1−2+3−4+… 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Pm1234 Ground.png|thumb]]
'''1−2+3−4+…'''는 다음과 같은 식으로 표현되는 [[무한급수]]이다.
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}n</math>
위 급수는 발산한다. 즉, 위 급수의 부분합 수열 {1, -1, 2, -2, ...}이 극한값을 가지지 않는다는 뜻이다. 실제로 이 수열이 진동하며 발산한다는 것을 쉽게 이해할 수 있다.

== 역설 ==
1. <math>\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}n=S</math>로 두고 다음과 같은 합을 생각하자.
<pre>
 S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . 
 S =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . .  
 S =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . .  
 S =       + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . 
--------------------------------------------
4S = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . </pre>
그러므로, <math>S=\frac{1}{4}</math>이다.

2. 다음과 같은 식이 성립한다:
:<math>1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+\cdots=\frac{1}{1+x}.</math>
이제 양변을 미분하면,
:<math>-1+2x-3x^2+4x^3-5x^4+\cdots=\frac{-1}{(1+x)^2}</math>
이므로,
:<math>1-2x+3x^2-4x^3+\cdots=\frac{1}{(1+x)^2}</math>
이다.

위 식에 <math>x=1</math>을 대입하면, 다음을 얻는다.
:<math>1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{4}.</math>

== 역설에 대한 해설 ==
# 무한급수는 일반적으로 합의 순서를 임의로 바꿀 수 없다. 이 경우, 4개의 S를 더할 때 1+(-2+1+1)+(3-2-2+1)+...처럼 합의 순서를 바꾸었다고 볼 수 있는데, 이렇게 하는 것은 안 된다.
# 주어진 식 <math>\scriptstyle{1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+\cdots=\frac{1}{1+x}}</math>은 <math>|x|<1</math>일 때만 수렴한다. 그러므로 <math>x=1</math>을 대입하여 모순이 발생하는 것은 당연하다.

{{급수}}
{{토막글|수학}}

[[분류:급수]]
[[분류:수학의 역설]]