6차원 초구 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서 '''6차원 초구'''(六次元超球, {{llang|en|6-sphere}})는 7차원 유클리드 공간 속의, 원점에서 같은 거리에 있는 점으로 구성된 [[다양체]]이다. 6차원 초구는 [[동차 공간]] [[G₂]]/[[SU(3)]]로 구성될 수 있으며, 이에 따라 [[개복소다양체]]를 이룬다.

== 정의 ==
'''6차원 초구'''는 7차원 [[유클리드 공간]] 속의, 단위 노름의 벡터로 구성된 [[매끄러운 다양체]]이다. 이 위에는 표준적인 [[리만 계량]]이 존재한다.

6차원 초구는 다음과 같이 [[대칭 공간]]을 이룬다.
:<math>\mathbb S^6 \cong \operatorname{SO}(7) / \operatorname{SO}(6)</math>
:<math>\mathbb S^6 \cong G_2/\operatorname{SU}(3) </math><ref name="Yokota">{{저널 인용|제목=Exceptional Lie groups|이름=Ichiro|성=Yokota|arxiv=0902.0431|bibcode=2009arXiv0902.0431Y|날짜=2009-02|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 1.9.2}}<ref name="FI"/>

6차원 초구는 또한 순허수 [[팔원수]] 가운데 [[절댓값]]이 1인 것들의 공간으로 여길 수 있다.
:<math>\mathbb S^6 \cong \{x\in\mathbb O\colon \bar x = -x,\;|x|=1\}</math>

== 성질 ==
=== 개복소구조 ===
[[SU(3)]]의 작용으로 인하여, 6차원 초구는 표준적으로 [[개복소다양체]]를 이룬다.<ref>{{저널 인용|제목=''S''<sup>6</sup> and the geometry of nearly Kähler 6-manifolds|이름=Ilka|성=Agricola|이름2=Aleksandra|성2=Borówka|이름3=Thomas|성3=Friedrich|날짜=2018-04|arxiv=1707.08591|doi=10.1016/j.difgeo.2017.10.007|저널=Differential Geometry and its Applications|권=57|쪽=75–86|언어=en}}</ref> 즉, [[대칭 공간]] <math>\mathbb S^6 \cong G_2/\operatorname{SU}(3)</math>에 의하여, 임의의 점 <math>x\in \mathbb S^6</math>에서 포함 관계 <math>\operatorname{SU}(3) \hookrightarrow \operatorname{SO}(\mathrm T_x\mathbb S^6) \cong \operatorname{SO}(6)</math>가 존재하며, 이는 각 [[접공간]] 위에 [[복소수 내적 공간]]의 구조를 정의한다. 그러나 이 경우 [[네이엔하위스 텐서장]]이 0이 아니어서 이는 [[복소다양체]]가 아니다.

팔원수로서, 점 <math>x \in \mathbb O</math>에서의 접다발은 순허수 [[팔원수]] 가운데 <math>x</math>와 수직인 것의 공간이다. 이 경우 [[개복소구조]]는 <math>x</math>에 의한 곱셈에 해당한다.

6차원 초구가 [[복소다양체]]를 이룰 수 있는지 여부는 현재 (2019년) 유명한 미해결 난제이다.<ref>{{저널 인용|제목=
S.-S. Chern’s study of almost-complex structures on the six-sphere|날짜=2014|이름=Robert L.|성=Bryant|arxiv=1405.3405|bibcode=2014arXiv1405.3405B|언어=en}}</ref>

=== 호모토피 군 ===
6차원 초구의 15차 이하의 [[호모토피 군]] 가운데 [[자명군]]이 아닌 것은 다음과 같다.
:<math>\pi_6(\mathbb S^6) \cong \pi_{11}(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(\infty)</math>
:<math>\pi_7(\mathbb S^6) \cong \pi_8(\mathbb S^6) \cong \pi_{12}(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(2)</math>
:<math>\pi_9(\mathbb S^6) \cong \operatorname{Cyc}(24)</math>
:<math>\pi_{13}(\mathbb S^7) \cong\operatorname{Cyc}(60)</math>
:<math>\pi_{14}(\mathbb S^7) \cong \operatorname{Cyc}(24)\oplus\operatorname{Cyc}(2)</math>
:<math>\pi_{15}(\mathbb S^7) \cong \operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)</math>
여기서 <math>\operatorname{Cyc}(k)</math>는 <math>k</math>차 [[순환군]]이다.

== 역사 ==
1955년에 후카미 데쓰조({{llang|ja|{{ruby-ja|深見 哲造|ふかみ てつぞ}}}})와 이시하라 시게루({{llang|ja|{{ruby-ja|石原 繁|いしはら しげる}}}})가 6차원 초구가 [[G₂]]/[[SU(3)]]이며, [[개복소다양체]]를 이룬다는 것을 증명하였다.<ref name="FI">{{저널 인용|이름=Tetsuzo|성=Fukami|이름2= Shigeru|성2= Ishihara|제목=Almost Hermitian structure on S<sup>6</sup>|저널=Tohoku Mathematical Journal|권= 7|호=3|날짜=1955|쪽= 151–156|doi=10.2748/tmj/1178245052|mr=77988|zbl=0068.36001|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=6-sphere}}
* {{nlab|id=G2/SU(3) is the 6-sphere}}

[[분류:다양체]]