론|대통일군]] [[특수직교군|SO(10)]]을 포함하므로 [[표준 모형]] 및 [[대통일 이론]]을 재현할 수 있다. 이를 [[축소화]]하면 두 E<sub>8</sub> 가운데 하나는 자연스럽게 E<sub>6</sub>로 깨지게 된다.

== 같이 보기 ==
* [[E₆|E<sub>6</sub>]]
* [[E₇|E<sub>7</sub>]]
* [[잡종 끈 이론]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lie algebra, exceptional}}
* {{eom|title=Simple finite group}}
* {{매스월드|id=ChevalleyGroups|title=Chevalley groups}}
* {{nlab|id=E8}}

[[분류:리 군]]