3차원 특수 유니터리 군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[리 군론]]에서 '''3차원 [[특수 유니터리 군]]''' SU(3)는 [[행렬식]]이 1인 3×3 [[유니터리 행렬]]들의 [[리 군]]이다.<ref>{{저널 인용|제목=The algebra and geometry of SU (3) matrices|저널=Pramana|날짜=1997-10|쪽=371–383|권=49|호=4|이름=K. S.|성=Mallesh|이름2=N.|성2=Mukunda|issn=0304-4289|url=http://www-old.ias.ac.in/jarch/pramana/49/00000378.pdf|언어=en|확인날짜=2017-12-10|보존url=https://web.archive.org/web/20171210232134/http://www-old.ias.ac.in/jarch/pramana/49/00000378.pdf|보존날짜=2017-12-10|url-status=dead}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Formulas for SU(3) matrices|이름=Richard|성=Shurtleff|arxiv=0908.3864|bibcode=2009arXiv0908.3864S|언어=en|날짜=2009}}</ref>

== 정의 ==
[[단순 리 군]]의 분류에서, <math>\mathsf A_2</math>형의 [[딘킨 도표]]는 콤팩트 [[리 군]] <math>\operatorname{SU}(3)</math> 또는 <math>\operatorname{SL}(3;\mathbb R) = \operatorname{SU}(1,2)</math>에 대응한다.

이는 다음과 같은 실수 형식을 갖는다.
{| class=wikitable
! 기호 !! 설명 !! [[기본군]] !! [[군의 중심|중심]] !! 극대 콤팩트 부분군 !! [[사타케 도표]] !! [[보건 도표]]
|-
| SU(3) || [[단일 연결]] 콤팩트 형식 || [[자명군|0]] || [[순환군|Cyc(3)]] || SU(3)
| rowspan=2 | <math>\bullet-\bullet</math>
| rowspan=2 | <math>\circ-\circ</math>
|-
| PSU(3) || 무중심 콤팩트 형식 || [[순환군|Cyc(3)]] || [[자명군|0]] || PSU(3)
|-
| SL(3;ℝ) || 분할 형식 || [[자명군|0]] || [[순환군|Cyc(2)]] || SO(3;ℝ)
|rowspan=2 | <math>\circ-\circ</math>
| rowspan=2 | <math>\underbrace{\circ-\circ}</math>
|-
| <math>\operatorname{\widetilde{SL}}(3;\mathbb R)</math> || 분할 형식 ||[[순환군|Cyc(2)]] || [[자명군|0]] || [[스핀 군|Spin(3)]]
|-
| SU(1,2) || || [[순환군|Cyc(∞)]] || [[순환군|Cyc(3)]] || [[유니터리 군|U(2)]]
| rowspan=3 | <math>\underbrace{\circ-\circ}</math>
| rowspan=3 | <math>\bullet-\circ</math>
|-
| PSU(1,2) || || [[순환군|Cyc(∞)]]⊕[[순환군|Cyc(3)]] || [[자명군|0]] || PU(2)
|-
| <math>\operatorname{\widetilde{SU}}(1,2)</math> || ||[[자명군|0]] || [[순환군|Cyc(∞)]]⊕[[순환군|Cyc(3)]] || <math>\operatorname{\tilde U}(2)</math>
|}

== 성질 ==
=== 위상수학적 성질 ===
<math>\operatorname{SU}(3)</math>는 8차원 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 다양체]]이다.

=== 표현론 ===
SU(3)은 정의 표현 <math>\mathbf3</math> 및 그 복소수 켤레 <math>\bar{\mathbf3}</math> 및 [[딸림표현]] <math>\mathbf8</math>을 갖는다. 이들 사이의 관계는 다음과 같다.
:<math>\mathbf3\otimes\bar{\mathbf3}=\mathbf8\oplus\mathbf1</math>
:<math>\mathbf3\otimes\mathbf3=\mathbf6\oplus\bar{\mathbf3}</math>
여기서 <math>\mathbf6</math>는 복소수 대칭 행렬에 해당한다.

SU(3)의 모든 표현은 두 자연수 <math>(p,q)</math>로 유일하게 결정되며, 이는 <math>\mathbf3^{\otimes p}\otimes \bar{\mathbf3}^{\otimes q}</math> 속의 최고 [[무게 (표현론)|무게]] 표현이다. <math>(p,q)</math>차 표현의 차원은
:<math>d(p,q)=\frac12(p+1)(q+1)(p+q+2)</math>
이다. <math>p</math>개의 길이 1의 열과 <Math>q</math>개의 길이 2의 열로 구성된 [[영 타블로]]에 대응된다. 이 가운데 <math>p=q</math>인 표현은 실수 표현이며, 아닌 경우는 복소수 표현이다. 복소수 표현의 켤레 표현은 <math>p</math>와 <math>q</math>를 맞바꾸는 것에 해당한다.

낮은 차원의 표현은 다음과 같다.
{| class=wikitable
|-
! 기호 || (''p'',q'') || 설명 || [[영 타블로]]
|-
| '''1''' || (0,0) || 자명한 표현 || 
|-
| '''3''' || (1,0) || 정의(定義) 표현
|style="line-height:1"| □
|-
| '''{{overline|3}}''' || (0,1) || 반정의(反定義) 표현
|style="line-height:1"| □<br>□
|-
| '''6''' || (2,0) ||
|style="line-height:1"| □□
|-
| '''{{overline|6}}''' || (0,2) ||
|style="line-height:1"| □□<br>□□
|-
| '''8''' || (1,1) || [[딸림표현]]
|style="line-height:1"| □□<br>□
|-
| '''10''' || (3,0) ||
|style="line-height:1"| □□□
|-
| '''{{overline|10}}''' || (0,3) ||
|style="line-height:1"| □□□<br>□□□
|-
| '''15''' || (2,1) || 
|style="line-height:1"| □□□<br>□
|-
| '''{{overline|15}}''' || (1,2) || 
|style="line-height:1"| □□□<br>□□
|-
| '''15′''' || (4,0) || 
|style="line-height:1"| □□□□
|-
| '''{{overline|15′}}''' || (0,4) || 
|style="line-height:1"| □□□□<br>□□□□
|-
| '''21''' || (5,0) ||
|style="line-height:1"| □□□□□
|-
| '''{{overline|21}}''' || (0,5) ||
|style="line-height:1"| □□□□□<br>□□□□□
|-
| '''24''' || (3,1) ||
|style="line-height:1"| □□□□<br>□
|-
| '''{{overline|24}}''' || (1,3) ||
|style="line-height:1"| □□□□<br>□□□
|-
| '''27''' || (2,2) ||
|style="line-height:1"| □□<br>□□
|}

=== 리 대수의 기저 ===
'''겔만 행렬'''(Gell-Mann行列, {{llang|en|Gell-Mann matrices}})은 특수 유니터리 [[리 대수]] [[SU(3)|<math>\mathfrak{su}(3)</math>]]의 [[기본 표현]]의 표준 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 이루는, 8개의 3×3 [[에르미트 행렬]]이다. (이는 [[파울리 행렬]]이 <math>\mathfrak{su}(2)</math>의 표준적인 생성원인 것과 같다.) 이들은 다음과 같다.

:{| 
|<math>\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> 
|<math>\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> 
|<math>\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> 
|-
|<math>\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> 
|<math>\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> 
|<math>\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math> 
|-
|<math>\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}</math> 
|<math>\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}</math>
|
|}
이들은
:<math>\operatorname{tr}(\lambda_i\lambda_j)=2\delta_{ij}</math>
:<math>\sum_{i=1}^8\lambda_i\lambda_i = \frac{16}31_{3\times3}</math>
를 만족시키며, 이 경우, 구조 상수
:<math>[\tfrac12\lambda_i,\tfrac12\lambda_j]=\tfrac12\mathrm if_{ijk}\lambda_k</math>
는 다음과 같다.
:<math>f_{123}=1</math>
:<math>f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}=\frac12</math>
:<math>f_{458}=f_{678}=\frac12\sqrt3</math>
나머지 구조 상수들은 0이다. (즉, <math>8\times7\times6/6!=56</math>개의 구조 상수 가운데 9개만이 0이 아니다.) 특히, 구조 상수가 0이 아닐 [[필요 조건]]은 3개의 지표가 {2,5,7}의 원소를 홀수 개 (즉, 1개 또는 3개) 포함해야 한다는 것이다.

== 역사 ==
겔만 행렬은 [[쿼크]] 모형을 개발하기 위하여 [[머리 겔만]]이 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Gell-Mann|이름=M.|날짜=1962|제목=Symmetries of baryons and mesons|저널=Physical Review|권=125|호=3|쪽=1067|언어=en}}</ref>

== 응용 ==
SU(3)은 3개의 맛깔의 [[쿼크]](u, d, s)에 대한 맛깔 대칭의 [[리 군]]으로서 이론물리학에 등장하며, [[강입자]]들은 그 유한 차원 표현을 이룬다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용 |url=https://workspace.imperial.ac.uk/theoreticalphysics/public/MSc/PartSymm/SU(3)Notes.pdf |제목=Notes on SU(3) and the quark model |언어=en |확인날짜=2017년 12월 10일 |보존url=https://web.archive.org/web/20171211053326/https://workspace.imperial.ac.uk/theoreticalphysics/public/MSc/PartSymm/SU(3)Notes.pdf |보존날짜=2017년 12월 11일 |url-status=dead }}

[[분류:리 군]]