CAT(κ) 공간 문서 원본 보기

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{{DISPLAYTITLE:CAT(''κ'') 공간}}
[[기하학]]에서 '''CAT(''κ'') 공간'''(-空間, {{llang|en|CAT(''κ'') space}})은 [[단면 곡률]]이 어디서나 <math>\kappa</math> 이하인 [[거리 공간]]이다.

== 정의 ==
임의의 실수 <math>\kappa\in\mathbb R</math>에 대하여, <math>\Sigma_\kappa</math>가 [[단면 곡률]]이 <math>\kappa</math>인 2차원 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[공간 형식]]이라고 하자. 즉, <math>\kappa>0</math>일 경우 이는 [[구 (기하학)|구]], <math>\kappa=0</math>일 경우는 [[유클리드 평면]], <math>\kappa<0</math>일 경우는 [[쌍곡 평면]]이다. 이 공간 형식의 [[지름]]은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{diam}\Sigma_\kappa=\begin{cases}\pi/\sqrt\kappa&\kappa>0\\\infty&\kappa\le0\end{cases}</math>

'''측지선 거리 공간'''({{llang|en|geodesic metric space}}) <math>(X,d)</math>은 다음 조건을 만족시키는 [[길이 거리 공간]]이다.
* 임의의 두 점 <math>x,y\in X</math>에 대하여, 두 점을 잇는 [[측지선]] <math>\gamma</math>가 존재한다.
*:<math>\gamma\colon[0,1]\to X</math>
*:<math>\gamma(0)=x</math>
*:<math>\gamma(1)=y</math>
*:<math>d(\gamma(s),\gamma(t))=|t-s|\qquad(s,t\in[0,1])</math>
두 점 <math>x,y\in X</math>를 잇는 측지선을 <math>\gamma_{xy}\colon[0,1]\to X</math>로 표기하자.

측지선 거리 공간 <math>(X,d)</math> 속의 세 점 <math>x,y,z\in X</math>에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 <math>x',y',z'\in\Sigma_\kappa</math>가 존재한다면, 삼각형 <math>\triangle xyz</math>가 '''<math>\operatorname{CAT}(\kappa)</math> 부등식'''을 만족시킨다고 한다.
* <math>d(x,y)=d(x',y')</math>, <math>d(y,z)=d(y',z')</math>, <math>d(z,x)=d(z',x')</math>
* <math>\triangle xyz</math> 위의 두 점 사이의 거리는 <math>\triangle x'y'z'</math> 위의 대응하는 하는 두 점 사이의 거리보다 같거나 짧다. 즉, 다음이 성립한다.
**임의의 <math>s,t\in[0,1]</math>에 대하여, <math>d(\gamma_{xy}(s),\gamma_{yz}(t))\le d(\gamma_{x'y'}(s),\gamma_{y'z'}(t))</math>
** 임의의 <math>s,t\in[0,1]</math>에 대하여, <math>d(\gamma_{yz}(s),\gamma_{zx}(t))\le d(\gamma_{y'z'}(s),\gamma_{z'x'}(t))</math>
** 임의의 <math>s,t\in[0,1]</math>에 대하여, <math>d(\gamma_{zx}(s),\gamma_{xy}(t))\le d(\gamma_{z'x'}(s),\gamma_{x'y'}(t))</math>
측지선 거리 공간 <math>(X,d)</math> 속의 임의의 세 점 <math>x,y,z\in X</math>에 대하여 <math>\operatorname{CAT}(\kappa)</math> 부등식이 성립한다면, <math>(X,d)</math>를 '''<math>\operatorname{CAT}(\kappa)</math> 공간'''이라고 한다.

[[완비 거리 공간|완비]] <math>\operatorname{CAT}(0)</math> 공간을 '''아다마르 공간'''({{llang|en|Hadamard space}})이라고 한다.

== 성질 ==
임의의 <math>\operatorname{CAT}(\kappa)</math> 공간은 <math>\operatorname{CAT}(\lambda)</math> 공간이다 (<math>\lambda>\kappa</math>). 만약 [[거리 공간]] <math>X</math>가 모든 <math>\lambda>\kappa</math>에 대하여 <math>\operatorname{CAT}(\lambda)</math> 공간이라면, <math>X</math>는 <math>\operatorname{CAT}(\kappa)</math> 공간이다.

== 예 ==
모든 (완비일 필요가 없는) [[내적 공간]]은 <math>\operatorname{CAT}(0)</math> 공간이다. 임의의 [[노름 공간]] <math>V</math>가 어떤 실수 <math>\kappa</math>에 대하여 <math>\operatorname{CAT}(\kappa)</math> 공간이라면, <math>V</math>는 [[내적 공간]]이다.

<math>n</math>차원 [[쌍곡 공간]]은 <math>\operatorname{CAT}(-1)</math> 공간이다.

반지름이 <math>r</math>인 <math>n</math>차원 [[초구]] <math>\mathbb S^n</math>은 <math>\operatorname{CAT}(1/r^2)</math> 공간이다. (이 초구의 [[길이 거리 공간]]으로서의 [[지름]]은 <math>\pi r</math>이다.)

== 역사 ==
CAT(''κ'') 공간의 개념은 [[알렉산드르 알렉산드로프 (수학자)|알렉산드르 알렉산드로프]]가 도입하였다. 알렉산드로프는 이를 원래 "<math>\mathfrak R_\kappa</math> 영역"으로 명명하였다. 이후 [[미하일 그로모프]]가 1987년의 유명한 논문에서 "CAT(''κ'') 공간"이라는 용어를 도입하였다. 이름에서 "CAT"는 [[앙리 카르탕]](Cartan) · 알렉산드르  알렉산드로프(Александров) · [[빅토르 안드레예비치 토포고노프]](Топоногов)의 머릿글자를 딴 것이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
| last = Ballmann
| first = Werner
| title = Lectures on spaces of nonpositive curvature
| series = Oberwolfach Seminars | 권= 25 | issn=1661-237X
| publisher = Birkhäuser
| year = 1995
| isbn =978-3-7643-5242-4 | doi= 10.1007/978-3-0348-9240-7
| mr = 1377265 | 언어=en
}}
* {{서적 인용
| last = Bridson
| first = Martin R.
|성2=Haefliger | 이름2= André
| title = Metric spaces of non-positive curvature
| series = Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften |권=319
| publisher = Springer
| year = 1999
| isbn =  978-3-540-64324-1
| doi = 10.1007/978-3-662-12494-9
| mr = 1744486 | 언어=en
}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://lamington.wordpress.com/2012/10/17/upper-curvature-bounds-and-catk/|제목=Upper curvature bounds and CAT(K)|이름=Danny |성=Calegari|웹사이트=Geometry and the Imagination|날짜=2012-10-17|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:계량기하학]]