E₇ 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Dynkin diagram type E7.svg|섬네일|right|E<sub>7</sub>의 [[딘킨 도표]]]]
[[리 군론]]에서 '''E<sub>7</sub>'''은 복소수 예외적 [[단순 리 군]]의 하나이다.<ref>{{서적 인용|성=Adams|이름=John Frank|제목=Lectures on exceptional Lie groups|출판사=[[시카고 대학교|University of Chicago]] Press|기타=Chicago Lectures in Mathematics|isbn=978-0-226-00526-3|mr=1428422|날짜=1996-12|url=http://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/L/bo3629778.html|언어=en|확인날짜=2013년 9월 13일|보존url=https://web.archive.org/web/20120908024218/http://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/L/bo3629778.html|보존날짜=2012년 9월 8일|url-status=dead}}</ref><ref name="Yokota">{{저널 인용|제목=Exceptional Lie groups|이름=Ichiro|성=Yokota|arxiv=0902.0431|bibcode=2009arXiv0902.0431Y|날짜=2009-02|언어=en}}</ref> 133차원이며, 예외적 단순 리 군 가운데 [[E₈|E<sub>8</sub>]] 다음으로 두 번째로 크다.

== 정의 ==
E<sub>7</sub>은 여러 방법으로 정의할 수 있다.

=== 56차원 표현을 통한 정의 ===
E<sub>7</sub>은 충실한 56차원 실수 표현을 가지며, 따라서 다음과 같이 정의할 수 있다.<ref name="CremmerJulia">{{저널 인용|이름=Eugene|성=Cremmer|이름2=Bernard|성2=Julia|제목=The SO(8) supergravity|저널=Nuclear Physics B|권=159|호=1–2|날짜=1979-11|쪽=141–212|doi=10.1016/0550-3213(79)90331-6|url=http://ccdb5fs.kek.jp/cgi-bin/img_index?7904072|언어=en|확인날짜=2015년 9월 24일|보존url=https://web.archive.org/web/20150925103829/http://ccdb5fs.kek.jp/cgi-bin/img_index?7904072|보존날짜=2015년 9월 25일|url-status=dead}}</ref>{{rp|Appendix B}}<ref>{{저널 인용|arxiv=0804.1362|이름=Paulo Pires|성=Pacheco|이름2=Daniel|성2=Waldram|제목=M-theory, exceptional generalised geometry and superpotentials|언어=en}}</ref>{{rp|§B.1}}

<math>V</math>가 8차원 실수 [[벡터 공간]]이라고 하고, <math>W</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>W=\bigwedge^2V\oplus\bigwedge^2V^*</math>
이는 자연스럽게 [[심플렉틱 벡터 공간]]을 이룬다. 이 위에 다음과 같은 4차 형식을 정의하자.
:<math>q(v^{-,-},w_{-,-})=v^{ij}w_{jk}v^{kl}w_{li}-\frac14v^{ij}w_{ij}v^{kl}w_{kl}+\frac1{96}\left(\epsilon_{ijklmnpq}v^{ij}v^{kl}v^{mn}v^{pq}+\epsilon^{ijklmnpq}w_{ij}w_{kl}w_{mn}w_{pq}\right)</math>
그렇다면 [[심플렉틱 형식]]과 4차 형식 <math>q</math>를 보존하는 56차원 실수 [[선형 변환]]들의 부분군은 E<sub>7</sub>의 분할 형식 E<sub>7(7)</sub>과 동형이다.

=== 사원수 또는 팔원수를 사용한 정의 ===
[[한스 프로이덴탈]]은 [[팔원수]]를 사용한 E<sub>7</sub>의 구성을 제시하였다.<ref name="Baez">{{저널 인용|이름=John|성=Baez|제목=The octonions|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=39|호=2|쪽=145–205|날짜=2002|url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/|arxiv=math/0105155|bibcode=2001math......5155B|mr=1886087|doi=10.1090/S0273-0979-01-00934-X}} 오류 정정 {{저널 인용|doi=10.1090/S0273-0979-05-01052-9|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=42|호=2|날짜=2005|쪽=213–213|제목=Errata for “The octonions”|이름=John|성=Baez}}</ref>
이 밖에도, [[팔원수]]를 사용한 다른 구성<ref>{{저널 인용|성=Dray|이름=Tevian|성2=Manogue|이름2=Corinne A.|성3=Wilson|이름3=Robert A.|제목=A symplectic representation of E<sub>7</sub>|저널= Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae|권= 55|날짜=2014|호=3|쪽=387–399|url=http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/143814|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=E<sub>7</sub> groups from octonionic magic square|이름=Sergio L.|성=Cacciatori|이름2=Francesco|성2=Dalla Piazza|이름3=Antonio|성3=Scotti|arxiv=1007.4758 |언어=en}}</ref> 이나, [[사원수]]를 사용한 E<sub>7</sub>의 구성 또한 알려져 있다.<ref>{{저널 인용|제목=A quaternionic construction of E<sub>7</sub>|이름=Robert A.|성=Wilson|저널=Proceedings of the American Mathematical Society|권=142|날짜=2014|쪽=867–880|mr= 3148521|doi=10.1090/S0002-9939-2013-11838-1|issn=0002-9939|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Victor|성=Petrov|제목=A rational construction of Lie algebras of type ''E''<sub>7</sub>|arxiv=1309.7325|언어=en}}</ref>

=== Spin(12)를 통한 정의 ===
E<sub>7</sub>은 Spin(12)×SU(2)를 극대 부분군으로 가지므로, 이로부터 E<sub>7</sub>을 정의할 수 있다.<ref name="Yokota"/>{{rp|§4.11}} 구체적으로, E<sub>7</sub>의 [[딸림표현]] '''133'''은 Spin(12)×SU(2) 아래 [[딸림표현]] 및 ('''32''', '''2''')로 분해된다. 여기서 '''32'''는 Spin(12)의 [[바일 스피너]] 표현이다.

이 경우, A<sub>1</sub>의 가능한 실수 형식은 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>와 [[SU(2)]] 두 가지가 있다.
* 전자 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>의 경우, 정의 표현 '''2'''는 실수 표현이다. 따라서, Spin(12)의 표현 '''32''' 역시 실수 표현이어야 한다. 즉, 이는 [[마요라나-바일 스피너]]가 되어야 한다. 12차원에서, [[마요라나-바일 스피너]]가 존재하는 계량 부호수는 (10,2) 및 (6,6) 두 가지 밖에 없다. 이들은 각각 [[단순 리 대수]] D<sub>6(−26)</sub>⊕A<sub>1(1)</sub> 및 D<sub>6(6)</sub>⊕A<sub>1(1)</sub> (분할)에 해당한다. 이로부터, E<sub>7</sub>의 두 실수 형식 E<sub>7(−25)</sub> 및 E<sub>7(7)</sub> (분할)을 얻는다.
* 후자 [[SU(2)]]의 경우, 정의 표현 '''2'''는 사원수 표현이다. 즉, 이 경우 Spin(12)의 바일 스피너 역시 사원수 표현이어야 한다. 이러한 경우인 계량 부호수는 (12,0) 및 (8,4) 두 가지 밖에 없다. 이들은 각각 [[단순 리 대수]] D<sub>6(−66)</sub>⊕A<sub>1(−3)</sub> (콤팩트) 및 D<sub>6(−2)</sub>⊕A<sub>1(−3)</sub>에 해당한다. 이로부터, E<sub>7</sub>의 두 실수 형식 E<sub>7(−133)</sub> (콤팩트) 및 E<sub>7(−5)</sub>를 얻는다.

=== 실수 형식 ===
E<sub>7</sub>은 네 개의 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다 ([[군의 중심|중심]]이 없는 형태).
{| class="wikitable"
|-
! 기호 !! 다른 기호 !! 설명 !! [[기본군]] !! [[외부자기동형군]] !! [[사타케 도표]] !! [[보건 도표]]
|-
| E<sub>7(&minus;133)</sub> || || [[콤팩트 공간|콤팩트]] 형식 || <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math> || [[자명군|1]] || <math>\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet</math> || <math>\circ-\circ-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\circ-\circ-\circ-\circ</math>
|-
| E<sub>7(7)</sub> || EⅤ || 갈린(split) 형식 || <math>\mathbb Z/4\mathbb Z</math> || <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math> || <math>\circ-\circ-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\circ-\circ-\circ-\circ</math>|| <math>\circ-\circ-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\circ-\circ-\circ-\circ</math>
|-
| E<sub>7(&minus;5)</sub> || EⅥ || || [[클라인 4원군|<math>\mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/2\mathbb Z</math>]] || [[자명군|1]] || <math>\circ-\circ-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\circ-\bullet-\circ-\bullet</math> || <math>\bullet-\circ-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\circ-\circ-\circ-\circ</math>
|-
| E<sub>7(&minus;25)</sub> || EⅦ || || <math>\mathbb Z</math> || <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math> || <math>\circ-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\circ-\circ</math> || <math>\circ-\circ-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\circ-\circ-\circ-\bullet</math>
|}

== 성질 ==
=== 대수적 성질 ===
E<sub>7</sub>은 133차원의 [[리 군]]이다. ([[군의 중심|중심]]이 없는) 콤팩트 형식의 기본군은 <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math>이며, 자명하지 않은 [[외부자기동형사상]]을 가지지 않는다.

E<sub>7</sub>의 주요 극대 부분군은 다음과 같다.
* <math>(E_6\times\operatorname U(1))/(\mathbb Z/3)</math>.<ref name="Yokota"/>{{rp|§4.10}} 이는 E<sub>7</sub> [[딘킨 도표]]에서, 흰 색의 꼭짓점을 제거하여 얻는다.
*:<math>\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\circ\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet</math>
* <math>(\operatorname{Spin}(12)\times\operatorname{SU}(2))/(\mathbb Z/2)</math>.<ref name="Yokota"/>{{rp|§4.11}} 이는 E<sub>7</sub> [[딘킨 도표]]에서, <math>
\scriptstyle\otimes</math>로 표시한 꼭짓점을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다.
*:<math>\circ-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad {\scriptstyle\otimes}-\circ-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}\qquad\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet</math>
* <math>\operatorname{SU}(8)/(\mathbb Z/2)</math>.<ref name="Yokota"/>{{rp|§4.12}} 이는 E<sub>7</sub> [[딘킨 도표]]에서, <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표시한 꼭짓점을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다.
*:<math>\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad {\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet</math>
* <math>\left(\operatorname{SU}(6)\times\operatorname{SU}(3)\right)/(\mathbb Z/3)</math>.<ref name="Yokota"/>{{rp|§4.13}} 이는 E<sub>7</sub> [[딘킨 도표]]에서, <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표시한 꼭짓점을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다.
*:<math>\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\circ-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad {\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\circ-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet\qquad\bullet-\bullet</math>
E<sub>7</sub>은 [[E₈|E<sub>8</sub>]]의 부분군이다. 구체적으로, E<sub>8</sub>은 <math>(E_7\times\operatorname{SU}(2))/(\mathbb Z/2)</math> 부분군을 갖는다.<ref name="Yokota"/>{{rp|§5.7}} 이는 E<sub>8</sub> [[딘킨 도표]]에서, <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표시한 꼭짓점을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다.
:<math>\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\circ\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\circ-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad{\scriptstyle\otimes}</math>

=== 위상수학적 성질 ===
E<sub>7</sub>의 무중심 콤팩트 형식은 133차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[연결 공간|연결]] [[매끄러운 다양체]]이다. 그 [[호모토피 군]]은 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|제목=Homotopy groups of compact Lie groups ''E''<sub>6</sub>, ''E''<sub>7</sub> and ''E''<sub>8</sub>|이름=Hideyuki|성=Kachi|url=http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118797372|저널=Nagoya Mathematical Journal|권=32|날짜=1968|쪽=109–139|mr=0233924|zbl=0159.24802|언어=en}}</ref>
:<math>\pi_1(E_7)\cong\mathbb Z/2</math>
:<math>\pi_3(E_7)\cong\pi_{11}(E_7)\cong\mathbb Z</math>
:<math>\pi_n(E_7)\cong0,\qquad n<11,n\ne1,3</math>

<math>\mathfrak e_7</math>의 [[불변 다항식]]의 차수는 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18이다. 즉, E<sub>7</sub>의 콤팩트 형식의 유리수 계수 코호몰로지 환은 3차 · 11차 · 15차 · 19차 · 23차 · 27차 · 35차 생성원으로 생성되는 [[외대수]]이다.

=== 근계 ===
[[파일:Gosset 2 31 polytope.svg|섬네일|right|E<sub>7</sub>의 126개의 근들은 [[고른 폴리토프]] 2<sub>31</sub>을 이룬다.]]
E<sub>7</sub>의 [[근계]]는 126개의 7차원 벡터로 구성된다. E<sub>7</sub>의 SU(8) 부분군을 사용하여 8차원 벡터로 나타내면, 그 근들은 구체적으로 다음과 같다.
* 다음 <math>8\times7=56</math>개의 근 (이는 SU(8) [[근계]]를 이룬다):
*:<math>(1,-1,0,0,0,0,0,0)</math>의 모든 [[순열]]
* 다음 <math>\textstyle\binom84=70</math>개의 근 (이는 SU(8)의 '''70''' 표현의 [[무게 (표현론)|무게]]를 이룬다):
*:<math>(1/2,1/2,1/2,1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2)</math>의 모든 [[순열]]
이는 E<sub>7</sub>의 [[딸림표현]]의 분해
:<math>\mathbf{133}_{E_7}\to\mathbf{63}_{\operatorname{SU}(8)}\oplus\mathbf{70}_{\operatorname{SU}(8)}</math>
를 바탕으로 한 것이다. 여기서 '''70'''은 SU(8)에서, [[영 타블로]]
:<math>\begin{matrix}\square\\\square\\\square\\\square\end{matrix}</math>
에 대응하는 <math>\textstyle\binom84=70</math>차원 표현이다.

E<sub>7</sub>의 126개의 근들은 7차원에 존재하는 [[고른 폴리토프]] 2<sub>31</sub>을 이룬다. 이는 126개의 꼭짓점, 2016개의 변, 10080개의 정삼각형 면, 20160개의 [[정사면체]] 3차원 초면, 16128개의 4차원 초면, 4788개의 5차원 초면, 632개의 6차원 초면으로 구성된다.

E<sub>7</sub>의 [[바일 군]]의 크기는 <math>2^{10}\cdot3^4\cdot5\cdot7=293040</math>이다. 이는 2차 [[순환군]] <math>\mathbb Z/2</math>와 크기 1451520의 유일한 [[단순군]]의 [[직접곱]]이다. 후자는 <math>\operatorname{PSp}(6;\mathbb F_2)</math> 또는 <math>\operatorname{PS\Omega}(7;\mathbb F_2)</math>로 표기할 수 있다.<ref>{{서적 인용|last=Conway |first=John Horton |authorlink=존 호턴 콘웨이 |last2=Curtis |first2=Robert Turner |last3=Norton |first3=Simon Phillips |last4=Parker |first4=Richard A  |last5=Wilson |first5=Robert Arnott  |title=Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups |year=1985 |publisher=Oxford University Press |isbn=0-19-853199-0|언어=en}}</ref>{{rp|46}}
:<math>\operatorname{Weyl}(E_7)\cong(\mathbb Z/2)\times\operatorname{PSp}(6;\mathbb F_2)\cong(\mathbb Z/2)\times\operatorname{PS\Omega}(7;\mathbb F_2)</math>

E<sub>7</sub>의 [[딘킨 도표]]는 다음과 같이 7개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변은 1겹이다({{llang|en|simply laced}}). 중심 꼭짓점에서 3개의 "팔"이 뻗어나오며, 팔의 길이는 각각 1, 2, 3이다.
:<math>\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet</math>
E<sub>7</sub>의 [[아핀 딘킨 도표]]는 8개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변은 1겹이다. 길이가 2인 팔에 <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표시된 새 꼭짓점이 추가되어, E<sub>7</sub> 아핀 딘킨 도표는 <math>\mathbb Z/2</math> 대칭을 보인다.
:<math>{\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet</math>

=== 표현론 ===
E<sub>7</sub>의 [[기약 표현]]의 차원들은 다음과 같다 {{OEIS|A121736}}.<ref name="Slansky">{{저널 인용|제목=Group theory for unified model building|이름=Richard|성=Slansky|저널=Physics Reports|doi=10.1016/0370-1573(81)90092-2|권=79|호=1|날짜=1981-12|쪽=1–128|bibcode=1981PhR....79....1S|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.126.1581&rep=rep1&type=pdf|언어=en}}</ref>{{rp|112, Table 52}}
:1, 56, 133, 912, 1463, 1539, 6480, 7371, 8645, 24320, 27664, 40755, 51072, 86184, 150822, 152152, 238602, 253935, 293930, 320112, 362880, 365750, 573440, 617253, 861840, 885248, 915705, 980343, 2273920, 2282280, 2785552, 3424256, 3635840, …
E<sub>7</sub>의 [[바일 군]]은 <math>v\mapsto-v</math>를 포함하므로, 모든 기약 표현은 실수 표현이거나 [[사원수]] 표현이다. E<sub>7</sub>의 [[기본 표현]]들은 56, 133, 912, 1539, 8645, 27664, 365750차원 표현이며, [[딸림표현]]은 '''133'''이다. 딸림표현은 물론 실수 표현이며, 56차원 정의 표현은 [[사원수]] 표현이다. 기본 표현들은 [[딘킨 도표]]의 꼭짓점에 다음과 같이 대응한다.<ref name="Slansky"/>{{rp|112, Table 52}}
:<math>\begin{matrix}
\overset{\mathbf{133}}\bullet&-&\overset{\mathbf{8645}}\bullet\\
&&\underset{\mathbf{912}}\bullet\end{matrix}\rangle\underset{\mathbf{365750}}\bullet-\underset{\mathbf{27664}}\bullet-\underset{\mathbf{1539}}\bullet-\underset{\mathbf{56}}\bullet</math>

E<sub>7</sub>은 [[E₈|E<sub>8</sub>]]의 부분군이다. 정확히 말하면, (E<sub>7</sub>×SU(2))/(&minus;1,&minus;1)은 E<sub>8</sub>의 극대 부분군(maximal subgroup)이다. 이는 [[딘킨 도표]]로 쉽게 확인할 수 있다. 이에 따라, E<sub>8</sub>의 [[딸림표현]] '''248'''은 다음과 같이 분해된다.
:<math>\mathbf{248}_{E_8}\to(\mathbf{133}_{E_7},\mathbf{1}_{SU(2)})\oplus(\mathbf{56}_{E_7},\mathbf 2_{SU(2)})\oplus(\mathbf1_{E_7},\mathbf 3_{SU(2)})</math>
즉, E<sub>8</sub>의 [[딸림표현]] '''248'''은 E<sub>7</sub>의 [[딸림표현]] '''133'''과 [[기본 표현]] '''56''' 및 자명한 표현 '''1'''로 분해된다.

마찬가지로, E<sub>7</sub>의 표현들은 그 부분군의 표현으로 다음과 같이 분해된다.<ref name="Slansky"/>{{rp|112, Table 52}}
:<math>\mathbf{56}_{E_7}\to\mathbf{27}_{E_6}\oplus\overline{\mathbf{27}}_{E_6}\oplus\mathbf1_{E_6}\oplus\mathbf1_{E_6}</math>
:<math>\mathbf{133}_{E_7}\to\mathbf{78}_{E_6}\oplus\mathbf{27}_{E_6}\oplus\overline{\mathbf{27}}_{E_6}\oplus\mathbf1_{E_6}</math>
:<math>\mathbf{56}_{E_7}\to\mathbf{28}_{\operatorname{SU}(8)}\oplus\overline{\mathbf{28}}_{\operatorname{SU}(8)}</math>
:<math>\mathbf{133}_{E_7}\to\mathbf{63}_{\operatorname{SU}(8)}\oplus\mathbf{70}_{\operatorname{SU}(8)}</math>
:<math>\mathbf{56}_{E_7}\to(\mathbf{12},\mathbf2)_{\operatorname{SO}(12)\times\operatorname{SU}(2)}\oplus(\mathbf{32},\mathbf1)_{\operatorname{SO}(12)\times\operatorname{SU}(2)}</math>
:<math>\mathbf{133}_{E_7}\to(\mathbf{66},\mathbf1)_{\operatorname{SO}(12)\times\operatorname{SU}(2)}\oplus(\mathbf{1},\mathbf3)_{\operatorname{SO}(12)\times\operatorname{SU}(2)}\oplus(\mathbf{32'},\mathbf2)_{\operatorname{SO}(12)\times\operatorname{SU}(2)}</math>
:<math>\mathbf{56}_{E_7}\to(\mathbf{6},\mathbf3)_{\operatorname{SU}(6)\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\bar{\mathbf6},\bar{\mathbf3})_{\operatorname{SU}(6)\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\mathbf{20},\mathbf1)_{\operatorname{SU}(6)\times\operatorname{SU}(3)}</math>
:<math>\mathbf{133}_{E_7}\to(\mathbf{35},\mathbf1)_{\operatorname{SU}(6)\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\mathbf1,\mathbf8)_{\operatorname{SU}(6)\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\mathbf3,\overline{\mathbf{15}})_{\operatorname{SU}(6)\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\overline{\mathbf3},\mathbf{15})_{\operatorname{SU}(6)\times\operatorname{SU}(3)}</math>

=== 대수기하학적 성질 ===
[[슈발레 기저]]를 사용하여 정수 계수의 리 대수 <math>\mathfrak e_7(\mathbb Z)</math> 및 군 <math>E_7(\mathbb Z)</math>을 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 이는 임의의 [[가환환]] <math>R</math>에 대하여 [[대수군]]으로 정의할 수 있다.

특히, [[유한체]] <math>\mathbb F_q</math>에 대한 계수의 [[슈발레 군]] <math>E_7(\mathbb F_q)</math>을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 두 가지 구성이 가능하다.
* <math>E_7</math>의 [[범피복군]] <math>\tilde E_7</math>의 유한체 계수 형식 <math>\tilde E_7(\mathbb F_q)</math>
* <math>E_7</math>의 무중심 형식의 유한체 계수 형식 <math>E_7(\mathbb F_q)</math>
이들의  크기는 다음과 같다.
:<math>|\tilde E_7(\mathbb F_q)|=q^{63}(q^{18}-1)(q^{14}-1)(q^{12}-1)(q^{10}-1)(q^8-1)(q^6-1)(q^2-1) </math>
:<math>|E_7(\mathbb F_q)|=\frac1{\gcd\{2,q-1\}}|\tilde E_7(\mathbb F_q)|</math>
<math>E_7(\mathbb F_q)</math>는 모든 유한체 <math>\mathbb F_q</math>에 대하여 [[유한 단순군]]이다. 이 가운데 가장 작은 두 군의 크기는 다음과 같다 {{OEIS|A008870}}.
:<math>|E_7(\mathbb F_2)|\approx8.00\times10^{39}</math>
:<math>|E_7(\mathbb F_3)|\approx1.27\times10^{63}</math>
<math>E_7(\mathbb F_3)</math>은 이미 [[괴물군 (수학)|괴물군]]보다 더 크다.

== 응용 ==
[[11차원 초중력]]을 4차원으로 [[축소화]]할 경우, E<sub>7</sub> [[U-이중성]] 대칭군이 존재한다.<ref name="CremmerJulia"/><ref>{{저널 인용|이름=Bernard|성=de Wit|이름2=Hermann|성2=Nicolai|제목=''D''&#61;11 supergravity with local SU(8) invariance|저널=Nuclear Physics B|권=274|쪽=363|날짜=1986|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Mariana|성=Graña|이름2=Jan|성2=Louis|이름3=Aaron|성3=Sim|이름4=Daniel|성4=Waldram|제목=''E''<sub>7(7)</sub> formulation of ''N''&#61;2 backgrounds|arxiv=0904.2333|언어=en}}</ref> 이는 11차원 초중력 대신 [[M이론]] 전체를 생각할 경우 이산 부분군으로 깨지게 된다.

E<sub>7</sub>은 또한 일부 4차원 <math>\mathcal N=1</math> [[초등각 장론]]의 [[자이베르그 이중성]]으로 등장한다.<ref>{{저널 인용|제목=An ''E''<sub>7</sub> enterprise|arxiv=1209.1404|이름=Tudor|성=Dimofte|이름2=Davide|성2=Gaiotto|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주|3}}

== 같이 보기 ==
* [[E₆|E<sub>6</sub>]]
* [[E₈|E<sub>8</sub>]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lie algebra, exceptional}}
* {{eom|title=Simple finite group}}
* {{매스월드|id=ChevalleyGroups|title=Chevalley groups}}
* {{nlab|id=E7}}

[[분류:리 군]]
[[분류:대수군]]