3차원 거울 대칭 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[이론물리학]]에서 '''3차원 거울 대칭'''(三次元거울對稱, {{llang|en|three-dimensional mirror symmetry}})은 서로 다른 저(低)에너지 묘사를 갖는 두 2+1차원 <math>\mathcal N=4</math> (또는 <math>\mathcal N=2</math>) [[초대칭 게이지 이론]]이 사실 같은 [[모듈라이 (물리학)|모듈라이 공간]] 위에 위치해 있게 되는 현상이다.<ref name="Intriligator-Seiberg"/>

== 정의 ==
2+1차원 <math>\mathcal N=4</math> (8개의 초전하) [[초대칭 게이지 이론]]을 생각하자. 이 경우, <math>\mathcal N=4</math> 초대칭 대수의 [[R대칭]]은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\operatorname{Spin}(4) = \operatorname{SU}(2)_{\text{L}} \times \operatorname{SU}(2)_{\text{R}}</math>
여기서 SU(2)<sub>R</sub>은 6차원 <math>\mathcal N=(1,0)</math>의 [[R대칭]]이며, SU(2)<sub>L</sub>은 6차원을 3차원으로 [[차원 축소]]하였을 때 얻어지는 SO(3) 로런츠 대칭이다.

3차원 <math>\mathcal N=4</math> 초대칭의 [[초다중항]]은 두 종류가 있다. (이는 4차원 <math>\mathcal N=2</math> 또는 6차원 <math>\mathcal N=(1,0)</math>의 차원 축소이다.)
* 벡터 초다중항({{llang|en|vector supermultiplet}}): 양-밀스 장 (스핀 1) + 스칼라장 3개 + 게이지노 (2개의 [[마요라나 스피너]])
** 이는 6차원 벡터 초다중항에서 유래하며, 스칼라장은 6차원 벡터의 축소화된 성분들이다. 따라서 세 복소수 스칼라장은 SU(2)<sub>L</sub>의 표현 '''3'''로서 변환한다.
** 아벨 게이지 군의 벡터 초다중항의 경우, 2+1차원에서는 쌍대화를 통해 하이퍼 초다중항과 동치이다. 그러나 이는 비아벨 게이지 군의 경우 성립하지 못한다.
** 벡터 초다중항의 스칼라장이 [[진공 기댓값]]을 가진다면, 일반적으로 게이지 군은 [[카르탕 부분군]]으로 깨지며, ([[쿨롱 법칙]]을 따르는) 아벨 게이지 군이 된다. 그 [[모듈라이 (물리학)|모듈라이 공간]]은 '''쿨롱 가지'''({{llang|en|Coulomb branch}})라고 한다.
* 하이퍼 초다중항({{llang|en|hypermultiplet}}): 스칼라장 4개 + 페르미온 (2개의 [[마요라나 스피너]])
** 이는 6차원 하이퍼 초다중항에서 유래한다. 따라서 두 [[복소수]] 스칼라장은 SU(2)<sub>L</sub>에 변환하지 않으며, SU(2)<sub>R</sub>에서 정의(定義) 표현 '''2'''로서 변환한다.
** 그 스칼라장이 [[진공 기댓값]]을 가진다면, 일반적으로 게이지 군은 [[힉스 메커니즘]]을 따라 전부 깨진다. 그 [[모듈라이 (물리학)|모듈라이 공간]]은 '''힉스 가지'''({{llang|en|Higgs branch}})라고 한다.

따라서, 어떤 주어진 이론을 힉스 · 쿨롱 가지를 통하여 어떤 모듈라이 공간을 따라 변화시킬 수 있다. 일부 경우, 같은 모듈라이 공간의 서로 다른 두 점 근처에서, 서로 다른 [[섭동 이론]]적 표현이 존재하게 된다. 특이, 이 경우 다음과 같은 대응이 존재하며, 이를 '''3차원 거울 대칭'''이라고 한다.
{| class=wikitable
|-
! 대상 !! 쌍대 대상
|-
| SU(2)<sub>L</sub> [[R대칭]]군 || SU(2)<sub>R</sub> [[R대칭]]군
|-
| 쿨롱 가지 진공 모듈러스 || 힉스 가지 진공 모듈러스
|-
| [[라그랑지언]]의 질량항 || [[페예-일리오풀로스 모형|페예-일리오풀로스 D항]]
|}
이는 낮은 에너지 극한에서 적용된다. 즉, 이들은 3차원 초등각 장론으로서 서로 동형이다.

== 끈 이론으로의 해석 ==
이 구성은 ⅡB종 [[끈 이론]]의 [[S-이중성]]으로 설명할 수 있다.<ref name="HW"/> 구체적으로, ⅡB종 초끈 이론에서, 다음과 같은 [[NS5-막]]과 [[D5-막]] 및 [[D3-막]]의 배치를 생각하자.
{| class=wikitable style="text-align: center"
! || 012 || 345 || 6 || 789
|-
! style="text-align: right" | NS5
| — || — || • || •
|-
! style="text-align: right" | D5
| — || • || • || —
|-
! style="text-align: right" | D3
| — || • || [—] || •
|}
이 경우, 10차원 로런츠 대칭은 <math>\operatorname{SO}(1,2)\times \operatorname{SO}(3)\times\operatorname{SO}(3)</math>으로 깨지게 된다. NS5-막들은 789-공간 속의 점에 위치해 있으며, D5-막들은 345-공간 속의 점에 위치해 있다. 위 표에서, D3-막은 <math>x^6</math> 방향에서 무한히 연장돼 있지 않고, 대신 유한한 폭을 갖는다. D3-막의 양끝은 NS5-막 또는 D5-막에 붙어 있다.

D3-막은 <math>x^6</math> 방향에서 유한한 폭을 가지므로, 이를 적분하여 2+1차원 [[유효 이론]]을 정의할 수 있으며, 이는 2+1차원 <math>\mathcal N=4</math> (8개 초전하) [[초대칭 게이지 이론]]을 이룬다. 이 경우, D3-막의 배열에 따라 다음과 같은 [[초다중항]]이 존재한다.

{| class=wikitable
! 끝 1 || 끝 2 || 무질량 초다중항 || 비고
|-
| NS5 (노이만) || NS5 (노이만) || 벡터
|-
| D5 (디리클레) || D5 (디리클레) || 하이퍼 || 
|-
| NS5 (노이만) || D5 (디리클레) || (없음) || 각 NS5–D5 쌍 사이에는 최대 1개의 D3-막이 존재할 수 있다 (s-규칙 {{llang|en|s-rule}})
|}

이 경우, 2+1차원 <math>\mathcal N=4</math> 초대칭 게이지 이론의 각 성질들은 ⅡB 초끈 이론과 다음과 같이 대응한다.

{| class=wikitable
! 2+1차원 <math>\mathcal N=4</math> 게이지 이론 !! ⅡB 초끈 이론
|-
| SO(1,2) 로런츠 군 || 012방항 로런츠 군
|-
| SU(2)<sub>L</sub> [[R대칭]] || 345방향 로런츠 군
|-
| SU(2)<sub>R</sub> [[R대칭]] || 789방향 로런츠 군
|-
| 벡터 초다중항 || NS5–NS5 사이의 D3-막
|-
| 하이퍼 초다중항 || D5–D5 사이의 D3-막
|-
| 전기 게이지 군 U(''N'') || 두 NS5-막 사이의, 겹친 ''N''개의 D3-막
|-
| 자기 게이지 군 U(''N'') || 두 D5-막 사이의, 겹친 ''N''개의 D3-막
|-
| 질량 간극을 갖는 U(1) 게이지장 || NS5-막과 D5-막 사이의 하나의 D3-막
|-
| 전기 [[결합 상수]] <math>1/g_{\text{e}}^2</math> || 두 NS5-막 사이의 거리 (×비례 상수)
|-
| 자기 [[결합 상수]] <math>1/g_{\text{m}}^2</math> || 두 D5-막 사이의 거리 (×비례 상수)
|-
| 거울 대칭 || [[S-이중성]] + 345방향을 789방향으로 바꾸는 시공간 회전
|-
| 쿨롱 가지 모듈라이 공간 || NS5-막 위의 [[자기 홀극]](붙은 D3-막)들의 모듈라이 공간 
|-
| 힉스 가지 모듈라이 공간 || D5-막 위의 자기 홀극들(붙은 D3-막)의 모듈라이 공간
|-
| 모듈라이 공간 속의 [[상전이]] || 분리된 D3-막이 서로 이어지거나, NS5-막/D5-막이 교차하면서 새 D3-막을 생성 ([[하나니-위튼 전이]])
|}

== 역사 ==
3차원 <math>\mathcal N=4</math> (8개 초전하) [[초대칭 게이지 이론]]에서의 거울 대칭은 케네스 인트릴리가토어({{llang|en|Kenneth Intriligator}})와 [[나탄 자이베르그]]가 1996년에 제안하였다.<ref name="Intriligator-Seiberg">{{저널 인용|arxiv=hep-th/9607207|bibcode=1996PhLB..387..513I|이름1=Kenneth|성1=Intriligator|이름2=Nathan|성2=Seiberg|저자링크2=나탄 자이베르그|날짜=1996|제목=Mirror symmetry in three dimensional gauge theories|doi=10.1016/0370-2693(96)01088-X|저널=Physics Letters B|권=387|쪽=513–519|언어=en}}</ref>

이후 아미하이 하나니({{llang|he|עַמִיחַי חַנַנִי}})와 [[에드워드 위튼]]은 곧 이는 IIB종 [[끈 이론]]의 [[S-이중성]]에서 비롯된다는 사실을 보였다.<ref name="HW">{{저널 인용|arxiv=hep-th/9611230|bibcode=1997NuPhB.492..152H|제목=Type IIB superstrings, BPS monopoles, and three-dimensional gauge dynamics|이름1=Amihay|성1=Hanany|이름2=Edward|성2=Witten|저자링크2=에드워드 위튼|날짜=1997-05-12|저널=Nuclear Physics B|권=492|호=1–2|쪽=152–190|언어=en}}</ref> 이 과정에서 하나니와 위튼은 [[하나니-위튼 전이]]를 발견하였으며, 이는 3차원 초대칭 게이지 이론 거울 대칭에 중요한 역할을 한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=3d mirror symmetry}}
* {{웹 인용|url=http://www.maths.liv.ac.uk/TheorPhys/RESEARCH/STRING_THEORY/2015/Slides/GiuliaFerlito.pdf | 제목=Coulomb branch and the moduli space of instantons|이름=Giulia|성=Ferlito|날짜=2015-03-24|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:초대칭]]
[[분류:끈 이론]]