11차원 초중력 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[이론물리학]]에서 '''11차원 초중력'''(十一次元超重力, {{llang|en|eleven-dimensional supergravity}})은 (10,1)차원에 정의되는 [[초중력]] 이론이다. 이 이상의 차원에서는 [[초대칭]]이 존재할 수 없으며, 11차원 초중력은 [[M이론]]의 무질량 입자 유효 이론이다.

== 정의 ==
11차원은 초대칭이 존재할 수 있는 (로런츠 [[계량 부호수]]) 최다(最多) 차원이다. 이는 12차원 이상인 경우에는 [[스핀 (물리학)|스핀]]이 2를 초과하는 입자들이 존재하게 되어, 상호작용하는 [[양자장론]]을 정의할 수 없기 때문이다. 11차원에서의 초대칭 이론은 (3차 이상 도함수항을 제외하면) 유일하며, 이 이론을 '''11차원 초중력'''이라고 한다.<ref>{{저널 인용|
제목=Basics of M-Theory|이름=André|성=Miemiec|저자2=Igor Schnakenburg|저널=Fortschritte der Physik|권=54|호=1|쪽=5–72|날짜=2006-01|doi=10.1002/prop.200510256|arxiv=hep-th/0509137|bibcode=2006ForPh..54....5M|언어=en}}</ref>

== 성질 ==
=== 대칭 ===
이 이론은 32개의 초전하({{lang|en|supercharge}})를 가지며, 이는 <math>\mathcal N=1</math> [[초대칭]]에 해당한다. 그 초대칭은 [[리 초대수]]
:<math>\mathfrak{osp}(1|32)</math>
에 의하여 주어진다. 그 가환 성분, 즉 [[R대칭군]]은 [[리 대수]]
:<math>\mathfrak o(32)</math>
이다. 11차원에서, 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 갖는데, [[R대칭]]은 이 위에 회전군으로 작용한다.

특히, 이 경우 그래비티노 초대칭 변환은
:<math>\delta_\epsilon\psi_M = D_M \epsilon - \frac1{12\cdot 4!} F_{NPQR}(\Gamma^{NPQR}{}_M - 8\delta^N_M\Gamma^{PQR}) \epsilon</math>
의 꼴이다.<ref name="CJS"/>{{rp|411}}<ref>{{저널 인용|제목=Basics of M-theory|이름=André|성=Miemiec|이름2=Igor|성2=Schnakenburg|doi=10.1002/prop.200510256|저널=Fortschritte der Physik|권=54|날짜=2006|쪽=5–72|언어=en}}</ref>{{rp|(3.10)}} 여기서
:<math>D_\mu \epsilon = \partial_\mu + \omega_\mu</math>
는 [[스핀 접속]]을 포함하는, 스피너 [[공변 미분]]이다.

<math>\delta_\epsilon = 0</math>은 일종의 킬링 스피너 방정식에 해당하며, 이 조건을 만족시키는 스피너장의 수는 초중력 배경이 보존하는 초대칭의 양이다.

=== 장 ===
11차원 초중력은 [[중력장]] <math>G_{MN}</math>과 마요라나 [[그래비티노]] <math>\psi_M</math>, 또 3차 [[미분형식 전기역학|미분형식 게이지장]] <math>C_{MNP}</math>를 포함한다. 이들은 다음과 같다.

{| class=wikitable
! 이름 !! 기호 !! [[푸앵카레 대칭]] 표현 !! 게이지 대칭
|-
| [[중력장]] || <math>G_{MN}</math> || 대칭 텐서 || [[미분 동형]]
|-
| 그래비티노 || <math>\psi_M</math> || 벡터-[[마요라나 스피너]] || 국소 초대칭 변환
|-
| [[미분 형식 전기역학|게이지장]] || <math>C_{MNP}</math> || [[3차 미분 형식]]
| <math>C_{MNP} \mapsto C_{MNP} + \mathrm d_{[M}B_{NP]}</math>
|}

=== 작용 ===
11차원 초중력의 작용은 다음과 같다.
: <math>
\begin{array}{rcl}
\mathcal L &=& +\frac{1}{2\kappa^2}eR-\frac12e\overline{\psi}_M\Gamma^{MNP}D_N[\frac12(\omega-\overline{\omega})]\psi_P\\
&&+\frac1{2\cdot4!}eF^2_{MNPQ}+\frac{\sqrt{2}\kappa}{16\cdot4!}e(\overline{\psi}_M\Gamma^{MNPQRS}\psi_S+12\overline{\psi}^N\Gamma^{PQ}\psi^R)(F+\overline{F})_{NPQR}\\
&&+\frac{\sqrt{2}\kappa}{4!\cdot4!\cdot3!}\varepsilon^{M_1\dots M_{11}}F_{M_1\dots M_4}F_{M_5\dots M_8}C_{M_9 M_{10} M_{11}}
\end{array}
</math>
여기서
* <math>M,N,\dotsc</math>는 11차원 굽은 공간 지표이다.
* <math>A,B,\dotsc</math>는 [[필바인]](11차원 [[민코프스키 공간]]) 지표이다. 
* <math>R</math>는 [[리치 스칼라]]이다.
* <math>e^A_M</math>은 필바인이며, <math>\eta_{AB}e^A_Me^B_N = G_{MN}</math>이 11차원 [[계량 텐서]]이다.
** <math>e = |\det(e^A_M)| =\sqrt{|\det g_{MN}|}</math>은 [[부피 형식]]이다. 
** <math>\omega</math>는 필바인으로 정의되는 [[스핀 접속]]이다.
* <math>F_{MNPQ} = \partial_{[M}C_{NPQ]}</math>는 <math>C</math>의 [[4차 미분 형식]] 장세기이다.
* <math>\epsilon^{M_1\dotsc M_{11}}</math>은 ([[천-사이먼스 이론|천-사이먼스 꼴]]의 항을 적기 위한) 11차원 [[레비치비타 기호]]이다.
* <math>\kappa =8\pi G</math>는 [[중력 상수]]의 8π배이다.

=== L∞-대수를 통한 구성 ===
다음과 같은 [[슈발레-에일렌베르크 대수]]를 갖는, <math>\mathbb N\oplus\mathbb Z/2</math> 등급의 (즉, [[초벡터 공간]] 범주에서 정의된) [[L∞-대수]]를 생각하자.<ref>{{저널 인용|arxiv=0801.3076|날짜=2008|이름=Pietro|성=Fré|이름2=Pietro Antonio|성2=Grassi|제목=Free differential algebras, rheonomy and pure spinors|url=https://archive.org/details/arxiv-0801.3076|언어=en}}</ref>{{rp|(3.2)}}

{| class=wikitable
! 이름 !! 기호 !! <math>\mathbb N\oplus\mathbb Z/2</math> 등급 !! 미분 
|-
| [[필바인]] || <math>e^a</math> || (1,+) ||  <math>\mathrm de^a = \omega^a{}_b\wedge e^b + \tfrac12 \mathrm i\bar\psi\gamma^a\psi</math>
|-
| [[스핀 접속]] || <math>\omega^{ab}</math> || (1,+) || <math>\mathrm d\omega^a{}_c = \omega^a{}_b \wedge \omega^b{}_c</math>
|-
| [[그래비티노]] || <math>\psi</math> || (1,−) || <math>\tfrac14\omega^a{}_b\gamma_a{}^b\psi</math>
|-
| 3차 [[미분 형식 전기역학|미분 형식]] (전기) 게이지 장 || <math>C_3</math> || (3,+) || <math>\tfrac12\bar\psi\gamma_{ab}\wedge\psi\wedge e^a \wedge e^b</math>
|-
| 6차 [[미분 형식 전기역학|미분 형식]] (자기) 게이지 장 || <math>C_6</math> || (6,+) || <math>\mathrm dC_6 = -\tfrac12\bar\psi\wedge\gamma_{a_1\dotso a_5}\wedge e^{a_1}\wedge\dotsb\wedge e^{a_5} - \tfrac{13}2\bar\psi\gamma_{ab}\wedge e^a\wedge e^b\wedge C_3</math>
|}

이 [[L∞-대수]] <math>\mathfrak{sugra}</math>를 '''초중력 L∞-대수'''라고 한다. 이 가운데, <math>\psi</math>와 <math>C_3</math>, <math>C_6</math>를 생략하면, [[푸앵카레 군|푸앵카레]] [[리 대수]] <math>\mathfrak{io}(10,1)</math>을 얻는다.

이제, 그 베유 대수({{llang|en|Weil algebra}})
:<math>\operatorname W(\mathfrak{sugra}) = \bigvee(\mathfrak g^*\oplus \mathfrak g[1])</math>
를 정의할 수 있다. 이는 <math>\mathbb N\oplus\mathbb Z/2</math>-등급 [[미분 등급 대수]]이다.

시공간이 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>이라고 할 때, 그 위의 초중력 장들은 다음과 같다.
:<math>\operatorname W(\mathfrak{sugra})\to \Omega(M)</math>

이제, 베유 대수에서 다음과 같은 장세기들을 정의할 수 있다.
:<math>\mathrm d_{\mathrm W}e^a </math> ([[비틀림 텐서]])
:<math>\mathrm d_{\mathrm W}C_3 </math>
:<math>\mathrm d_{\mathrm W}C_6 + 15 (\mathrm d_{\mathrm W}C_3)\wedge C_3</math>
:<math>\mathrm d_{\mathrm W}\psi </math>
:<math>\mathrm d_{\mathrm W}\omega^{ab} </math> ([[리치 곡률 텐서]]의 일반화)

11차원 초중력의 (고전적) 장방정식들이 만족시켜질 [[필요 충분 조건]]은
# 이 대상들이 <math>e^a</math>와 <math>\psi</math>로 생성되는 [[아이디얼]]에 속하며,
# <math>\psi</math>를 포함하는 항들의 ([[미분 형식]]) 계수는 <math>e</math>만을 포함하는 항의 계수의 ([[쐐기곱]]에 대한) [[다항식]]이어야 한다.
즉, 예를 들어, <Math>C_3</math>의 경우, 다음과 같은 [[4차 미분 형식]] <math>G_4 \in \Omega^4(M;\mathbb R)</math>이 존재하여야 한다.
:<math>\mathrm d_{\mathrm W}C_3 = (G_4)_{abcd}e^a\wedge e^b\wedge e^c\wedge e^d</math>
이러한 꼴의 조건을 '''리오노미'''({{llang|en|rheonomy}})라고 한다.

=== 차원 축소 ===
11차원 초중력을 낮은 차원으로 차원 축소를 가하면, 다음과 같은 이론들을 얻는다.

{| class=wikitable
|-
! 차원 !! 이론
|-
| 11 || 11차원 초중력
|-
| 10 || ⅡA형 (<math>\mathcal N=(1,1)</math>) 초중력
|-
| 9 || <math>\mathcal N=2</math> 초중력
|-
| 8 || <math>\mathcal N=2</math> 초중력
|-
| 7 || <math>\mathcal N=2</math> 초중력
|-
| 6 || <math>\mathcal N=(2,2)</math> 초중력
|-
| 5 || <math>\mathcal N=4</math> 초중력
|-
| 4 || <math>\mathcal N=8</math> 초중력
|}

=== E₇과의 관계 ===
11차원 초중력을
:<math>\mathbb R^{10,1} = \mathbb R^{3,1}\times\mathbb R^7</math>
:<math>z^M = (x^\mu, y^m)</math>
위에 정의하자 ([[차원 축소]]). 그렇다면, 초중력의 보손 장 ([[계량 텐서]] <math>G</math>와 [[게이지 장]] <math>C</math>)은 다음과 같이 분해된다.
:<math>G_{MN} = \begin{pmatrix}
G_{\mu\nu} & G_{m\mu} \\
G_{m\mu} & G_{mn}
\end{pmatrix}</math>
:<math>A_{MNP} = \left(
A_{mnp}, A_{\mu mn}, A_{\mu\nu m}, A_{\mu\nu\rho}
\right)</math>
이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다.
{| class=wikitable style="text-align: center"
! (10,1)차원 !! (3,1)+7차원 !! (3,1)차원 (유사)스칼라장의 수 !! (3,1)차원 벡터장의 수 !! (3,1)차원 텐서장의 수
|-
| rowspan=3 | <math>G_{MN}</math> || <math>G_{\mu\nu}</math> || — || — || 1
|-
| <math>G_{\mu m}</math> || — || 7 || —
|-
| <math>G_{mn}</math> || 28 || — || —
|-
| rowspan=4 | <math>C_{MNP}</math> || <math>C_{\mu\nu\rho}</math> || — || — || —
|-
| <math>C_{m\mu\nu}</math> || 7 || — || —
|-
| <math>C_{mn\mu}</math> || — || 21 || —
|-
| <math>C_{mnp}</math> || 35 || — || —
|-
! colspan=2 | 계 || 70 || 28 || 1
|}

이제, 위 장들 가운데, 38+35개의 스칼라장 <math>(G_{mn},C_{mnp})</math> 및 
:<math>\partial_\mu\phi_m = \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\nu C_{\rho\sigma m}</math>
에 의하여 정의되는 7개의 스칼라장 <math>\phi_m</math>을 생각하자. 이들은 총 70개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 [[동차 공간]]
:<math>\operatorname E_{7(7)} / \operatorname{SU}(8)</math>
의 좌표를 이룬다.<ref name="CJ">{{저널 인용|제목=The SO(8) supergravity | 이름=Eugène | 성=Cremmer | 이름2=Bernard | 성2=Julia | doi= 10.1016/0550-3213(79)90331-6 | 저널=Nuclear Physics B | 권=159 | 호=1–2 | 날짜=1979-11-12 | 쪽=141–212 | 언어=en}}</ref> 여기서 <math>\operatorname E_{7(7)}</math>은 [[리 군]] [[E₇]]의 분할 형태이며, SU(8)은 [[특수 유니터리 군]]이다.

==== 스칼라장과 유사스칼라장 ====
28개의 스칼라장 <math>(G_{m,n})_{1\le m,n\le 7}</math>과 <math>C_{mn\mu}</math>를 쌍대화하여 얻는 7개의 스칼라장 <math>\phi_m</math>을 생각하자.

이제, 다음과 같은 8×8 [[정사각 행렬]]을 정의하자.<ref name="CJ"/>{{rp|(4.4)}}
:<math>S = \Delta^{-3/4}\begin{pmatrix}
\Delta G^{mn} - \phi^mi \phi^n & \phi^n \\
\phi^m & -1
\end{pmatrix}_{}\qquad(i,j\in\{1,2,\dotsc,7\})
\in\operatorname{SL}(8;\mathbb R)
</math>
:<math>\Delta = |\det (g_{mn})_{1\le m,n\le 7}|</math>
이는 [[동차 공간]] <math>\operatorname{SL}(8;\mathbb R) / \operatorname{SO}(8;\mathbb R)</math>의 원소로 간주된다. (이 동차 공간은 <math>63 - 28 = 35</math>차원이므로, 올바른 수의 성분을 갖는다.) 즉, 이는 게이지 변환
:<math>S \mapsto MSM^{-1}\qquad(M\in\operatorname{SO}(8;\mathbb R))</math>
을 겪는다. 게이지 변환 가운데 <math>\operatorname{SO}(7;\mathbb R)</math> 부분은 7개의 내부 차원의 회전군이다.

이 35개의 스칼라장 말고도, 35개의 유사스칼라 <math>C_{mnp}</math>가 존재한다. 군론에서, 다음과 같은 가환 그림이 주어진다.
:<math>\begin{matrix}
\operatorname{SL}(8;\mathbb R)&\to&\operatorname E_{7(7)}\\
\uparrow & & \uparrow\\
\operatorname{SO}(8) & \to & \operatorname{SU}(8)
\end{matrix}
</math>
:<math>\operatorname{SU}(8) \cap \operatorname{SL}(8;\mathbb R) = \operatorname{SO}(8)</math>
이에 따라, <math>S</math>에 35개의 유사스칼라장 성분을 추가하여, <math>\operatorname E_{7(7)}</math>의 원소로 확장할 수 있다. 다만, <math>\operatorname E_{7(7)}</math>의 가장 작은 충실한 표현이 54차원이므로, 그 구체적 표기는 복잡하다.<ref name="CJ"/>{{rp|(4.24)}}

==== 벡터장 ====
이 이론은 28개의 [[게이지 보손]]을 갖는다. 우선, 스칼라장의 <math>\operatorname{SL}(8;\mathbb R)/\operatorname{SO}(8)</math> 대칭에 대하여, 이 보손들은 <math>\operatorname{SL}(8;\mathbb R)</math> 및 <math>\operatorname{SO}(8)</math>의 28차원 표현으로 변환한다. (이 표현은 8×8 [[반대칭 행렬]]로 구성된다.) 즉, 이는 8차원 [[실수 내적 공간]] 위의 [[쌍선형 형식]]을 이룬다.

4차원에서는 [[2차 미분 형식]]의 [[호지 쌍대]]가 [[2차 미분 형식]]이다. 이에 따라, 28개의 게이지 보손 장세기와 그 28개의 쌍대 장세기들을 생각하자. 이들은 <math>\operatorname E_{7(7)}</math>의 56차원 실수 [[기본 표현]]을 이룬다. 이는 <math>\operatorname E_{7(7)}</math>의 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다.
:<math>
\begin{matrix}
\mathbf{28}_{\mathbb R}\oplus\mathbf{28}_{\mathbb R}&\to&\mathbf{56}_{\mathbb R}\\
\uparrow & & \uparrow\\
\mathbf{28}_{\mathbb R}\oplus\mathbf{28}_{\mathbb R} & \to & \mathbf{28}_{\mathbb C}
\end{matrix}\qquad
\begin{matrix}
\operatorname{SL}(8;\mathbb R)&\to&\operatorname E_{7(7)}\\
\uparrow & & \uparrow\\
\operatorname{SO}(8) & \to & \operatorname{SU}(8)
\end{matrix}
</math>
여기서 <math>\operatorname{SU}(8)</math>의 표현은 8×8 복소수 [[반대칭 행렬]]로 구성된다.

==== 페르미온 ====
11차원 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, 이는 4차원에서 4개의 [[디랙 스피너]]를 이룬다. 11차원 마요라나 그래비티노는 10×32 =320개의 실수 성분을 갖는다.

4차원에서, 이는 28개의 [[디랙 스피너]] 및 8개의 마요라나 그래비티노(즉, 4개의 디랙 그래비티노)를 이룬다.
:<math>\mathbf{320} \to 28 \times \left((0,\tfrac12)  \oplus (\tfrac12,0)\right) \oplus 4 \times \left((1,\tfrac12)\oplus(\tfrac12,1)\right)</math>
:<math>320 = 28 \times 8 + 4 \times 24</math>

28개의 디랙 스피너는 게이지 군 [[SU(8)]]의 복소수 28차원 (실수 56차원) 표현을 이룬다<ref name="CJ"/>{{rp|170, §6}} (8×8 반대칭 행렬). 8개의 마요라나 그래비티노는 SU(8)의 8차원 복소수 표현을 이룬다.<ref name="CJ"/>{{rp|170, §6}}

페르미온들은 대역적 대칭 <math>\operatorname E_{7(7)}</math>에 대하여 변환하지 않는다. 이는 [[일반 상대성 이론]]에서 페르미온이 [[필바인]]의 대칭 <Math>\operatorname{Spin}(1,3)</math>의 표현을 이루지만 <Math>\operatorname{GL}(4)</math>의 표현을 이루지 않는 것과 마찬가지다.

=== E₆과의 관계 ===
11차원 초중력을
:<math>\mathbb R^{10,1} = \mathbb R^{5,1}\times\mathbb R^6</math>
:<math>z^M = (x^\mu, y^m)</math>
위에 정의하자 ([[차원 축소]]). 그렇다면, 초중력의 보손 장([[계량 텐서]] <math>G</math>와 [[게이지 장]] <math>C</math>)은 다음과 같이 분해된다.
:<math>G_{MN} = \begin{pmatrix}
G_{\mu\nu} & G_{m\mu} \\
G_{m\mu} & G_{mn}
\end{pmatrix}</math>
:<math>A_{MNP} = \left(
A_{mnp}, A_{\mu mn}, A_{\mu\nu m}, A_{\mu\nu\rho}
\right)</math>
이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다.
{| class=wikitable style="text-align: center"
! (10,1)차원 !! (4,1)+6차원 !! (4,1)차원 (유사)스칼라장의 수 !! (4,1)차원 벡터장의 수 !! (4,1)차원 대칭 텐서장의 수
|-
| rowspan=3 | <math>G_{MN}</math> || <math>G_{\mu\nu}</math> || — || — || 1
|-
| <math>G_{\mu m}</math> || — || 6 || —
|-
| <math>G_{mn}</math> || <math>\textstyle\binom{6+1}2 = 21</math> || — || —
|-
| rowspan=4 | <math>C_{MNP}</math> || <math>C_{\mu\nu\rho}</math> || 1 || — || — 
|-
| <math>C_{m\mu\nu}</math> || — || 6 || — 
|-
| <math>C_{mn\mu}</math> || — || <math>\textstyle\binom62=15</math> || —
|-
| <math>C_{mnp}</math> || <math>\textstyle\binom63=20</math> || — || —
|-
! colspan=2 | 계 || 42 || 27 || 1
|}

이제, 위 장들 가운데, 21+20개의 스칼라장 <math>(G_{mn},C_{mnp})</math> 및 
:<math>\partial_\mu\phi = \epsilon_\mu{}^{\nu\rho\sigma\tau}\partial_\nu C_{\rho\sigma\tau}</math>
에 의하여 정의되는 스칼라장 <math>\phi</math>를 생각하자. 이들은 총 42개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 [[동차 공간]]
:<math>\operatorname E_{6(6)} / \operatorname{USp}(8)</math>
의 좌표를 이룬다. 여기서 <math>\operatorname E_{6(6)}</math>은 [[단순 리 군]] [[E₆]]의 분할 형태이며, USp(8)은 콤팩트 [[심플렉틱 군]]이다.

마찬가지로, 27개의 벡터장들은 E<sub>6</sub>의 27차원 기본 표현을 이룬다.

== 응용 ==
[[끈 이론]]에서, 11차원 초중력은 [[M이론]]의 낮은 에너지 눈금 [[유효 이론]]이다.

== 역사 ==
11차원 초중력의 존재는 1978년에 외젠 크레메르({{llang|fr|Eugène Cremmer}})와 베르나르 쥘리아({{llang|fr|Bernard Julia}}), [[조엘 셰르크]]가 증명하였다.<ref name="CJS">{{저널 인용|doi=10.1016/0370-2693(78)90894-8|저널=Physics Letters B|권=76|호=4|날짜=1978-06-19|쪽=409–412|이름=Eugène|성=Cremmer|이름2=Bernard|성2=Julia|이름3=Joel|성3=Scherk|저자링크3=조엘 셰르크|제목=Supergravity in theory in 11 dimensions|언어=en|bibcode=1978PhLB...76..409C}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=D=11 N=1 supergravity}}
* {{nlab|id=exceptional generalized geometry|title=Exceptional generalized geometry}}
* {{nlab|id=D'Auria-Fre formulation of supergravity }}
* {{nlab|id=supergravity Lie 6-algebra|title=Supergravity Lie 6-algebra}}
* {{nlab|id=supergravity Lie 3-algebra|title=Supergravity Lie 3-algebra}}

[[분류:초대칭]]
[[분류:중력]]
[[분류:끈 이론]]