BF 모형 문서 원본 보기

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[[이론물리학]]에서 '''BF 모형'''(BF模型, {{llang|en|''BF'' model}})은 [[시바르츠형 위상 양자장론]]의 간단한 예이다.<ref name="Broda">{{서적 인용|장=BF system|arxiv=hep-th/0502045|이름=Bogusław|성=Broda|제목=Concise encyclopedia of supersymmetry and noncommutative structures in mathematics and physics|url=https://archive.org/details/conciseencyclope0000unse_o0z6|출판사=Springer-Verlag|쪽=[https://archive.org/details/conciseencyclope0000unse_o0z6/page/54 54]|날짜=2004|doi=10.1007/1-4020-4522-0_45|isbn=978-1-4020-1338-6}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Schwarz type topological quantum field theories|url=https://archive.org/details/arxiv-hep-th0504100|이름1=R. K.|성1= Kaul|이름2=T. R.|성2=Govindarajan|이름3=P. |성3=Ramadevi|arxiv=hep-th/0504100|bibcode=2005hep.th....4100K|날짜=2005|언어=en}}</ref> [[게이지 이론]]의 매우 간단한 형태이다.

== 정의 ==
<math>M</math>이 <math>d</math>차원 [[매끄러운 다양체]]이고, 그 위에 올이 [[리 군]] <math>G</math>인 [[주다발]] <math>P\twoheadrightarrow M</math>이 주어졌다고 하자. 또한, <math>G</math>의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math> 위에 [[비퇴화 쌍선형 형식]] <math>K\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to\mathbb R</math>이 존재한다고 하자. (보통 [[킬링 형식]]의 스칼라배를 사용한다.)

'''BF 모형'''은 다음과 같은 두 장으로 구성되는 [[양자장론]]이다.
* <math>A</math>는 <math>P</math>의 [[주접속]]이다. 즉, [[게이지 보손]]에 해당한다.
* <math>B\in\Omega^{d-2}(M;\mathfrak g)</math>는 <math>M</math> 위에 정의된, 리 대수 <math>\mathfrak g</math>에 값을 갖는 <math>(d-2)</math>차 [[미분 형식]]이다.
두 장 모두 [[게이지 대칭]]을 가진다.<ref name="Broda"/>
:<math>A\mapsto A+\mathrm d\alpha + [A,\alpha]</math>
:<math>B\mapsto B+[B,\alpha] + \mathrm d\Lambda+[A,\Lambda]</math>
여기서 <math>\alpha\in\Omega^1(M;\mathfrak g)</math>이며, <Math>\Lambda\in\Omega^{d-3}(M;\mathfrak g)</math>이다. 즉, <math>B</math>는 [[미분 형식 전기역학]]에서의 퍼텐셜과 유사한 게이지 대칭을 가진다.

BF 모형의 [[작용 (물리학)|작용]]은 다음과 같다.
:<math>S=\int_MK(B\wedge F)</math>
여기서 <math>F=d_AA</math>는 <math>A</math>의 [[곡률]] (장세기)이다.

만약 <math>d=3,4</math>일 경우, 특별히 다음과 같은 “[[우주 상수]]” <math>\lambda</math> 항을 추가할 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=4-dimensional ''BF'' theory with cosmological term as a topological quantum field theory |url=https://archive.org/details/sim_letters-in-mathematical-physics_1996-10_38_2/page/129 | 이름= John C. | 성=Baez | arxiv=q-alg/9507006 | doi=10.1007/BF00398315 | 저널=Letters in Mathematical Physics|권= 38 |날짜=1996|쪽= 129–143| bibcode=1995q.alg.....7006B |언어=en}}</ref>
:<math>S=\int_MK(B\wedge F + \lambda B\wedge B)\qquad(d=4)</math>
:<math>S=\int_MK(B\wedge F + \lambda B\wedge B\wedge B)\qquad(d=3)</math>

== 성질 ==
=== 장방정식 ===
[[우주 상수]] 항이 없을 때, BF 작용의 [[오일러-라그랑주 방정식]]은 다음과 같다.
* <math>F=0</math>
* <math>d_AB=0</math>
따라서, 고전적으로 <math>A</math>는 [[평탄 주접속]]이고, <math>B</math>는 [[닫힌 미분 형식]]이다.

우주 상수 항을 추가하면, <math>d=4</math>에서 [[오일러-라그랑주 방정식]]은 대신 다음과 같다.
:<math>F+2\lambda B = 0</math>
:<math>d_AB = 0</math>

=== 양자화 ===
편의상, 시공간
:<math>M=\mathbb R\times\Sigma</math>
:<math>\dim\Sigma=d-1</math>
을 생각하자. 그렇다면, <math>M</math>은 <math>\Sigma</math>와 [[호모토피 동치]]이므로, 사실 <math>\Sigma</math> 위에 <math>G</math>-[[주다발]] <math>P\twoheadrightarrow\Sigma</math>이 주어졌다고 가정할 수 있다.

이 위에서 BF 모형의 양자화를 생각하자. 이 경우, [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]] <math>\mathcal M_\Sigma</math>은 다음과 같다.
:<math>\mathcal M_\Sigma = \mathrm T^*\mathcal A^{\text{flat}}_\Sigma</math>
여기서
* <math>\mathcal A^{\text{flat}}_\Sigma</math>는 <math>P\twoheadrightarrow\Sigma</math>의 [[평탄 주접속]]들의 공간이다.
이 경우, [[주접속]] <math>A_\mu^a</math>에 대응하는 [[일반화 운동량]]은 <math>B^a_{\mu_1\dotsb\mu_{d-2}}</math>이다. 즉, 정준 교환 관계는 다음과 같다.
:<math>\{
B^a_{\mu_1\dotso\mu_{d-2}}(x),A_{b\mu_{d-1}}(y)
\} = \delta^a_b \operatorname{vol}^\Sigma_{\mu_1\dotso\mu_{d-1}} \delta(x,y)</math>
여기서
* <math>\operatorname{vol}^\Sigma_{\mu_1\dotso\mu_{d-1}}</math>는 <math>\Sigma</math>의 [[부피 형식]]이다.

따라서, 그 [[힐베르트 공간]]은 단순히
:<math>\mathcal H=\operatorname L^2(\mathcal A^{\text{flat}}_\Sigma)</math>
이다.

[[천-사이먼스 이론]]과 비교했을 때, 천-사이먼스 이론의 경우 3차원에서 <math>\Sigma</math>가 [[리만 곡면]]의 구조를 가지므로, <math>\mathcal A^{\text{flat}}_\Sigma</math>는 이미 [[켈러 다양체]]의 구조를 가지며, <math>\mathcal A^{\text{flat}}_\Sigma</math> 자체가 [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]이며, <math>A</math>는 스스로의 [[일반화 운동량]]이 된다. 그러나 BF 이론에서는 <math>\mathcal A^{\text{flat}}_\Sigma</math>는 위상 공간이 아니라 배위 공간이다.

=== 우주 상수 항이 있는 경우의 양자화 ===
우주 상수 항이 있을 경우, 양자화는 다음과 같이 달라진다. 우선, 더 이상 <math>F=0</math>이 아니게 된다. 우선, (평탄하거나 평탄하지 않을 수 있는) 주접속의 (무한 차원) 공간을 <math>\mathcal A_\Sigma</math>라고 하자. 그렇다면, [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]은 <math>\mathrm T^*\mathcal A_\Sigma</math> 속에서,
:<math>F+2\lambda B = 0</math>
을 만족시키는 점들의 공간이다. 즉, 파동 함수는 <math>G</math>에 대한 [[게이지 변환]]에 대하여 불변인, <math>\mathcal A_\Sigma</math> 위의 함수 <math>\psi</math> 가운데,
:<math>
0=\left(F_{\mu\nu}^a - 2\mathrm i\lambda\operatorname{vol}_{\mu\nu\rho}^\Sigma \frac\delta{\delta A_{\rho a}}\right)\psi
</math>
을 만족시키는 것이다. 만약 <math>\Sigma</math> 위의 <math>G</math>-[[주다발]]이 (위상수학적으로) [[자명한 올다발]]이라면, 이 [[편미분 방정식]]은 하나의 [[일차 독립]] 해를 가지며, 이는 구체적으로
:<math>\psi(A) = \exp\left(-\mathrm iS_{\text{CS}}(A)/4\lambda\right)</math>
이다. 여기서
:<math>S_{\text{CS}}(A)=\int_\Sigma \operatorname{tr}\left(A\wedge\mathrm dA+\frac23A\wedge A\wedge A\right)</math>
는 <math>\Sigma</math> 위의 [[천-사이먼스 이론]]의 작용([[천-사이먼스 형식]])이다. 이는
:<math>
\frac{\delta S_{\text{CS}}}{\delta A_{\rho a}} = \operatorname{vol}_\Sigma^{\mu\nu\rho}F_{\mu\nu}^a
</math>
이기 때문이다.

== 성질 ==
=== 양-밀스 이론과의 관계 ===
BF 모형은 부피가 0인 다양체 위의 [[양-밀스 이론]]으로 생각할 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Lectures on 2d gauge theories: topological aspects and path integral techniques|저자1=Matthias Blau|저자2=George Thompson|arxiv=hep-th/9310144|bibcode=1993dgtt.rept.....B|날짜=1993|언어=en}}</ref>

[[양-밀스 이론]]의 작용은
:<math>S_\text{YM}=\int_M\frac1{g^2}K(F\wedge*F)</math>
이다. 여기서 <math>g^2</math>는 [[결합 상수]]이고, <math>*</math>는 [[호지 쌍대]]이다. 여기에 [[보조장]] <math>B</math>를 도입하자. 그렇다면, 양-밀스 이론은 다음과 같이 동등하게 나타낼 수 있다.
:<math>S_\text{YM}'=\int_M(K(B\wedge F)+\frac12g^2K(B\wedge*B))</math>
이제, 결합 상수를 0으로 보내자.
:<math>g^2\to0</math>
그렇다면
:<math>\lim_{g^2\to0}S_\text{YM}'=\int_MK(B\wedge F)=S_{BF}</math>
가 되어, BF 모형이 됨을 알 수 있다.

[[호지 쌍대]] <math>*</math>를 대신 [[부피 형식]] <math>\omega</math>와 내적
:<math>\langle X,Y\rangle\omega=K(X\wedge*Y)</math>
로 쓰자. 그렇다면
:<math>S_\text{YM}'=\int_M(K(B\wedge F)+\frac12g^2\omega\langle B,B\rangle)</math>
이 된다. 이는
:<math>\omega'=g^2\omega</math>
에만 의존하게 된다. 이는 다양체 <math>M</math>의 "부피"
:<math>\operatorname{vol}(M)=\int_M\omega'=\int_Mg^2\omega</math>
로 생각할 수 있다. 그렇다면 BF 모형의 극한은 <math>\omega'</math>로 측정한 부피가 0으로 가는 극한으로 생각할 수 있다.

=== 초대칭 BF 모형 ===
BF 모형에 [[초대칭]]을 추가하여 '''초대칭 BF 모형'''({{llang|en|supersymmetric BF model}})을 정의할 수 있다. 이는 더 이상 [[시바르츠형 위상 양자장론]]이 아니며, 대신 [[위튼형 위상 양자장론]]이다. 이 경우, 장들은 다음과 같다. 모든 장은 <math>G</math>의 [[딸림표현]]을 따른다.
* 게이지 초장 <math>(A,\psi)</math>. 여기서 <math>A</math>는 U(1) 게이지 보손이며, <math>\psi</math>는 벡터 페르미온이다. 이 경우 <math>QA=\psi</math>이다.
* [[라그랑주 승수법|라그랑주 승수]] 초장 <math>(\chi,B)</math>. 여기서 <math>B</math>는 <math>(d-2)</math>차 미분 형식인 보손이며, <math>\chi</math> 역시 <math>(d-2)</math>차 미분 형식인 페르미온이다. 이 경우 <math>Q\chi=B</math>이다.
* 유령 초장 <math>(\bar\phi,\eta)</math>. <math>Q\bar\phi=\eta</math>이며 <math>Q\eta=[\bar\phi,\phi]</math>이다.
이에 따라, 작용은 다음과 같다.<ref name="BlauThompson96">{{저널 인용|arxiv=hep-th/9612143|제목=Aspects of ''N<sub>T</sub>'' ≥ 2 topological gauge theories and D-branes|이름=Matthias|성=Blau|이름2=|성2=Thompson|언어=en}}</ref>{{rp|§4.1}}
:<math>S=Q\int(\chi F+\bar\phi d*\psi)=\int \left(BF+(-1)^d\chi d\psi+\eta d*\psi+\bar\phi[\psi,*\psi]-\bar\phi d*d\phi\right)</math>
초대칭이 없는 경우와 마찬가지로, 이 경우 이론은 <math>M</math> 위의 <math>G</math>-[[평탄 주접속]]들의 [[모듈라이 공간]]의 특성을 계산한다.

만약 시공간이 3차원일 경우 (<math>d=3</math>), 이 이론은 추가로 <math>\mathcal N_T=2</math> 위상 초대칭을 갖는다.<ref name="BlauThompson96"/>{{rp|§4.1}}<ref name="Birmingham">{{저널 인용|doi=10.1016/0370-1573(91)90117-5|제목=Topological field theory|성=Birmingham|이름=Danny|이름2=Matthias|성2=Blau|이름3= Mark|성3= Rakowski|이름4=George|성4= Thompson|저널=Physics Reports|권=209|호=4–5|쪽=129-340|bibcode=1991PhR...209..129B|날짜=1991-12|issn=0370-1573|언어=en}}</ref>{{rp|238}} 즉, 두 개의 스칼라 [[초전하]](BRST 연산자)를 가지며, 이 둘을 섞는 SU(2) [[R대칭]]이 존재하며, 이 아래 <math>(\chi,\psi)</math>는 SU(2)의 2차원 기본 표현을 따른다. 이 이론은 3차원 <math>\mathcal N=4</math> 게이지 이론의 A-뒤틂과 같으며, 이는 [[도널드슨 이론]]을 3차원으로 [[축소화]]한 것과 같다.<ref name="BlauThompson96"/>{{rp|§4.3}}

== 같이 보기 ==
* [[스핀 거품]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=BF-theory}}
* {{nlab|id=Crane-Yetter model}}
* {{nlab|id=gravity as a BF theory|title=Gravity as a BF theory}}

[[분류:양자장론]]