ADM 형식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''아노윗-데세르-미스너 수식 체계'''(Arnowitt-Deser-Misner數式體系, {{llang|en|Arnowitt–Deser–Misner formalism}}, 약자 '''ADM 수식 체계''')는 [[일반 상대성 이론]]을 [[해밀턴 역학]]으로 표현하는 방법이다.<ref>{{저널 인용|제목=Arnowitt–Deser–Misner formalism|doi=10.4249/scholarpedia.7533|저널=Scholarpedia|권=3|호=10|쪽=7533|이름=Stanley|성=Deser|날짜=2008|issn=1941-6016|언어=en}}
</ref><ref name="ADM08">{{저널 인용|제목=Republication of: The dynamics of general relativity|url=https://archive.org/details/sim_general-relativity-and-gravitation_2008-09_40_9/page/1997|arxiv=gr-qc/0405109|bibcode=2008GReGr..40.1997A|doi=10.1007/s10714-008-0661-1|성=Arnowitt|이름=Richard|공저자=Stanley Deser, Charles W. Misner|날짜=2008-09|저널=General Relativity and Gravitation|권=40|호=9|쪽=1997–2027|issn=0001-7701|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Разные канонические формулировки теории гравитации Эйнштейна|이름=Валентин Альфредович|성=Франке|권=148|호=1|날짜=2006|쪽=143–160|doi=10.4213/tmf2065|mr=2283655|저널=Теоретическая и Математическая Физика|issn= 0564-6162|언어=ru }} 영역 {{저널 인용|arxiv=0710.4953|doi=10.1007/s11232-006-0096-3|bibcode=2006TMP...148..995F|이름=Valentin Alfredovich|성=Franke|날짜=2006-07|제목=Different canonical formulations of Einstein’s theory of gravity|권=148|호=1|쪽=995–1010|issn=0040-5779|저널=Theoretical and Mathematical Physics|언어=en|zbl=1177.83021}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=gr-qc/9305011|doi=10.1088/0264-9381/11/5/003|bibcode=1994CQGra..11.1087P|날짜=1994-05|성=Peldán|이름=Peter|issn= 0264-9381|저널=Classical and Quantum Gravity|권=11|호=5|쪽=1087–1132|제목=Actions for gravity, with generalizations: a review|언어=en}}
</ref><ref>{{서적 인용|장=Some applications of the ADM formalism|arxiv=gr-qc/0408083|bibcode=2004gr.qc.....8083N|이름=J. E.|성=Nelson|제목=Deserfest: a celebration of the life and works of Stanley Deser|url=https://archive.org/details/deserfestcelebra00liuj_185|출판사=World Scientific|쪽=[https://archive.org/details/deserfestcelebra00liuj_185/page/n201 193]–206|editor1-first=James T.|editor1-last=Liu|editor2-first=Michael J.|editor2-last=Duff|editor2-link=마이클 더프|editor3-first=Kellogg S.|editor3-last=Stelle|editor4-first=Richard P.|editor4-last=Woodard|날짜=2006|isbn=981-256-082-3|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=3+1 orthogonal and conformal decomposition of the Einstein equation and the ADM formalism for general relativity|이름=Suat|성=Dengiz|arxiv=1103.1220|기타=석사 학위 논문|출판사=[[중동 공과대학교]]|날짜=2011|언어=en|bibcode=2011arXiv1103.1220D}}</ref> [[시공간]]에 공간적 [[엽층]]을 준 뒤, 엽층의 각 잎의 (시공의 부분 [[다양체]]로서) 유도된 [[계량 텐서]]에 대하여 [[일반화 운동량]]을 정의한다. 잎의 계량 텐서 및 그 운동량에 포함되지 않는 ([[질량 껍질]] 밖) 자유도는 [[라그랑주 승수]] 꼴로 나타나, 이론에 [[제약]]을 준다.

== 전개 ==
그리스 문자 첨자 <math>\mu,\nu,\dots=0,1,\dots,D</math>는 <math>D+1</math>차원 시공간을, 로마자 첨자 <math>i,j,\dots=1,\dots,D</math>는 <math>D</math>차원 공간만을 나타낸다. 여기서는 &minus;+++ [[계량 부호수]]를 쓴다. 편의상 <math>c=1</math>로 놓자.

=== 계량 텐서의 분해 ===
<math>D+1</math>차원에서, [[일반 상대성 이론]]의 동적 변수는 대칭 텐서인 [[계량 텐서]] <math>g^{(D+1)}_{\mu\nu}</math>의 <math>(D+1)(D+2)/2</math>개의 성분들이다. 그러나 일반 상대성 이론은 임의의 [[미분 동형 사상]]을 [[게이지 대칭]]으로 가지며, 이는 (국소적으로) <math>x^\mu\mapsto x^\mu+\delta x^\mu</math>와 같은 꼴이므로, <math>g^{(D+1)}_{\mu\nu}</math>의 성분 가운데 <math>D+1</math>개는 [[게이지 변환]]을 통해 흡수될 수 있으며, 따라서 실제 동적인 장들은 그 가운데
:<math>\frac12(D+1)(D+2)-(D+1)=\frac12D(D+1)</math>
개이다. 즉, 계량 텐서를 다음과 같은 꼴로 표시할 수 있다.<ref name="ADM08"/>{{rp|(3.9a), (3.10), (3.11a), (3.11b)}}
:<math>g^{(D+1)}_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}
g^{ij}N_iN_j-N^2&N_i\\
N_i&g_{ij}
\end{pmatrix}</math>
:<math>g_{(D+1)}^{\mu\nu}=\begin{pmatrix}
-1/N^2&g^{ij}N_jN^2\\
g^{ij}N_j/N^2&g^{ij}-g^{im}g^{jn}N_mN_n/N^2
\end{pmatrix}</math>
여기서 [[보조장]] <math>N</math>과 <math>(N_i)_{i=1,\dots,D}</math>는 각각 '''경과장'''(經過場, {{llang|en|lapse|랩스}}) 및 '''이동장'''(移動場, {{llang|en|shift|시프트}})이라고 불린다. <math>(g^{ij})_{i,j=1,\dots,D})</math>는 <math>(g_{ij})_{i,j=1,\dots,D}</math>의 [[역행렬]]이다(특히, <math>(g^{(D+1)}_{\mu\nu})_{\mu,\nu=0,\dots,D})</math>의 역행렬의 성분이 아니다). <math>g_{(D+1)}^{0,0}</math>는 <math>(g^{(D+1)}_{\mu\nu})_{\mu,\nu=0,\dots,D}</math>의 역행렬의 한 성분이다.

이 경우, <math>D+1</math>차원 계량 텐서의 [[행렬식]]은 다음과 같다.<ref name="ADM08"/>{{rp|(3.12)}}
:<math>-\det(g_{\mu\nu})=N^2\det(g_{ij})</math>
즉, 경과장 <math>N</math>은 <math>D+1</math>차원 계량으로 측정한 <math>D+1</math>차원 초부피 원소([[야코비 행렬식]])와 <math>D</math>차원 계량으로 측정한 <math>D</math>차원 부피 원소(야코비 행렬식)의 비이다.

이러한 분해는 [[전자기 퍼텐셜]] <math>A_\mu=(A_0,A_i)</math>의 분해와 마찬가지다. 전자기학에서 <math>A_0</math>가 게이지 변환에 의하여 [[라그랑주 승수]] [[보조장]]이 되는 것처럼, <math>N</math>과 <math>N_i</math> 역시 마찬가지 역할을 한다.

=== 운동량과 작용 ===
[[일반 상대성 이론]]은 [[아인슈타인-힐베르트 작용]]으로 나타낼 수 있다.
:<math>16\pi G\mathcal L=\sqrt{-\det(g_{\mu\nu}^{(D+1)})}R^{(D+1)}</math>
여기서 <math>g_{\mu\nu}</math>는 [[계량 텐서]], <math>R^{(D+1)}</math>은 <math>g_{\mu\nu}^{(D+1)}</math>로 계산한 [[리치 스칼라]]다.

이제 편의상 <math>D+1=3+1</math>인 경우만을 생각하자.
<math>g_{ij}</math>에 대한 [[일반화 운동량]] <math>\pi^{ij}</math>를 계산하면 다음과 같다.
:<math>\pi^{ij}=\frac{\delta\mathcal L}{\delta(\dot g_{ij})}=\frac1{16\pi G}\sqrt{-\det g_{\mu\nu}} \left(\Gamma^0_{pq} - g_{pq} \Gamma^0_{rs}g^{rs} \right) g^{ip}g^{jq}</math>
<math>g_{ij}</math>에 대하여 [[해밀토니언]]을 정의하자. 그렇다면 작용은 다음과 같다.
:<math>16\pi G\mathcal L=-g_{ij}\dot\pi^{ij}-NH-N_iP^i+\partial_i(\cdots)^i</math>
여기서
:<math>H=-\frac1{16\pi G}\sqrt{-\det g_{ij}}\left(R+\frac1{\det g_{ij}}\left(\frac12(\det\pi^{ij})^2-\pi^{ij}\pi_{ij}\right)\right)</math>
:<math>P^i=-\frac1{8\pi G}\nabla_j\pi^{ij}</math>
이다. 즉 <math>N</math>과 <math>N_i</math>는 [[라그랑주 승수]]가 되며, 그 [[운동 방정식]]에 따라 <math>H=P^i=0</math>이다.

== 성질 ==
=== 운동 방정식 ===
<math>g_{ij}</math> 및 <math>\pi^{ij}</math>에 대한 [[오일러-라그랑주 방정식]]은 다음과 같다.
:<math>\dot g_{ij} = 2Ng^{-1/2} \left( \pi_{ij} - \frac12 \pi g_{ij} \right) + 2\nabla_{(i;j)}</math>
:<math>\dot\pi^{ij} = -N\sqrt{\det(g_{ij})} ( R^{ij} - \frac12 R g^{ij} ) + \frac12 N(\det(g_{ij}))^{-1/2}g^{ij} ( \pi^{mn}\pi_{mn} - \frac12 \pi^2) - 2Ng^{-1/2} ( \pi^{in}\pi_{n}{}^{j} - \frac12\pi\pi^{ij} )</math>
::<math>-\sqrt{\det(g_{ij})}(\nabla^{i}\nabla^{j}N -g^{ij}\nabla^2N) + \nabla_{n}( \pi^{ij}N^{n} ) -2\pi^{n(i}\nabla_nN^{j)}</math>

[[보조장]]들에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.
:<math>H=0</math>
:<math>P^i=0</math>
이들은 [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]의 제약을 나타내며, 전자기장의 가우스 법칙 제약과 유사하다. 보조장 <math>N</math> 및 <math>N_i</math> 자체는 임의로 값을 줄 수 있다. 이는 [[일반 상대성 이론]]에서 [[미분 동형 사상]] 대칭이 [[게이지 대칭]]이기 때문이다.

=== 위상 공간 ===
일반적으로, <math>d+1</math>차원 시공간 <math>\Sigma\times\mathbb R</math>에서, ADM 수식 체계에 의한, [[일반 상대성 이론]]의 [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]은 <math>\Sigma</math> 위의 [[매끄러운 올다발]]의 [[매끄러운 단면]]의 공간이다. 이 올다발의 올의 차원은 <math>(d+1)(d-2)</math>이다.<ref name="BP">{{저널 인용|성1=Berman|성2=Perry|arxiv=1008.1763|제목=Generalized geometry and M theory|언어=en}}</ref>{{rp|§2}} 이는 다음과 같이 얻어진다.
:{| class=wikitable
! 설명 !! 성분
|-
| 계량 텐서 <math>g_{ij}</math> 및 그 일반화 운동량 || <math>d(d+1)</math>
|-
| 에너지 제약 <math>H=0</math> 및 그 게이지 조건 ||  −2
|-
| 운동량 제약 <math>P^i = 0</math> 및 그 게이지 조건 || <math>-2d</math>
|-
! 계 || <math>d(d+1) - 2-2d = d^2-d-2 = (d+1)(d-2)</math>
|}

== 역사 ==
[[파일:ArnowittDeserMisner2009 01.jpg|섬네일|right|아노윗 (左) · 데세르 (中) · 미스너 (右). 2009년 사진]]
리처드 루이스 아노윗({{llang|en|Richard Lewis Arnowitt}}, 1928~2014) · 스탠리 데세르({{llang|pl|Stanley Deser}}, 1931~) · 찰스 미스너({{llang|en|Charles W. Misner}}, 1932~)가 1959년~1961년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Editorial note to R. Arnowitt, S. Deser, C. W. Misner, “The dynamics of general relativity”|url=https://archive.org/details/sim_general-relativity-and-gravitation_2008-09_40_9/page/1989|날짜=2008-09|저널=General Relativity and Gravitation|권=40|호=9|쪽=1989–1995|issn=0001-7701|이름=Jorge|성=Pullin|doi=10.1007/s10714-008-0649-x|언어=en|bibcode=2008GReGr..40.1989P}}</ref><ref>{{저널 인용 |doi=10.1103/PhysRev.113.745 |title=Quantum theory of gravitation: general formulation and linearized theory |날짜=1959 |last1=Arnowitt |first1=R. |성2=Deser |이름2=Stanley |journal=Physical Review |volume=113 |issue=2 |pages=745–750 |bibcode=1959PhRv..113..745A}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Arnowitt|이름=R. L.|성2=Deser |이름2=Stanley|성3=Misner|이름3=C.|날짜=1959|제목=Dynamical structure and definition of energy in general relativity|저널=Physical Review|권=116|호=5|쪽=1322–1330|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 |doi=10.1103/PhysRev.117.1595 |title=Canonical variables for general relativity |날짜=1960 |last1=Arnowitt |first1=R. |성2=Deser |이름2=Stanley | 성3=Misner | 이름3=Charles |journal=Physical Review |권=117 |호=6 |pages=1595–1602 |bibcode=1960PhRv..117.1595A| 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 |doi=10.1103/PhysRevLett.4.375 |title=Finite self-energy of classical point particles |날짜=1960 |last1=Arnowitt |first1=R. |성2=Deser |이름2=Stanley | 성3=Misner | 이름3=Charles |journal=Physical Review Letters |권=4 |호=7 |pages=375–377 |bibcode=1960PhRvL...4..375A| 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 |doi=10.1103/PhysRev.118.1100 |title=Energy and the criteria for radiation in general relativity |날짜=1960 |last1=Arnowitt |first1=R. |성2=Deser |이름2=Stanley | 성3=Misner | 이름3=Charles |journal=Physical Review |권=118 |호=4 |pages=1100–1104 |bibcode=1960PhRv..118.1100A| 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 |doi=10.1103/PhysRev.120.313 |title=Gravitational–electromagnetic coupling and the classical self-energy problem |날짜=1960 |last1=Arnowitt |first1=R. |성2=Deser |이름2=Stanley| 성3=Misner | 이름3=Charles |journal=Physical Review |권=120 |pages=313–320 |bibcode=1960PhRv..120..313A| 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 |doi=10.1103/PhysRev.120.321 |title=Interior Schwarzschild solutions and interpretation of Source Terms |날짜=1960 |last1=Arnowitt |first1=R. |성2=Deser |이름2=Stanley| 성3=Misner | 이름3=Charles |journal=Physical Review |권=120 |pages=321–324 |bibcode=1960PhRv..120..321A | 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 |doi=10.1103/PhysRev.121.1556 |title=Wave zone in general relativity |날짜=1961 |last1=Arnowitt |first1=R. L. |성2=Deser |이름2=Stanley | 성3=Misner | 이름3=Charles |journal=Physical Review |권=121 |호=5 |pages=1556–1566 |bibcode=1961PhRv..121.1556A| 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 |doi=10.1103/PhysRev.122.997 |title=Coordinate invariance and energy expressions in general relativity |날짜=1961 |last1=Arnowitt |first1=R. L. |성2=Deser |이름2=Stanley | 성3=Misner | 이름3=Charles |journal=Physical Review |권=122 |호=3 |pages=997–1006 |bibcode=1961PhRv..122..997A| 언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[정준좌표]]
== 각주 ==
{{각주}}

{{상대론}}

[[분류:일반 상대성이론]]