6차원 회전군 문서 원본 보기

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[[리 군론]]에서 '''6차원 회전군'''(六次元回轉群, {{llang|en|six-dimensional rotation group}})은 6차원 [[유클리드 공간]]의, 원점을 보존하는 [[등거리 변환]]의 군 O(6) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 [[복소수]]의 4×4 [[특수 유니터리 군]]으로도 나타내어질 수 있다.

== 정의 ==
'''6차원 회전군'''은 6차원 실수 계수 [[직교군]] <math>\operatorname O(6;\mathbb R)</math>이다. 그 [[딘킨 도표]]는
:<math>\bullet - \bullet - \bullet </math>
이다.

6차원 [[스핀 군]]은 4차원 [[특수 유니터리 군]] SU(4)와 동형이다.
:<math>\operatorname{Spin}(6) \cong \operatorname{SU}(4)</math>
즉, <math>\operatorname{SO}(6;\mathbb R)</math>는 <math>\operatorname{SU}(4) / (\mathbb Z/2)</math>이다.

그 실수 형태는 다음 다섯 가지가 있다.

{| class=wikitable
! [[킬링 형식]]의 부호수 !! 기호 !! 직교군 기호 !! 유니터리·선형군 기호 !! [[사타케 도표]] !! [[보건 도표]] !! 비고
|-
| (0,15) || || Spin(6) || SU(4) || <math>\bullet-\bullet-\bullet</math> || <math>\circ-\circ-\circ</math> || 콤팩트 형태
|-
| (5,10) || A₃Ⅱ, D₃Ⅱ || Spin(1,5) || <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb H) = \operatorname{SU}^*(4)</math> || <math>\bullet-\circ-\bullet</math> || <math>\underbrace{\circ-\circ-\circ}</math>
|-
| (8,7) || A₃Ⅲ, D₃Ⅱ || Spin(2,4) || SU(2,2) || <math>\underbrace{\circ-\circ-\circ}</math> || <math>\circ-\bullet-\circ</math>
|-
| (9,6) || A₃Ⅰ, D₃Ⅰ || Spin(3,3) || <math>\operatorname{SL}(4;\mathbb R)</math> || <math>\circ-\circ-\circ</math> || <math>\underbrace{\circ-\bullet-\circ}</math> || 분할 형태
|-
| (10,5) || A₃Ⅲ, D₃Ⅲ || SO*(6) || SU(3,1) || <math>\underbrace{\circ-\bullet-\circ}</math> || <math>\bullet-\circ-\circ</math>
|}

[[사타케 도표]]에서, 중괄호 (<math>\underbrace{\color{White}m}</math>)는 화살표(<math>\leftrightarrow</math>)를 나타낸다.

== 성질 ==
=== 콤팩트 형태 ===
Spin(6)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 8차원 [[마요라나 스피너]]이다. 이 표현은 SU(4)의 정의(定義) 표현 <math>\mathbf4</math> 및 그 복소수 켤레 <math>\overline{\mathbf4}</math>에 해당한다.

마찬가지로, SO(6)의 정의(定義) 표현인 6차원 실수 표현 <math>\mathbf6</math>은 실수 조건을 가한 SU(4)의 반대칭 2차 텐서에 해당한다.

Spin(6)의 [[군의 중심]]은 크기 4의 [[순환군]]이다. <math>\operatorname{SU}(4)</math>에서, 이는
:<math>\{\mathrm i^a1_{4\times4}\colon a\in\{0,1,2,3\}\} \subsetneq\operatorname{SU}(4)</math>
에 해당한다. 이 중심은 [[몫군]] <math>\operatorname{SO}(6)</math>에서 크기 2의 부분군이 되며, 이는 마찬가지로 <math>\{\pm1_{6\times 6}\}</math>에 해당한다.

=== 분할 형태 ===
Spin(3,3)의 [[군의 중심]]은 크기 2의 [[순환군]]이다. <math>\operatorname{SL}(4;\mathbb R)</math>에서, 이는
:<math>\{\pm1_{4\times4}\} \subsetneq\operatorname{SL}(4;\mathbb R)</math>
에 해당한다.

Spin(3,3)의 최소 스피너는 4차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 <math>\operatorname{SL}(4;\mathbb R)</math>의 정의 표현 및 그 쌍대 표현에 해당한다. SO(3,3)의 6차원 정의 표현은 <math>\operatorname{SL}(4;\mathbb R)</math>의 반대칭 2차 텐서 표현에 해당한다.

:{| class=wikitable
! 실수 차원 !! Spin(3,3) 묘사 !! <math>\operatorname{SL}(4;\mathbb R)</math> 묘사 !! <math>\operatorname{SL}(4;\mathbb R)</math> [[영 타블로]]
|-
| 4 || 오른쪽 마요라나-바일 스피너 || 벡터 (정의 표현) 
| style="line-height:1" | □
|-
| 4′ || 왼쪽 마요라나-바일 스피너 || (0,1)-텐서 (쌍대 벡터)  
| style="line-height:1"| □<br>□<br>□
|-
| 6 || 벡터 (정의 표현) || 반대칭 2-텐서 
| style="line-height:1"| □<br>□
|-
| 10 || 자기 쌍대 3-텐서 || 대칭 (2,0)-텐서 
| style="line-height:1"| □□
|-
| 10′ || 자기 반쌍대 3-텐서 || 대칭 (0,2)-텐서 
| style="line-height:1"| □□<br>□□<br>□□
|-
| 15 || 반대칭 2-텐서 ([[딸림표현]]) || 무대각합 (1,1)-텐서 ([[딸림표현]])
| style="line-height:1"| □□<br>□<br>□
|-
| 20 || 대칭 무대각합 2-텐서 || 대칭-반대칭 4-텐서
| style="line-height:1"| □□<br>□□
|-
| 20′ || 오른손 벡터-스피너 || 대칭-반대칭 (3,0)-텐서
| style="line-height:1"| □□<br>□
|-
| 20″ || 왼손 벡터-스피너 || 대칭-반대칭 (0,3)-텐서
| style="line-height:1"| □□<br>□□<br>□
|-
| 20‴ || 자기 쌍대 3-텐서-스피너 || 완전 대칭 (3,0)-텐서
| style="line-height:1" | □□□
|-
| 20⁗ || 자기 반쌍대 3-텐서-스피너 || 완전 대칭 (0,3)-텐서
| style="line-height:1" | □□□<br>□□□<br>□□□
|}

이들의 텐서곱은 다음과 같다.
:<math>\mathbf4\otimes\mathbf4 = \mathbf4'\otimes\mathbf4' = \mathbf6\oplus\mathbf{10}</math>
:<math>\mathbf4\otimes\mathbf4' = \mathbf1\oplus\mathbf{15}</math>
:<math>\mathbf4\otimes\mathbf6 = \mathbf4' \oplus \mathbf{20}'</math>
:<math>\mathbf4'\otimes\mathbf6 = \mathbf4 \oplus \mathbf{20}''</math>

=== SO(1,5) ===
Spin(1,5)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이며, [[마요라나 스피너]]는 존재하지 않는다. 이는 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb H)</math>의 [[사원수]] 2차원 정의 표현 (또는 <math>\operatorname{SU}^*(4)</math>의 4차원 복소수 정의 표현)에 해당한다.

Spin(1,5)의 6차원 실수 정의 표현은 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb H)</math>에서 사원수 2-텐서 가운데, 어떤 복소수 기저에서도 반대칭 2-텐서가 되는 것들의 표현이다. (사원수는 비가환이므로, 복소수 기저를 고르지 않고서는 (반)대칭성을 논할 수 없다.)

=== SO(2,4) ===
Spin(2,4)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 및 [[마요라나 스피너]]이다. 이는 <math>\operatorname{SU}(2,2)</math>의 4차원 정의 표현 및 그 복소수 켤레에 해당한다.

=== SU(1,3) ===
<math>\operatorname{SO}^*(6)</math>은 실수 6차원 정의 표현을 갖는다. 이는 <math>\operatorname{SU}(1,3)</math>의 반대칭 2-텐서 표현이다.

또한, <math>\operatorname{SU}(1,3)</math>의 복소수 4차원 정의 표현 및 그 켤레는 <math>\operatorname{SO}^*(6)</math>의 왼쪽과 오른쪽 “바일 스피너”에 해당한다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용 | url=http://www.ejtp.com/articles/ejtpv10i28p9.pdf | 제목=Lie algebra and representation of SU(4) | 저널=Electronic Journal of Theoretical Physics | 권=10 | 호=28 | 날짜=2013 | 쪽=9–26 | issn=1729-5254 | 이름1=Mahmoud A. A. | 성1=Sbaih | 이름2=Moeen K. H. | 성2=Srour | 이름3=M. S. | 성3=Hamada | 이름4=H.M. | 성4=Fayad | 언어=en | 확인날짜=2018-02-03 | 보존url=https://web.archive.org/web/20180423023910/http://www.ejtp.com/articles/ejtpv10i28p9.pdf | 보존날짜=2018-04-23 | url-status=dead }}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www-users.math.umn.edu/~garrett/m/v/sporadic_isogenies.pdf | 제목=Sporadic isogenies to orthogonal groups | 이름=Paul | 성=Garrett | 날짜=2015-05-07 | 언어=en}}

[[분류:리 군]]