7차원 초구 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서, '''7차원 초구'''(七次元超球, {{llang|en|7-sphere}})는 8차원 유클리드 공간 속의, 원점에서 같은 거리에 있는 점으로 구성된 [[다양체]]이다.<ref>{{저널 인용|제목=''S''<sup>7</sup> and ''Ŝ''<sup>7</sup> | 이름=Martin | 성=Cederwall | 이름2=Christian R.|성2=Preitschopf | arxiv=hep-th/9309030 | 언어=en}}</ref> 이는 총 28개의 [[매끄러움 구조]]를 갖는다. 매끄러운 7차원 초구는 [[리 군]]으로부터 다양한 방법으로 [[동차 공간]]으로서 구성될 수 있으며, 특히 [[팔원수]]와 [[단순 리 군]] [[G₂]]와 깊은 관계를 가진다.

== 정의 ==
'''7차원 초구'''는 8차원 [[유클리드 공간]] 속의, 단위 노름의 벡터로 구성된 [[매끄러운 다양체]]이다. 이 위에는 표준적인 [[리만 계량]]이 존재한다.

7차원 초구는 다음과 같이 [[대칭 공간]]을 이룬다.
:<math>\mathbb S^7 \cong \operatorname{SO}(8) / \operatorname{SO}(7)</math>
:<math>\mathbb S^7 \cong \operatorname{Spin}(7) / G_2</math>
:<math>\mathbb S^7 \cong \operatorname{SU}(4) / \operatorname{SU}(3)</math>
:<math>\mathbb S^7 \cong \operatorname{USp}(4) / \operatorname{USp}(2)
=\operatorname{Spin}(5) / \operatorname{Spin}(3)</math>

또한, 7차원 초구는 노름 1의 [[팔원수]]의 공간으로 여길 수 있다.
:<math>\mathbb S^7 = \{x\in\mathbb O \colon \|x\|=1\}</math>
사실, 순허수 팔원수의 공간 위의 노름 보존 실수 선형 변환의 군 <math>\operatorname{SO}(7)</math> 가운데, <math>G_2\le\operatorname{SO}(7)</math>은 그 부분군을 이룬다. 따라서 <math>\operatorname{SO}(7)/G_2</math>를 취할 수 있는데, 이는 임의의 한 원소 <math>\mathrm i \in \mathbb H</math>의 상에 의하여 분류된다. 즉, 이는 <math>\mathbb S^7</math>을 이룬다.

=== 스피너를 통한 표현 ===
7차원 유클리드 공간의 8차원 [[마요라나 스피너]]를 생각하자. 이 경우, 0이 아닌 임의의 스피너의 [[안정자군]]은 <math>G_2</math>이며, 이에 대한 몫 <math>\operatorname{Spin}(7)/G_2</math>은 이 스피너가 대응되는 상의 공간이다. 스피너 공간 위의 Spin(7)의 작용은 노름을 보존하므로, 이는 <math>\mathbb S^7</math>이다.

== 성질 ==
=== 호프 주다발 ===
7차원 초구는 [[호프 올다발]]
:<math>\mathbb S^3 \hookrightarrow \mathbb S^7 \twoheadrightarrow \mathbb S^4</math>
을 정의한다. 이는 <math>\operatorname{SU}(2)</math>에 대한 [[주다발]]을 이룬다.

=== 군의 작용 ===
<math>\mathbb S^7</math>은 등거리군 <math>\operatorname O(8)</math>을 갖는다. 임의의 점의 [[안정자군]]은 O(7)이며, 이에 따라 <math>\mathbb S^7 = \operatorname O(8)/\operatorname O(7)</math>이다.

<math>\mathbb S^7 = \operatorname{Spin}(7) / G_2</math>로 여겼을 때, 이는 <math>\operatorname{Spin}(7)</math>의 군의 작용을 갖는다. 이는 <math>\operatorname O(8)</math>의 부분군이다.

호프 [[주다발]] <math>\operatorname{SU}(2) \hookrightarrow \mathbb S^7 \twoheadrightarrow \mathbb S^4</math>에 의하여, <math>\mathbb S^7</math> 위에는 <math>\operatorname{Spin}(5)</math> 및 <math>\operatorname{SU}(2)</math>가 작용한다. 사실, SU(2)의 작용은 <math>\operatorname{Spin}(5)</math>의 작용의 부분 작용이며, <math>\mathbb S^7 = \operatorname{Spin}(5) / \operatorname{SU}(2)</math>이다.

=== 평행화 가능 다양체 ===
7차원 초구는 [[평행화 가능 다양체]]이다. 사실, 초구 가운데 [[평행화 가능 다양체]]인 것은 0차원 · 1차원 · 3차원 · 7차원 밖에 없다. 이들은 실수체 위의 노름 [[나눗셈 대수]]([[실수]], [[복소수]], [[사원수]], [[팔원수]])에서 유래한다. 이 가운데 [[리 군]]을 이루지 않는 것은 7차원 초구 밖에 없다. (이는 [[팔원수]]가 [[결합 법칙]]을 따르지 않기 때문이다.)

구체적으로, 단위 팔원수의 다양체
:<math>\mathbb S^7 = \{a\in\mathbb O \colon |a|=1\}</math>
에서, 임의의 점 <math>a</math>의 접공간은
:<math>\{a+b\in\mathbb O \colon a \perp b\}</math>
이다. 여기서 수직 조건은
:<math>\operatorname{Re}(a^* b) = 0</math>
으로 적을 수 있다. 즉
:<math>a^*b + b^*a = 0</math>
이다. 여기서
:<math>b = (a^*)^{-1}c</math>
로 치환하면
:<math>a^*((a^*)^{-1}c) + (c^*a^{-1})a = 0</math>
이다. 팔원수는 [[교대 대수]]이므로, 이는
:<math>c + c^* = 0</math>
이다. 즉, <math>c</math>는 순허수 팔원수이다. 이로서 단위 팔원수의 다양체 <math>\mathbb S^7</math>의 접공간은 표준적으로 순허수 팔원수의 공간과 동형이며, 이에 따라 7차원 초구는 [[평행화 가능 다양체]]이다.

=== 미분 형식 ===
[[호프 올다발]] <math>\operatorname{SU}(2)\hookrightarrow\mathbb S^7 \twoheadrightarrow \mathbb S^4</math>로 인하여, <math>\mathbb S^4</math>의 [[부피 형식]]을 <math>\mathbb S^7</math>로 당길 수 있다. 이는 4차 [[완전 미분 형식]]을 이루며, 이는 <math>\mathbb S^7</math>의 G₂ 구조의 일부이다. 이는 정의에 따라 <math>\operatorname{SU}(2)</math>의 작용에 대하여 불변이다.

보다 구체적으로, 순허수 [[팔원수]]의 곱셈에 의하여 7차원 유클리드 공간에는 반대칭 쌍선형 연산
:<math>(\times)\colon \mathbb R^7 \times \mathbb R^7 \to \mathbb R^7</math>
이 존재한다. 노름을 사용하여, 이를 <math>\mathbb R^7</math> 위의 [[3차 미분 형식]]
:<math>\varphi\in \bigwedge^3 \mathbb R^7</math>
:<math>\varphi(u,v,w) = \langle u,v\times w\rangle</math>
으로 놓을 수 있다. 이제, 팔원수 공간
:<math>\mathbb O = \mathbb R \oplus \mathbb R^7</math>
위에 다음과 같은 [[4차 미분 형식]]을 정의하자.
:<math>\Phi = \mathrm dx \wedge \pi^*\varphi + \pi^*(\star\varphi)</math>
여기서
* <math>\star\varphi \in \textstyle\bigwedge^4\mathbb R^7</math>는 <math>\varphi</math>의 [[호지 쌍대]]이다.
* <math>\pi \colon \mathbb O \twoheadrightarrow \mathbb R^7</math>는 팔원수의 실수 성분을 0으로 놓는 사영 사상이다.
* <math>\pi^*</math>는 <math>\mathbb R^7</math> 위에 정의된 미분 형식을 <math>\mathbb O</math> 위로 당기는 연산이다.
이는 자기 쌍대 미분 형식이다.
:<math>\Phi = \star \Phi</math>
자기 쌍대성에 의하여, 이는 다음과 같은 꼴을 갖는다.
:<math>\Phi \restriction (\mathbb O \setminus\{0\}) = r^3 \wedge \phi + r^4 \star_{\mathbb S^7} \phi</math>
여기서 <math>r \colon \mathbb O \to [0,\infty)</math>는 팔원수의 노름 좌표이다. 이에 따라서, 단위 팔원수의 공간 <math>\mathbb S^7</math> 위에 [[3차 미분 형식]]
:<math>\phi \in \Omega^3(\mathbb S^7)</math>
을 정의할 수 있다. 이는
:<math>\mathrm d\phi = 4\star \phi</math>
를 따르며, <math>\mathbb S^7</math> 위의 G₂ 구조를 정의한다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1006.0361|제목=Associative submanifolds of the 7-Sphere|이름=Jason D.|성=Lotay|언어=en}}</ref>

<math>\phi</math>는 [[닫힌 미분 형식]]이 아니므로, 7차원 초구는 사실 실제 G₂ 다양체를 이루지는 않는다. (7차원 초구의 홀로노미는 [[대칭 공간]] <math>\mathbb S^7 = \operatorname{SO}(8)/\operatorname{SO}(7)</math>에 의하여 <math>\operatorname{SO}(7)</math>이며, 이는 <math>G_2</math>보다 더 크다.)

=== 매끄러움 구조 ===
4차원을 제외하면, 표준적 [[초구]]와 [[위상 동형]]이지만 [[미분 동형]]이 아닌 [[매끄러운 다양체]]가 존재하는 최초의 차원은 7차원이다. 7차원 초구와 위상 동형인 [[매끄러운 다양체]]들의 ([[미분 동형]]류의) 집합은 [[연결합]]에 대하여 [[가환 모노이드]]를 이루며, 이는 28차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(28)</math>과 동형이다. 즉, 표준적인 7차원 초구를 제외하면 총 27개의 '''이색적 7차원 초구'''({{llang|en|exotic 7-sphere}})가 존재한다.

예를 들어, <math>\operatorname{Sp}(2) = \operatorname{USp}(4) \cong \operatorname{Spin}(5)</math> 위의 <math>\operatorname{Sp}(1)</math>의 다음과 같은 [[군의 작용|작용]]을 생각하자.
:<math>\operatorname{Sp}(1) \times \operatorname{Sp}(2) \to \operatorname{Sp}(2)</math>
:<math>q \cdot M = \begin{pmatrix}
q&0\\
0&q
\end{pmatrix}
M
\begin{pmatrix}
\bar q&0\\
0&1
\end{pmatrix}
\qquad(q\in\mathbb H,\;\|q\|=1,\;M\in\operatorname{Sp}(2) \subset\operatorname{Mat}(2,2;\mathbb H))
</math>
그렇다면, 이에 대한 궤도의 공간은 10−3 = 7차원 [[매끄러운 다양체]]를 이룬다. 이는 7차원 초구와 [[위상 동형]]이지만 [[미분 동형]]이 아니다. 이를 '''그로몰-마이어 초구'''({{llang|en|Gromoll–Meyer sphere}})라고 한다.<ref>{{저널 인용|이름=Detlef|성= Gromoll|이름2= Wolfgang|성2= Meyer|제목= An exotic sphere with nonnegative sectional curvature |저널=Annals of Mathematics |권=100|호=2|날짜=1974-09|쪽=401–406|jstor=1971078|doi=10.2307/1971078|언어=en}}</ref>

=== 호모토피 군 ===
초구의 15차 이하의 [[호모토피 군]] 가운데 [[자명군]]이 아닌 것은 다음과 같다.
:<math>\pi_7(\mathbb S^7) \cong \mathbb Z</math>
:<math>\pi_8(\mathbb S^7) \cong \pi_9(\mathbb S^7) \cong \pi_{13}(\mathbb S^7) \cong \mathbb Z/(2)</math>
:<math>\pi_{10}(\mathbb S^7) \cong \mathbb Z/(24)</math>
:<math>\pi_{14}(\mathbb S^7) \cong \mathbb Z/(120)</math>
:<math>\pi_{15}(\mathbb S^7) \cong (\mathbb Z/(2))^3</math>

== 역사 ==
7차원 초구가 여러 개의 [[매끄러움 구조]]를 갖는다는 사실은 [[존 밀너]]가 1956년에 최초로 증명하였다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=7-sphere}}
* {{nlab|id=exotic 7-sphere|title=Exotic 7-sphere}}
* {{nlab|id=Gromoll-Meyer sphere}}

[[분류:다양체]]